haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

第二讲实数

发布时间:2014-02-10 09:46:58  

第二讲 实



1.了解:平方根、立方根及实数的有关概念.
2.理解:二次根式的概念及性质.

3.掌握:实数的加、减、乘、除、乘方、开方及简单的混合运
算.

4.会:求平方根、立方根,进行实数和二次根式的运算.
5.能:估计无理数的大小,用实数解决实际问题.

一、实数的有关概念和性质 整数 , _____ 有理数 分数 _____, 1.实数 无限不循环 小数. 无理数:___________ 2.实数的性质:

数轴 上表示出来,实数与 (1)所有实数都可以在_____ 数轴上的点 一一对应. ___________
(2)有理数中关于相反数、绝对值、倒数的意义同样适用于 实数.

二、实数的运算
1.实数可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算;

正实数及0 可以进行开平方运算;_________ 任意实数 都可以进行开 __________
立方运算. 2.有理数的运算法则、运算顺序、运算律在实数范围内仍然适 用.
1 3.规定:a0=__(a≠ 0),a-n=___(a≠ 0,n是正整数). an 1

三、二次根式的定义、性质与运算
a ≥ 的式子. 1.定义:形如___(a___0)

2.基本性质: 0 (1) a ≥__(a≥ 0).
2 a (2)( a ) =_____(a≥ 0).

3.最简二次根式:最简二次根式必须同时满足以下两个条件: 分母 (1)被开方数不含_____. 开得尽方 的因数或因式. (2)被开方数中不含能_________

4.二次根式的运算:
最简二次根式 ,再合 (1)加、减法法则:先将二次根式化成_____________ 被开方数相同 的二次根式. 并_____________
ab (2)乘法法则: a ? b ?____(a≥ 0,b≥0).
a (3)除法法则: a ? ____(a≥ 0,b>0). b b

1.给出四个数-1,0,0.5, 7, 其中为无理数的是( D ) A.-1 B.0 C.0.5 D. 7

2.下列四个实数中,最大的数是( D ) A.-1 B.0 C.1 D. 2

3. 4 的值是( B ) A.4 B.2 C.-2 D.±2

4.-8的立方根是( A ) A.-2 B.±2 C.4 D.±4

5.式子 x ? 1 在实数范围内有意义,则x的取值范围是( D )

A.x<1

B.x≤1

C.x>1

D.x≥1

6.下列等式一定成立的是( B )
A. 9 ? 4= 5 C. 9 ? ?3 B. 5 ? 3 ? 15 D. ? (?9) 2 ? 9

热点考向 一

平方根与立方根 )

【例1】(1)(2013·东营中考) 16 的算术平方根是( A.±4 B.4 C.±2 D.2

? x ? 2, (2)(2013·咸宁中考)已知 ? y ? 1 是二元一次方程组 ? ? mx ? ny ? 7, 的解,则m+3n的立方根为______. ? ? nx ? my ? 1

【思路点拨】(1)先求 16 的值,再根据算术平方根的概念求 即可. (2)根据二元一次方程组解的定义得到关于 m,n的方程组,求 解后再代入m+3n求立方根.

【自主解答】(1)选D.“ 16 的算术平方根”表示的意义为16 的算术平方根的算术平方根,即4的算术平方根,故为2.
?2m ? n ? 7, (2)把x=2,y=1代入二元一次方程组中得 ? ?2n ? m ? 1, 13 ? m ? , ? 5 ∴m+3n=8,∴m+3n的立方根为2. 解得 ? ? ?n ? 9 , ? 5 ?

答案:2

【名师助学】平

方根和立方根的性质 1.平方根的性质:正数a有两个平方根,它们互为相反数;0的 平方根是0;负数没有平方根. 2.立方根的性质:一个数的立方根只有一个,正数的立方根是 正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.

热点考向 二

实数的分类及有关概念
3

【例2】(1)(2013·毕节中考)实数

1 27, 0, ? ?,16,, 3

0.101 001 000 1?(相邻两个1之间依次多一个0),其中无 理数有( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个

(2)(2012·广安中考)实数m,n在数轴上的位置如图所示,则 |n-m|=________.

