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2.2.3二次函数的图象与性质4

发布时间:2014-02-10 15:56:04  

2.2

二次函数的图象与性质
第4课时

y

y=2(x-1)2+1

y=2x2

5 4. 3.

y=2(x-1)2

观察这三个图象 是如何平移的.
2.

1.

-3.

-2

-1

0. -1

1.

2.

3.

x

例1 画出函数y=-0.5(x+1)2-1的图象,指出它的开口方 向、对称轴及顶点,抛物线y=-0.5x2经过怎样的变换可以 得到抛物线y=-0.5(x+1)2-1? 二次函数y=-0.5x2,y=-0.5(x+1)2和

?

y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?

它们的开口方向,对称轴和顶点坐标
分别是什么?

在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,
y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y= -3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它们的 开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时, y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值

的增大而减小?

【规律方法】 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系 一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2 +k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可以看成y=ax2的图 象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移; 当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单

位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.

因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它
的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点: (1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h;

(3)顶点坐标是(h,k).

1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标:

1 2 1 y ? 2 x ? 3 ? , ?? ? ? 2
解析:

1 2 ? 2 ? y ? ? ? x ? 1? ? 5. 3

1 (1)开口:向上,对称轴:直线x=-3,顶点(-3,? ) 2

(2)开口:向下,对称轴:直线x=-1,顶点(-1,-5)

2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象
有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标 分别是什么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图 象有什么关系?

对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的
增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小? 二次函数y=3(x+1)2+4呢?

解析:(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的 图象由y=3x2向左平移1个单位得y=3(x+1)2.它是轴对称图 形.它的对称轴和顶点坐标分别是直线x=-1和(-1,0)

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象由二次函数y=-3x2的图
象向右平移2个单位再向上平移4个单位而得. 对于二次函数y=3(x+1)2,当x≥-1时,y的值随x值的增大 而增大.当x≤-1时,y的值随x值的增大而减小.二次函数 y=3(x+1)2+4的增减性与y=3(x+1)2相同.

3. 心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所 用的时间x(单位:min)之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x +43(0≤x≤30),y值越大,表示

接受能力越强.

(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什
么范围内,学生的接受能力逐步降低? (2)第10min时,学生的接受能力是多少? (3)多长时间时,学生的接受能力最强?

【解析】y=-0.1(x-13)2+59.9
(1)当0≤x≤13时, 学生的接受能力逐步增强; 当13≤x≤30时, 学生的接受能力逐步降低.

(2)当x=10时,y=59. (3)当x=13时,学生的接受能力最强为59.9.

1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

y=a(x-h)2+k
a>0 a<0

开口方向
向上 向下

对称轴
x=h x=h

顶点坐标
(h,k) (h,k)

配方法

y ? 3x ? 6 x ? 5
2

提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为完全平

?( 3 x 2 ? 2x) ? 5
?( 3 x ? 2x ?1 ? 1) ? 5
2

? 3?x ? 1? ? 3 ? 5
2

方式,后两项合并同类项
化简

? 3?x ? 1? ? 2
2

再根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 列表:根据对称性,选取适当值列表计算. x … -2
2

-1 14

0 5

1 2

2 5

3 14

4 29

… …

y ? 3?x ? 1? ? 2

… 29

y ? 3x 2 ? 6x ? 5
通过图象你能看出
当x取何值时y随x 的增大而缩小,当 x取何值时,y随x 的增大而增大吗?
x=1


当x<1时,y随x的增大
而减小,当x>1时,y 随x的增大而增大.
(1,2)

在对称轴的左边图象从左到右斜向下,在对称轴的右边 图象从左到右斜向上,同学们,你们想到了什么?

1 2 画出y= x -6x+21的图象 2
1 2 【解析】配方得: y= x -6x+21 2


由此可知,抛物线 y= 对称轴是直线 x=6.

1 (x-6)2+3 2

1 2 x -6x+21 的顶点是点(6,3), 2

你能把函数y=ax2+bx+c通过配方法化成顶点式吗? 一般地,对于二次函数y=ax2 +bx+c,我们可以利用配方 法推导出它的对称轴和顶点坐标.

y ? ax ? bx ? c
2
2

b ? a(x ? x) ? c a
2

提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方

b b 2 b 2 ? a[x ? x ?( ) ? ( ) ] ? c a 2a 2a
b 2 b2 ? a(x ? ) ? ? c 2a 4a

b 2 4ac ? b 2 ? a(x ? ) ? . 2a 4a

整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简

b 2 4ac ? b 2 抛物线的顶点式 y ? a(x ? ) ? . 2a 4a

因此,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.
b 它的对称轴是直线 : x ? ? . 2a

b 4ac-b 2 它的顶点是(- , ). 2a 4a

根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
2 1 y ? 2x ? 12x ? 13; ??

? 2? y ? ?5x 2 ? 80x ? 319;

1 ? 3? y ? 2(x ? ) ? x ? 2 ? ; 2

? 4? y ? 3 ? 2x ? 1?? 2 ? x ? .

解析: (1)直线x=3,顶点(3,-5). (2)直线x=8,顶点(8,1). (3)直线x=1.25,顶点(1.25,-1.125). (4)直线x=0.75,顶点(0.75,9.375).

1.(鄂州·中考)

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 图所示,下列结论①a、b异号;②当x=1和x=3时,函数

值相等;③4a+b=0.④当y=4时,x的取值只能为0.结论
正确的个数有( A.1 答案:C B.2 )个 C.3 D.4

2 y ? x ? bx ? 5 配方后为 2.(安徽·中考)若二次函数

y ? ( x ? 2)2 ? k 则 b 、 k 的值分别为( )
A.0、5 答案:D B.0、1 C.-4、5 D.-4、1

3.(福州·中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
所示,则下列结论正确的是( A.a>0 C.b2-4ac<0 答案:D ) B .c<0 D .a+b+c>0

2 4.(莱芜·中考)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图

所示,则一次函数 y ? bx ? a 的图象不经过 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 y

O

x

答案:D

5.(株洲·中考)已知二次函数 y ? ? x ? 2a ? ? ? a ? 1? (a为
2

常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线 系”.下图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2,时二次函数的 图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式 是 答案: y ? .

1 x ?1 2

【规律方法】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2 (a≠0)的关系 1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形.

(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在 对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x 的增大而减小 .

2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是 直线x ? ? b 和y轴. (4)最值不同:分别是 4ac ? b 和0.
2

b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

2a

4a

3.联系: y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图 象先沿x轴整体左(右)平移 | ? b | 个单位,再沿对称轴整
2 2 4ac ? b 4 ac ? b 体上(下)平移 | >0时向上平 | 个单位 (当 4a 4a
2 4 ac ? b 移;当 <0时,向下平移)得到的. 4a

2a

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1)顶点坐标与对称轴 (2)位置与开口方向

3.增减性与最值
根据图形填表:
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

直线x ? ?

b 2a

直线x ? ?

b 2a

由a,b和c的符号确定 向上 在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小. 在对称轴的右 侧, y随着x的增大而增大.
b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

由a,b和c的符号确定 向下 在对称轴的左侧,y随着x的增 大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

开口方向
增减性 最值


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