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2.3.1把握变量之间的依赖关系

发布时间:2014-02-10 15:55:56  

义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下

一座拱桥的纵截面是抛物线的一段,拱桥的跨度是4.9 米,水面宽是4米时,拱顶离水面2米,如图.想了解水 面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化.
2m

4m

你能想出办法来吗?
4.9m

你能想出办法来吗? 建立函数模型

这是什么样的函数呢?

拱桥的纵截面是抛物线应当是 某个二次函数的图象

怎样建立直角坐标系比较简单呢?
以拱顶为原点,抛物线的对称轴为y轴, 建立直角坐标系,如图.

从图看出,什么形式的二次函数, 它的图象是这条抛物线呢?
由于顶点坐标是(0.0), 因此这个二次函数的形式为 2

-2 -1 -2 -4

1

2
A

y ? ax

如何确定a是多少?
-2 -1 1 2 A

已知水面宽4米时,拱顶离水面高 2米,因此点A(2,-2)在抛物 线上由此得出 ?2 ? a?22
解得

-2

-4

1 a?? 2

1 2 y ? ? x 其中 |x|是水面宽度的一半,y是拱顶离水面高 因此, 2 度的相反数,这样我们可以了解到水面宽变化时,拱顶离水面高度
怎样变化.

由于拱桥的跨度为4.9米,因此自变量x的取值范围是:

?2.45 ? x ? 2.45
现在你能求出水面宽3米时,拱顶离水面高多少米吗?
水面宽3m时

x?
2

3 2

从而

1 ?3? 9 y ? ? ? ? ? ? ? ? ?1.125 2 ?2? 8

因此拱顶离水面高1.125m

你是否体会到:从实际问题建立起函数模 型,对于解决问题是有效的?

1.在拱桥的例子中,当水面宽3.6m时,拱顶离水面高多少米? 当水面宽3.6m时,如图A(1.8,y) 由不节例题知,所对应的抛物线为

1 2 y?? x 2 1 2 ? y ? ? ?1.8? ? ?1.62 2
拱顶离水面的高度为 y =|-1.62|=1.62米 拱顶离水面高1.62米

-2 -1 -2 -4

1

2

A(1.8,y)

2.一条隧道顶部的纵截面是抛物拱形,拱高2.5,跨度为10,如图, 试建立合适的直角坐标系,求出二次函数,它的图象的一段为拱形 抛物线.
以拱顶为原点,以抛物线 y 轴 为对称轴建立直角坐标系,如图所示 设所求二次函数为 y = ax2 ∴ -2.5=a 52 -4 -2 -2 10 -4 O 4 2 2 4

1 ?a ? ? 10
所求二次函数,它的图象抛物线为 y ? ?

A(5,-2.5)

1 2 x (-5≤x≤5) 10

例题1 根据下列条件,分别求出对应的二 次函数解析式。 1)已知抛物线顶点(1,2),且过点(2,3) 2)已知二次函数的图像过点(-1,2), (0,1),(2,1) 3)已知抛物线与x轴的两个交点横坐标分别 为-1,3,且经过点(-3,6)

例题2 一座拱桥的轮廓是抛物线,拱高6 米,跨度20米,相邻两支柱之间的距离均 为5米。 (1)将抛物线放在所给的平面直角坐标 系中,求抛物线解析式。 (2)求支柱EF的长度。 (3)拱桥下的地平面是双向行车道(正中 间是一条宽2

米的隔离带),其中一条行 车道能否并排行驶宽2米高3米的三辆汽车? (车间的间隔忽略不计)

例题3 用8m的铝材做成一个日字形窗框, 试问窗框的宽和高各为多少时,窗框的透 光面积最大?最大面积是多少?(假设铝 材宽度不计)

例题4 某建筑物的窗户如图所示,它的上 半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的 材料总长(所有黑线的长度和)为10米, 当x等于多少米时,窗户的透光面积最大? 最大面积是多少?

x

x

y


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