【思路点拨】(1)本题考查无理数的概念,判断时要紧扣概念,

即无限不循环小数是无理数.
(2)根据数轴观察 m,n的范围,然后确定 n-m的值的正负,求

出它的绝对值.

【自主解答】(1)选B.根据无限不循环小数是无理数知无理数 有-π,0.101 001 000 1?(相邻两个之间依次多一个0).

(2)由数轴可知m>1,-1<n<0,n-m<0,
因此|n-m|=m-n.

答案:m-n

【名师助学】无理数常见的五种类型 1.无限不循环小数,如2.121 314?.
3 9. 2.(根号型)开不尽方的数,如 2,

3.具有特定意义的数,如π, . 4.(构造型)具有特定结构的数,如0.101 001 000 1?(两个 1之间依次增加一个0).

? 2

5.(三角函数型)三角函数中的一些数,如sin 10°, sin 45°,tan 30°. 注意:判断一个数是否为无理数,不能只看形式,要看化简结 果.

热点考向 三

二次根式的概念、性质及运算
x 有意义,则实数 x ?1

【例3】(1)(2013·广州中考)若代数式 x的取值范围是( A.x≠1 C.x>0 ) B.x≥0

D.x≥0且x≠1 )

(2)(2013·泰州中考)下列计算正确的是(
A.4 3-3 3 ? 1 C.2 1 ? 2 2 B. 2 ? 3 ? 5 D.3 ? 2 2 ? 5 2

【思路点拨】(1) 根据代数式有意义的条件建立关于 x的不等 式组,求出不等式组的解集. (2)根据二次根式的加减对A, B,D进行判断,根据二次根式

的乘法对C进行判断.

x 【自主解答】(1)选D.若代数式 有意义, x ?1 x ? 0, 需满足? ∴x≥0且x≠1. ? ? x ? 1 ? 0,

(2)选C.选项A的结果是 3, 选项B,D中不含同类二次根式不 能合并.

【名师助学】二次根式运算中的注意问题 1.二次根式乘法、除法法则也可逆用, ab ? a ? b (a≥0,

b≥0), a ? a (a≥0,b>0),利用这两个等式可以化简二
b b

次根式. 2.运算结果应尽可能化简.在解决实际问题时,二次根式的结 果可按要求取近似值(将无理数转化为有理数). 3.在二次根式的运算或化简过程中,乘法公式、因式分解等 相关法则、方法均可使用.

热点考向 四

实数的运算、大小比较(估算)

【例4】(1)(2012·鄂州中考)在实数0,-π , 3, -4中,最小 的数是( A.0 ) B.-π C. 3 D.-4 )

(2)(2013·枣庄中考)估计 6 ? 1 的值在( A.2到3之间 C.4到5

之间 B.3到4之间 D.5到6之间

(3)(2013·晋江中考)计算:9×3-2+(π -3)0-|-2|+

2 ? 8.

【思路点拨】(1)因为正数大于0,0大于负数,再利用“两个 负数绝对值大的反而小”比较-π和-4的大小. (2)先估计 6所在范围,再利用不等式的性质判断 6 ? 1所在 范围. (3)先算绝对值与幂的值,再算乘法,最后算加减.

【自主解答】(1)选D.? 3 ? 1.732, 3>0>? ?>? 4,
∴最小的数是-4. (2)选B.∵4<6<9,∴2< 6 <3, 根据不等式的性质,
? 2 ? 1 ? 6 ? 1 ? 3 ? 1,
?3 ? 6 ? 1 ? 4.
1 ? 9 ? ? 1 ? 2 ? 16 ? 1 ? 1 ? 2 ? 4 ? 4. (3)原式 9

【名师助学】实数运算的三个关键 1.运算法则:乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整 数指数, 0指数 )运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以 及绝对值的化简等. 2.运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、 减为一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右 依次运算,不同级的运算,先算高级的再算低级的,有括号 的先算括号里的.无论何种运算,都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用:使用运算律可以简化运算,提高运算速度和 准确度.

