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16.1二次根式(1)

发布时间:2014-02-10 16:53:52  

人教版数学教材八年级下

第16章 二次根式
16.1 二次根式

回忆
⑴什么叫做一个数的平方根?如何表示? 一般地,若一个数的平方等于a,则 这个数就叫做a的平方根。

a的平方根是 ? a
⑵什么是一个数的算术平方根?如何表示? 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根是0 用

a

(a≥0)表示。

复习 1、如果 x ? 4,那么 x ? ±2 ;
2

2、如果 x ? 3,那么 x ? ? 3 ;
2

3、如果 x ? a(a ? 0) ,
2

那么 x ? ? a 。

x?

导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积,则正方形的边长是 b ? 3
b-3

2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池, ? 取3.14); 它的半径为 2 m(

3、关系式中h ? 5t ,用含有h的式子 h 表示t,则t为 。
2

5

新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点?
b?3

2

h 5

表示一些正数的算术平方根.

形如 a (a ? 0) 的式子叫做二次根式.

a

被开方数 二次根号

读作“根号

a”

归纳:
二次根式的定义

一般地,代数式形如 式子做叫二次根式。

a(a ? 0 ) 的

本课学习目标:
? (1)二次根式的概念( 双重非负性
)

? (2)根号内字母的取值范围

请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识!

?

1.

a 表示什么含义?
a 表示a的正平方根; a 表示a的平方根.

答:当a>0时, 当a=0时,

2. 当a满足什么条件时,代数式

a 才有意义?
a 才有意义!

答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时,
3. 代数式

a (a≥0)有如下特征:

? a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) ? a可以是数,也可以是式.
? 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.

(1) 代数式 a 是二次根式吗? 答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式! 二次根式是属于有特殊条件的代数式. (2) 答:符合条件(1)被开方数 22 为非负数; (2) 含 有二次根号,所以 22 是二次根式. 1 ( x ? 0) 是二次根式 (3) 代数式 a ? 2(a ? 2), x 吗? 答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式 .

22 是二次根式吗?

注意
a ? 1 这类代数式只能称为含有二次 如: 根式的代数式,不能称之为二次根式;


2 x2 ? 2 x ? 3

2, 3 这些二次根式看 这类代数式,应把 做系数或常数项,整个代数式仍看做整式。

说一说:
下列代数式中哪些是二次根式?
⑴ ?
⑶ ?
1 2



? 16
? x ( x ? 0)
a?9

a ? 2a ? 2
2
2

⑷ ? ⑹

⑸ ? ?m ? 3?

a ? 1 (a ? ?3)

例题吧
例1 x为何值时,下列各式在实数范围内有意义。
1 x ? 5 x ?5

(1)

(2) 1 ? x

2

(3) 1 ? x ? 3 ? x

解: (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时, x ? 5有意义.

(2) 因为不论x是什么实数,都有 1 ? x > 0. ∴当 是任何实数时, 2 有意义.
2

1? x ?1 ? x ? 0 (3)由题意可知:

? ?3 ? x ? 0

∴当 -1≤ x ≤3时, 1 ? x ? 3 ? x 有意义.

1 当x取何值时, 在实数范围内有意义。 x ?5
解:由题意得
?x ? 5 ? 0 ? ? 1 ?0 ? ?x ?5
1 x ?5

?

x-5 > 0

∴ 当x>5时,

在实数范围内有意义。

求二次根式中字母的取值范围的基本依据:

①被开方数(式子)不小于零;

②分母中有字母时,要保证分母不为零。

1、 x取何值时,下列二次根式有意义?

(1) x ? 1 x ? 1 (2) ? 3x x ? 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x?0 x
1 (5) x x ? 0 (6) 2 x x ?1 0 ? ( x ? 2) x ? ?1, 且x ? 2 (7) x?3
3

x?0

(8)

x?2 x

x ? 0 (9) x ? 1 x为全体实数
2

当x=-4时,求二次根式

1 ? 2x的值。

解:将x=-4代入二次根式,得

1 ? 2x ? 1 ? 2 ? (?4) ? 9 ? 3

?

若二次根式

2 x ? 1的值为3,求x的值。
2

解:

由题意 2 2x ?1 ? 9 得: 两边同时 平方得:
2

2x ?1 ? 3
2

x ?4 ? x ? ?2

小结一下
求二次根式的值:

先根据题意,列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。

?

1. 求式子 x+1- 5- x 有意义时X的取值范围


解:由题意得,

?x ?1 ? 0 ? ?5? | x |? 0 ? x ? ?1 ? ? 得 ?5 ?| x | ? 5 ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? ?5 ? x ? ?5

1 已知 ? 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a<0 ∴点A(-,+)

?a )

?

若a.b为实数,且 | 2 ? a | ? b ? 2 ? 0 求 a2 ? b2 ? 2b ?1的值。 解: ? 2 ? a ? 0, b ? 2 ? 0

而 2 ?a ? b?2 ?0
? 2 ? a ? 0, b ? 2 ? 0
?a ? 2 , b ? 2

?

?原式 ? a ? ? b ? 1? ? a ? ? b ? 1? ? 2 ? 1 ? 3
2 2 2 2

=_____ 1.若 (a ? 5) 2 ? (2b ? 3) 2 =0,则 ab 2 。
2.已知a.b为实数,且满足

a ? 2b ? 1 ? 1 ? 2b ? 1 ,你能求出a及 a+b 的值吗?

4.当x分别取下列值时, 求二次根式 4 ? 2 x 的值: (1) x=0 (2) x=1 (3) x=‐1 变式练习:若二次根式 求x的值.

x

2

的值为3,

隋堂练习 1

练习1:求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) a ? 1 (2)
1 1 ? 2a

(3) ( a ? 3)
2

2

?4? ?6?
?7?

2 ? 5x
2x ?1 1? x

?5? ?2 x ? 1?

x ? 5 ? 3 ? 2x
(8 )

一路下来,我们结识了很多新知识, 你能谈谈自己的收获吗?说一说,让大家 一起来分享。 s
1、二次根式的定义:像 a 2 ? 2500, ? , b ? 3这样 表示的算术平方根,且根号内含有字母的代数式叫 做二次根式。

2、二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方 数大于或等于零。
3、求二次根式的值:用数值代替二次根式里的字母。

按下列程序运算, 看哪一组完成得快。
输入一个数x 是否有意义 是 结果代入 100 ? x 是否有意义 是 结果代入 x 2 ? 21 是否有意义 是 结果代入 ( x ? 91) 2 是否有意义 带入 1 ?

2 x ? x2 否

输 否 出 这 否 个 数 否




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