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创新学习型问题

发布时间:2014-02-10 15:55:50  

创新学习型问题

第39讲┃创新学习型问题

创新学习型问题常见有阅读理解题和开放探究题.解决阅

读理解题的关键是把握实质并在其基础上作出回答,首先仔细
阅读信息,收集处理信息,以领悟数学知识或感悟数学思想方 法;然后运用新知识解决新问题,或运用范例形成科学的思维 方式和思维策略,或归纳与类比作出合情判断和推理,进而解 决问题.开放探究题主要有下列两种描述:(1)答案不固定或

者条件不完备的习题称为开放题;(2)具有多种不同的解法或
有多种可能的解答的问题称为开放题.解题的策略是将其转化 为封闭性问题.

第39讲┃创新学习型问题
探究一 阅读理解题

例1 [2013· 济宁] 阅读材料
若 a,b 都是非负实数,则 a+b≥2 ab.当且仅当 a=b 时, “=”成立. 证明:∵( a— b) ≥0,∴a-2 ab+b≥0. ∴a+b≥2 ab.当且仅当 a=b 时, “=”成立. 举例应用: 2 已知 x>0,求函数 y=2x+ 的最小值. x
2

第39讲┃创新学习型问题



2 y=2x+ ≥2 x

2 2 2x· =4.当且仅当 2x= , x x

即 x=1 时, “=”成立. ∴当 x=1 时,函数取得最小值,y 最小=4.

第39讲┃创新学习型问题

问题解决: 汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度.某种汽车在 每小时 70~110 公里之间行驶时(含 70 公里和 110 公里),每
?1 450? ? 公里耗油? + 2 ? ?升.若该汽车以每小时 18 x ? ?

x 公里的速度匀速

行驶,1 小时的耗油量为 y 升. (1)求 y 关于 x 的函数关系式(写出自变量 x 的取值范围); (2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量 (结 果保留小数点后一位).

第39讲┃创新学习型问题

例题分层分析 (1)从阅读材料中你得出了什么公式?这个公式的意义是什么? 能用它求两个非负数和的最小值吗? (2)从举例应用的例子你能体会出如何求一个函数的最小值吗? (3)在问题解决中的函数解析式与举例应用中的函数形式上有 什么相同点?能类似求出最小值吗?

第39讲┃创新学习型问题

解题方法点析 考查掌握新知识应用能力的阅读理解题 (1)命题者给定一个陌生的定义或公式或方法,让你去解决新 问题,这类考题能考查解题者的自学能力和阅读理解能力,能 考查解题者接收、加工和利用信息的能力. (2)阅读新知识,应用新知识的阅读理解解题时,首先应做到 认真阅读题目中介绍的新知识,包括定义、公式、表示方法及 如何计算等,并且正确理解引进的新知识,读懂范例的应用; 其次,根据介绍的新知识、新方法进行运用,并与范例的运用 进行比较,防止出错.

第39讲┃创新学习型问题



?1 450? x 450 ? ? (1)y=x? + 2 ?=

+ (70≤x≤110); x ? 18 x ?18

x 450 x 450 (2)y = + ≥2 · = 10,当且仅当 18 x 18 x x 450 = ,即 x=90 时,“=”成立. 18 x ∴当 x=90 时,函数取得最小值,y 最小=10. ?1 450? ? 此 时 , 百 公 里 耗 油 量 为 ? + 2? ? ?18 90 ? × 100≈11.1(升). ∴该汽车的经济时速为每小时 90 公里, 经济 时速的百公里耗油量约为 11.1 升.

第39讲┃创新学习型问题
探究二 开放探究题

例2 [2013· 烟台]已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一 动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线, 垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点. (1)如图39-1①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关 系是__________,QE与QF的数量关系是__________;

图39-1

第39讲┃创新学习型问题

(2)如图②,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判 断QE与QF的数量关系,并给予证明;

(3)如图③,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时, 此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证 明.

