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一元二次方程集锦

发布时间:2014-02-10 12:41:42  

一元二次方程的解法例析

时,原方程为,即,解得. 时,原方程为,即,

解得

说明:由本题可见,只有,. 项系数不为0,且为最高次项时,方程才是一元二次方程, 才能使用一元二次方程的解法,题中对一元二次方程的描述是不完整的,应该说明最高次项系数不为0。

通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明,即形如

叫作关于的一元二次方程。

若本题不给出条件,就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。 的方程

例2 :用开平方法解下面的一元二次方程。

(1)

(3); (4) ; (2)

分析:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程,

其解为

方法好做; 。通过观察不难发现第(1)、(2)两小题中的方程显然用直接开平

第(3)题因方程左边可变为完全平方式,右边的121>0,所以此方程也可用直接开平方法解;

第(4)小题,方程左边可利用平方差公式,然后把常数移到右边,即可利用直接开平方法进行解答了。

解:(1)

(注意不要丢解)

得,

得,

∴原方程的解为:

(2)

得,

∴原方程的解为:

(3)

∴ ,

∴原方程的解为:

(4)

, ,即 ,

∴原方程的解为:,

说明:解一元二次方程时,通常先把方程化为一般式,但如果不要求化为一般式, 像本题要求用开平方法直接求解,就不必化成一般式。用开平方法直接求解,应注意方程两边同时开方时,

只需在一边取正负号,还应注意不要丢解。

例3 :用配方法解下列一元二次方程。

(1)

;(2)

分析:用配方法解方程

次项系数化为1, ,应先将常数移到方程右边,再将二

变为的形式。第(1)题可变为,然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方,

即:

即:, ,方程左边构成一个完全平方式,右边是一个不小于0的常数,

接下去即可利用直接开平方法解答了。第(2)题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。

解:(1)

二次项系数化为1,移常数项得:

配方得:

直接开平方得:

∴原方程的解为:

(2)

, , ,即 ,

二次项系数化为1,移常数项得:

方程两边都加上一次项系数一半的平方得:

直接开平方得:

∴原方程的解为:,

说明:配方是一种基本的变形,解题中虽不常用,但作为一种基本方法要熟练掌握。 配方时应按下面的步骤进行:先把二次项系数化为1,并把常数项移到一边;

再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。

例4:用公式法解下列方程。

(1)

;(2)

分析:用公式法就是指利用求根公式

程化成一般形式,

然后计算判别式

根公式即可得到方程的根。

但要注意当的值,当,使用时应先把一元二次方≥0时,把各项系数的值代入求<0时,方程无解。第(1)小题应先移项化为一般式,再计算出判别式的值,

判断解的情况之后,方可确定是否可直接代入求根公式;第(2)小题为了避免分数运算的繁琐,

可变形为

解:(1), ,求出判别式的值后,再确定是否可代入求根公式求解。

化为一般式:

求出判别式的值:

>0

代入求根公式:

(2)

化为一般式:

求出判别式的值:

>0

∴,

说明:公式法可以用于解任何一元二次方程,在找不到简单方法时,即考虑化为一般形式后使用公式法。

但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量,再求出判别式的值,解得的根要进行化简。

例5:用分解因式法解下列方程。

(1)

;(2)

分析:分解因式法是把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,

让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,

就是原方程的两个根。第(1)题已经是一般式,可直接对左边分解因式; 第(2)题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。

解:(1)

左边分解成两个因式的积得:

于是可得:

(2)

化简变为一般式得:

左边分解成两个因式的积得:

于是可得:

∴, ,

说明:使用分解因式法时,方程的一边一定要化为0,这样才能达到降次的目的。 把方程一边化为0,把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。

从上述例题来看,解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化,

转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0,把方程另一边分解因式,配方,或利用求根公式法。

另外,在解一元二次方程时,要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法,找不到简单方法时,

即考虑化为一般形式后使用公式法。

例6:选用恰当的方法解下列方程。

(1)

(3)

; (2) ; (4)

分析:第(1)题可变形为,而后利用直接开平方法较为简便;

第(2)题移项后利用分解因式法较为简便;第(3)题化为一般式后可利用求根公式法解答;

第(4)题采取配方法较为简便。

解:(1)

整理得:

直接开平方得:

(2)

分解因式得:

, ∴

(3)

整理得:,

求出判别式的值:

>0

(4)

配方得:

直接开平方得:

∴,, ,

总结:直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在使用公式前应先计算出判别式的值,以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般式,同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时,首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法,找不到简单方法时,即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式,但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。

【附训练典题】

1、用直接开平方法解下列方程:

(1)

(3); (4). ; (2);

2、用配方法解下列方程:

(1)

(3); (2); ; (4).

3、用公式法解下列方程:

(1)

(3); (4). ; (2);

4、用因式分解法解下列方程:

(1)

(3); (4). ; (2);

5、选用适当的方法解下列方程:

(1)

(3)

(5)

(7)

; (8) ; (6); ; (4); ; (2);

一元二次方程应用的话,也就这几种类型了。。。方法掌握了,怎么变都不怕。

一、增长率问题

例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到

了193.6万元,求这两个月的平均增长率.

解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,

即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).

答 这两个月的平均增长率是10%.

说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.

二、商品定价

例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31.

因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去.

所以350-10a=350-10×25=100(件).

答 需要进货100件,每件商品应定价25元.

说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.