【知识拓展】无理数的估算方法 估算一个无理数的值或无理数的大小 ,其实质是判断这个无理 数在哪两个有理数之间,通常的方法有: (1)直接用计算器求这个无理数的近似值. (2)根据实数比较大小的方法先估计无理数部分的值的范围, 再确定实数的值的范围.

新定义运算 【典例】(2012·常德中考)规定用符号[m]表示一个实数m
2 [ 的整数部分,例如, ]=0, [3.14]=3.按此规定 3

[ 10 +1]的值为________.

【思路点拨】 创新点 规定符号[m]表示实数m的整数部 (1)估算 10 的值 分突破口 (2)计算 10 ? 1的取值范围

(3)根据符号[m]的规定计算出 的值 [ 10 ? 1]

【自主解答】因为9<10<16, 所以 3 ? 10 ? 4, 所以 4 ? 10 ? 1 ? 5. 所以[ 10 +1]=4. 答案:4

【思考点评】

1.方法感悟:新定义运算是题目中给出一个新概念 ,通过阅读
题目提供的信息,从中获取新的概念,并通过对新概念的理解

来解决题目提出的问题.

2.技巧提升:解答新定义运算题目时,应通过观察、类比,把新 的运算符号转化为已有的运算符号 ,再按照已有的运算法则计 算出结果. 新定义问题虽然构思巧妙,隐蔽性强,但考查的还是基本知识 和基本技能,解题关键是抓住新定义运算的特征进行分析 ,把 新信息和所学知识相结合求解.

【学以致用】

1.(2013·东营中考)若定义:f(a,b)=(-a,b),g(m,n)=
(m,-n).例如f(1,2)=(-1,2),g(-4,-5)=(-4,5),则

g(f(2,-3))=(
A.(2,-3)

)
B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)


解析】选B.由题意可知g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3).

2.(2012·台州中考)请你规定一种适合任意非零实数a,b的
新运算“a ? b”,使得下列算式成立: 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3,
7 4 ( ? 3)( ? ? 4) ? ( ? 4)( ? ? 3) ? ? ,( ? 3) ?5 ? 5? ( ? 3) ?? , ?, 6 15

你规定的新运算 a ? b =_______(用含a,b的代数式表示).

1? 2 ? 2 ?1 ? 3 ? 【解析】
( ? 3)( ? ? 4) ? ( ? 4) ? (?3)

2? (1 ? 2) , 1? 2

7 2? ( ? 3 ? 4) ?? ? , 6 ?3 ? ( ? 4)
( ? 3) ?5 ? 5? ( ? 3) ?? ? 2? ( ? 3 ? 5) . ?3 ? 5 4 15

故答案为:a ? b ? 2a ? 2b 或a ? b ? 2 ? 2.
ab a b

答案: 2a ? 2b 或 2 ? 2
ab a b

6 3 ? 5 , 2.03 , , 5 , ? , 1.(2013·乌鲁木齐模拟)在 中无理数的个 2 7

数为(

)

A.2

B.3

C.4

D.5

6 【解析】选B.无理数有 ,5,? 三个. 2

2.(2013·滨湖模拟)(-5)2的平方根是( A.±5 B.? 5 C.5

) D.-5

【解析】选A.∵(-5)2=25,25的平方根是〒5, ∴(-5)2的平方根是〒5,故选A.

3.(2013·南开模拟)计算 32 ? A.10到11之间 C.8到9之间 【解析】选D. 32 ?

1 + 2 ? 5 的结果估计在( 2

)

B.9到10之间 D.7到8之间
1 + 2 ? 5 ? 4+ 10, ? 3< 10<4, 不等式两 2

边同时加4,不等式仍然成立,即 3+4<4+ 10<4+4, 即 7< 4
+ 10< 8, 故选D.

4.(2013·荆州模拟)如果 (2a ? 1) ? 1 ? 2a, 则(
2

)
D.a ? 1 2

A.a<

1 2

B.a ?

1 2

C.a>

1 2

【解析】选B.根据二次根式的值的非负性,得1-2a≥0,解
1 a ? . 得 2

【知识拓展】 a 2 和( a ) 2 的区别
2 a 2 中的a可以是任意实数,而 ( a ) 中的a必须是非负数,

当a<0时, a 没有意义.

