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动点与直角三角形

发布时间:2014-02-11 11:01:36  

因动点产生的直角三角形问题

例1 2013年山西省中考第26题

如图1,抛物线y?123,与y轴交于x?x?4与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)42

点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

(1)求点A、B、C的坐标;

(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;

(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13山西26”,拖动点P在线段OB上运动,可以体验到,当P运动到OB的中点时,四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形.拖动点P在线段EB上运动,可以体验到,∠DBQ和∠BDQ可以成为直角.

请打开超级画板文件名“13山西26”,拖动点P在线段OB上运动,可以体验到,当P运动到OB的中点时,四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形.拖动点P在线段EB上运动,可以体验到,∠DBQ和∠BDQ可以成为直角. 思路点拨

1.第(2)题先用含m的式子表示线段MQ的长,再根据MQ=DC列方程.

2.第(2)题要判断四边形CQBM的形状,最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图,先得到结论.

3.第(3)题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形.

满分解答

1231x?x?4?(x?2)(x?8),得A(-2,0),B(8,0),C(0,-4). 424

1(2)直线DB的解析式为y??x?4. 2(1)由y?

由点P的坐标为(m, 0),可得M(m,?m?4),Q(m,m2?所以MQ=(?m?4)?(m2?12143m?4). 21

21431m?4)??m2?m?8. 24

当MQ=DC=8时,四边形CQMD是平行四边形. 解方程?12. m?m?8?8,得m=4,或m=0(舍去)4此时点P是OB的中点,N是BC的中点,N(4,-2),Q(4,-6). 所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.

所以四边形CQBM是平行四边形.

图2 图3

(3)存在两个符合题意的点Q,分别是(-2,0),(6,-4). 考点伸展

第(3)题可以这样解:设点Q的坐标为(x,(x?2)(x?8)). 1

4

1?(x?2)(x?8)QGBH11①如图3,当∠DBQ=90°时, ??.所以?. GBHD28?x2

解得x=6.此时Q(6,-4).

14?(x?2)(x?8)QGDH②如图4,当∠BDQ=90°时, ??2.所以?2. GDHB?x

解得x=-2.此时Q(-2,0).

图3 图4

例1 2012年广州市中考第24题

33如图1,抛物线y??x2?x?3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y84

轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式. ....

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.

请打开超级画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.

思路点拨 1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点D有两个.

2.当直线l与以AB为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点M有2个;当直线l与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.

3.灵活应用相似比解题比较简便.

满分解答

333(1)由y??x2?x?3??(x?4)(x?2), 848

得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线x=-1.

(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等.

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′. 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.

DGCO3由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以??. BGAO4399BG?,点D的坐标为(1,?). 444

因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG. 所以DG?

而D′H=DH,所以D′G=3DG?2727.所以D′的坐标为(1,).

44

图2 图3

(3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M. 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就只有1个点M了.

联结GM,那么GM⊥l.

在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.

MA3在Rt△EM1A中,AE=8,tan?M1EA?1?,所以M1A=6. AE4

所以点M1的坐标为(-4, 6),过M1、E的直线l为y??

根据对称性,直线l还可以是y?3x?3. 43x?3. 4考点伸展

第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式. 在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.

在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5.

因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C.

例3 2012年杭州市中考第22题

1选 在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).

(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.

动感体验

请打开几何画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.

请打开超级画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.

思路点拨 1.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是y?k.题目x

中的k都是一致的.

2.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O.

3.根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.

满分解答

(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是y?

当k=-2时,反比例函数的解析式是y??

(2)在反比例函数y?k. x2. xk中,如果y随x增大而增大,x

那么k<0.

当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x

增大而增大.

15抛物线y=k(x2+x+1)=k(x?)2?k的对称轴是直24

1线x??. 图1 2

1所以当k<0且x??时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.2

15(3)抛物线的顶点Q的坐标是(?,?k),A、B关于原点O中心对称, 24

当OQ=OA=OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.

15由OQ2=OA2,得(?)2?(?k)2?12?k2.

24

解得k1?,k2?.

2)

3)

图2 图3

考点伸展

k(k>0)交于A、Bx

和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.

问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?