第39讲┃创新学习型问题

例题分层分析 (1)欲证明AE∥BF,QE=QF,只需证△BFQ≌________.

(2)欲证明QE=QF,需证△FBQ≌________,推出QF=________;
再根据直角三角形斜边上中线性质求出QE=QF.

(3)欲证明QE=QF,需证△AEQ≌________,推出DQ=________;
再根据直角三角形斜边上中线性质求出即可.

第39讲┃创新学习型问题

解题方法点析

解结论开放性问题时要充分利用已知条件或图形特征,进
行猜想、归纳、类比,透彻分析出给定条件下可能存在的结 论现象,特别是在一个变化中保持不变的量,然后经过论证 做出取舍,这是一种归纳类比思维.

第39讲┃创新学习型问题


(1)AE∥BF

QE=QF

(2)QE=QF. 证明:延长 FQ 交 AE 于点 D. ∵AE∥BF,∴∠1=∠2. ∵∠3=∠4,AQ=BQ, ∴△AQD≌△BQF, ∴QD=QF. ∵AE⊥CP, ∴QE 为斜边 FD 上的中线, ∴QE=QF.

第39讲┃创新学习型问题



(3)(2)中结论仍然成立. 理由:延长 EQ,FB 交于点 D. ∵AE∥BF,∴∠1=∠D. ∵∠2=∠3,AQ=BQ, ∴△AQE≌△BQD. ∴QE=QD. ∵BF⊥CP,∴FQ 为斜边 DE 的中线. ∴QE=QF.

第39讲┃创新学习型问题
例3 探究问题: (1)方法感悟: 如图39-2①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的 点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证:DE+BF=EF. 感悟解题方法,并完成下列填空: 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合, 由旋转可得: AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°, 因此,点G,B,F在同一条直线上. ∵∠EAF=45°, ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°. ∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°. 即∠GAF=∠________. 又AG=AE,AF=AF,

∴△GAF≌________. ∴________=EF,故DE+BF=EF.

第39讲┃创新学习型问题

图39-2

第39讲┃创新学习型问题
(2)方法迁移: 如图②,将 Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC,点 E,F 分别为 1 DC,BC 边上的点,且∠EAF= ∠DAB.试猜想 DE,BF,EF 之间有何 2 数量关系,并证明你的猜想. (3)问题拓展: 如图③,在四边形 ABCD 中,AB=AD,E,F 分别为 DC,BC 上 1 的点,满足∠EAF= ∠DAB,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时, 2 可使得 DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).

第39讲┃创新学习型问题

例题分层分析 (1) 利用角之间的等量代换得出∠ GAF= ________ ,再利 用SAS得出△GAF≌________. (2) 作 出 ∠ GAB = ∠ DAE , 利 用 已 知 得 出 ∠ GAF = ________,再证明△AGF≌________.

(3)根据角之间关系,只要满足∠B+∠D=________时, 就可以得出三角形全等.

第39讲┃创新学习型问题

解题方法点析

这种策略类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、 类比、试验、创新和综合运用所学知识,建立合理的数学 模型,从而使问题得以解决.策略开放性问题的解题方法 一般不唯一或解题路径不明确,要求解题者不墨守成规, 敢于创新,积极发散思维,优化解题方案和过程.

第39讲┃创新学习型问题





用旋转的方法构造全等,把分散的条件集中.

第39讲┃创新学习型问题
(1)EAF △EAF GF (2)DE+BF=EF,理由如下: AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90° , ∴∠ABG+∠ABF=90° +90° =180° , 1 因此,点 G,B,F 在同一条直线上.∵∠EAF= m° , 2 1 1 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=m° - m° = m° . 2 2 1 ∵∠1=∠2,∴∠1+∠3= m° . 2 即∠GAF=∠EAF.又 AG=AE,AF=AF,∴△GAF≌△EAF.∴GF=EF. 又∵GF=BG+BF=DE+BF,∴DE+BF=EF.



假设∠BAD 的度数为 m,将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 m° 得到△ABG,此时


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