5.(2013·河南模拟)? 64的立方根是_____. 【解析】由平方根的定义知 ? 64 ? ?8, 所以求 ? 64 的立方根 实际就是求-8的立方根,再由立方根的定义可得结果为-2.

答案:-2

6.(2013·石家庄模拟)如图,若A是实数a在数轴上对应的 点,则关于a,-a,1的大小关系是_______.

【解析】根据一对相反数在原点的两侧,并且到原点的距离 相等,∴a的相反数-a在1的右边,又根据数轴上的左边的点 表示的数小于右边的点表示的数,∴a<1<-a. 答案:a<1<-a

7.(2013·建宁模拟)计算:

2? 6 ? ( 3 ? 1) 2 ? ( 2 ? 1)( 2 ? 1). 3

【解析】原式= 2+4-2 3- 1 ? 5-2 3.

1.(2012·庆阳中考)下列实数中,是无理数的为(
A.3.14 B. 1 3 C. 3 D. 9

)

1 9 ? 3 是整 【解析】选C.因为3.14是有限小数, 3 是分数,

数,所以选项A,B,D对应的数都是有理数,故选C.

2.(2012·株洲中考)要使二次根式 取值范围是( )

2x ? 4 有意义,那么x的

A.x>2
C.x≥2

B.x<2
D.x≤2

【解析】选C.

2x-4≥0,解得x≥2.

3.(2013·南京中考)设边长为3的正方形的对角线长为a,下 列关于a的四种说法:①a是无理数;②a可以用数轴上的一个 点来表示;③3<a<4;④a是18的算术平方根.其中,所有正 确说法的序号是( A.①④ ) C.①②④ D.①③④

B.②③

【解析】选C.因为边长为3的正方形对角线长是 3 2, 是无理 数,可以用数轴上的点表示, 3 2 是18的算术平方根,所以

①②④正确.

4.(2012·宜昌中考)下列计算正确的是(
1 A. 2 ? ? 1 2 C. 6 ? 3 ? 2 B. 4 ? 3 ? 1 D. 4 ? ?2

)

【解析】选A.因为 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1, 所以A选项正确;因为
2 2

4 ? 3 ? 2? 3 ?1 , 所以B选项错误;因为 6 ? 3 ? 2 ? 2,

所以C选项错误;因为 4 ? 2, 所以D选项错误.

5.(2012·杭州中考)已知 m=(?

3 ) ? (?2 21), 则有( 3

)

A.5<m<6
C.-5<m<-4

B.4<m<5
D.-6<m<-5

1 2 2 m = ( ? 2) ( ? 3 ? 21 )= ? ( 3) ? 7=2 7 ? 28, 【解析】选A. 3 3

故选A. ? 25<28< 36, ? 25<2 7< 36,即5<2 7< 6,

6.(2013·黔西南州中考)已知 a ? 1 +|a+b+1|=0,则ab=_____. 【解析】由题意得a-1=0,a+b+1=0, 解得a=1,b=-2,所以ab=1-2=1. 答案:1

7.(2012·百色中考)若规定一种运算为:a★b= 2 (b-a),
2 5-3)=2 2.则 2★ 3 =______. 如 3★5= (
2 3 ? 2) ? 6-2. 【解析】 2★ 3= (

答案: 6-2

8.(2012·福州中考)若 20n 是整数,则正整数n的最小值为 ________. 【解析】∵ 20n=22〓5n.∴正整数n的最小值为5. 答案:5

3 2 ? 3) ? 24 ? | 6 ? 3| =______. 9.(2013·泰安中考)化简: (

【解析】原式 ? 6 ? 3 ? 2 6 ? (3 ? 6) ? ?6. 答案:-6

: (2- 3) 2 012 ? (2 ? 3) 2 013-2 |- 10.(2013·济宁中考)计算

3 |- 2

(? 2)0.
2 012 (2 ? 3) ? 3 ?1 【解析】原式=[(2- 3)(2 ? 3)] ?

? 2 ? 3- 3 ? 1 ? 1.


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com