三、储蓄问题

例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)

解 设第一次存款时的年利率为x.

则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去.

答 第一次存款的年利率约是2.04%.

说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.

四、趣味问题

例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?

解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0.

解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1.

所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.

答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.

说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.

五、古诗问题

例5 读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).

大江东去浪淘尽,千古风流数人物;

而立之年督东吴,早逝英年两位数;

十位恰小个位三,个位平方与寿符;

哪位学子算得快,多少年华属周瑜?

解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.

则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.

当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;

当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.

答 周瑜去世的年龄为36岁.

说明 本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.

六、象棋比赛

例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去). 答 参加比赛的选手共有45人.

说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.

七、情景对话

例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?

解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000<27000,所以员工人数一定超过25人.

则根据题意,得[1000-20(x-25)]x=27000.

整理,得x2-75x+1350=0,解这个方程,得x1=45,x2=30.

当x=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1;

当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意.

答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.

八、等积变形

例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)

(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.

解 都能.(1)设小路宽为x,则18x+16x-x2=×18×15,即x2-34x+180=0, 解这个方程,得x=,即x≈6.6.

(2)设扇形半径为r,则3.14r2=×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6. 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.

九、动态几何问题

例9 如图4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?

(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.

解 因为∠C=90°,所以AB===10(cm).

(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.

则根据题意,得·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4.

所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

则根据题意,得(6-x)·2x=××6×8.整理,得x2-6x+12=0.

由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.

十、梯子问题

例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.

(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?

(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?

(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?

解 依题意,梯子的顶端距墙角=8(m).

(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2=102,整理,得x2+12x-15=0, 解这个方程,得x1≈1.14,x2≈-13.14(舍去),

所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.

(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.

则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理,得x2-16x+13=0. 解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14(舍去).

所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.

(3)设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.

则根据勾股定理,列方程 (8-x)2+(6+x)2=102,整理,得2x2-4x=0, 解这个方程,得x1=0(舍去),x2=2.

所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.

说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.

十一、航海问题

例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.

(1)小岛D和小岛F相距多少海里?

(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)

解(1)F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF=AB=100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.

(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.

在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,整理,得3x2-

1200x+100000=0.

解这个方程,得x1=200-≈118.4,x2=200+(不合题意,舍去). 所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.

说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程. 十二、图表信息

例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n(n为整数,且2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n-1)×(n-1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题:

(1)由于正方形纸片边长n的取值不同,?完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表:

纸片的边长n 2 3 4 5 6

使用的纸片张数

(2)设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S1,未被盖住的面积为S2.

①当n=2时,求S1∶S2的值;

②是否存在使得S1=S2的n值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 解(1)依题意可依次填表为:11、10、9、8、7.

(2)S1=n2+(12-n)[n2-(n-1)2]=-n2+25n-12.

①当n=2时,S1=-22+25×2-12=34,S2=12×12-34=110.

所以S1∶S2=34∶110=17∶55.

②若S1=S2,则有-n2+25n-12=×122,即n2-25n+84=0,

解这个方程,得n1=4,n2=21(舍去).

所以当n=4时,S1=S2.所以这样的n值是存在的.

说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第(3)小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.

十三、探索在在问题

例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.

解(1)设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x)cm.

则根据题意,得+=17,解得x1=16,x2=4,

当x=16时,20-x=4,当x=4时,20-x=16,

答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

(2)不能.理由是:不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为(20-y)cm.则由题意得+=12,整理,得y2-20y+104=0,移项并配方,得(y-10)2=-4<0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2.

说明 本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b2-4ac来判定.若b2-4ac≥0,方程有两个实数根,若b2-4ac<0,方程没有实数根,本题中的b2-4ac=-16<0即无解.

十四、平分几何图形的周长与面积问题

例14 如图7,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E?在下底边BC上,点F在腰AB上.

(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;

(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;

(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由.

解(1)由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.

过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.

则可得,FG=×4,

所以S△BEF=BE·FG=-x2+x(7≤x≤10).

(2)存在.由(1)得-x2+x=14,解这个方程,得x1=7,x2=5(不合题意,舍去),

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7.

(3)不存在.假设存在,显然有S△BEF∶S多边形AFECD =1∶2, 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2.则有-x2+x=,

整理,得3x2-24x+70=0,此时的求根公式中的b2-4ac=576-840<0, 所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

说明 求解本题时应注意:一是要能正确确定x的取值范围;二是在求得x2=5时,并不属于7≤x≤10,应及时地舍去;三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.

十五、利用图形探索规律

例15 在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成:

(1)观察图形,请填写下列表格:

正方形边长 1 3 5 7 ? n(奇数)

黑色小正方形个数 ?

正方形边长 2 4 6 8 ? n(偶数)

黑色小正方形个数 ?

(2)在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,使P2=5P1?若存在,请写出n的值;若不存在,请说明理由.

解(1)观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、?、n 时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n-1(奇数);正方形的边长为2、4、6、8、?、n 时,黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n(偶数).

(2)由(1)可知n为偶数时P1=2n,所以P2=n2-2n.根据题意,得n2-2n=5×2n,即n2-12n=0,解得n1=12,n2=0(不合题意,舍去).所以存在偶数n=12,使得P2=5P1.

说明 本题的第(2)小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解.

综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是:找出未知量与已知量之间的联系,从而将实际问题转化为方程模型,要善于将普通语言转化为代数式,在审题时,要特别注意关键词语,如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.

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