如图5,当A、C关于直线y=x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.

因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形. 如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线y?

图4 图5

例4 2011年浙江省中考第23题

设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H的直角线.

1(1)已知直线①y??x?2;②y?x?2;③y?2x?2;④2

y?2x?4和点C(0,2),则直线_______和_______是点C

的直角线

(填序号即可);

(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11浙江23”,拖动点P在OC上运动,可以体验到,∠APB有两个时刻可以成为直角,此时△BCP∽△POA.

答案

(1)直线①和③是点C的直角线.

(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么=6或OP=1.

如图2,当OP=6时,l1:y?

1

x?6, l2:y=-2x+6. 2

BCPO2PO

,即.解得OP??

CPOA7?PO3

1

如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1, l2:y??x?1.

3

图2 图3

例5 2010年北京市中考第24题

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??m?125mx?x?m2?3m?2与x轴的交点44

分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.

(1)求点B的坐标;

(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动).

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;

②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10北京24”,拖动点P从O向A运动,可以体验到,两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线.

思路点拨

1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了.

2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有t的式子表示这些线段的长.

3.点C的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长.

4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于t的方程就可以求解了.

满分解答

(1) 因为抛物线y??m?125mx?x?m2?3m?2经过原点,所以44

125m2?3m?2?0. 解得m1?2,m2?1(舍去).因此y??x?x.所以点B的坐42

标为(2,4).

(2) ①如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t,点C的坐标为(3t, 2t).当点C落在抛物线上时,2t??1522?(3t)2??3t.解得t?OP?. 429

②如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合.此时3t=10.解得t?10. 3

如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQ=PE.此时10?3t?2t.解得t?2.

如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQ=PD.此时10?3t?4t.解得t?10.

7

图1 图2 图3

考点伸展

在本题情境下,如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切,求t的值. 如图5,当P、Q重合时,两圆内切,t?10. 3

如图6

,当两圆外切时,t?30?

图4 图5 图6

例6 2009年嘉兴市中考第24题

1选 如图1,已知A、B是线段MN上的两点,MN?4,MA?1,MB?1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB?x.

(1)求x的取值范围;

(2)若△ABC为直角三角形,求x的值; (3)探究:△ABC的最大面积?

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09嘉兴24”,拖动点B在AN上运动,可以体验到,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;∠CAB和∠ACB可以成为直角,∠CBA不可能成为直角;观察函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“U”形,当AB等于1.5时,面积达到最大值.

思路点拨

1.根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于x的不等式组,可以求得x的取值范围.

2.分类讨论直角三角形ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的存在性.

3.把△ABC的面积S的问题,转化为S2的问题.AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论,分CD在三角形内部和外部两种情况.

满分解答

?1?x?3?x,(1)在△ABC中,AC?1,AB?x,BC?3?x,所以? 解得1?x?2. 1?3?x?x.?

(2)①若AC为斜边,则1?x2?(3?x)2,即x2?3x?4?0,此方程无实根. ②若AB为斜边,则x2?(3?x)2?1,解得x?

③若BC为斜边,则(3?x)2?1?x2,解得x?

因此当x?5,满足1?x?2. 34,满足1?x?2. 354或x?时,△ABC是直角三角形. 33

1xh. 2(3)在△ABC中,作CD?AB于D,设CD?h,△ABC的面积为S,则S?

①如图2,若点D在线段AB上,则?h2?(3?x)2?h2?x.移项,得(3?x)2?h2?x??h2.两边平方,得(3?x)2?h2?x2?2x?h2?1?h2.整理,得x?h2?3x?4.两边平方,得x2(1?h2)?9x2?24x?16.整理,得x2h2??8x2?24x?16 所以S2?431122. xh??2x2?6x?4??2(x?)2?(≤x?2)2243

当x?4231时(满足≤x?2),S2取最大值,从而S取最大值.

2223

图2 图3

②如图3,若点D在线段MA上,则(3?x)2?h2??h2?x. 同理可得,S2? 431122. xh??2x2?6x?4??2(x?)2?(1?x≤)2243

. 2

2. 2

易知此时S?

综合①②得,△ABC的最大面积为

考点伸展

第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设AD?a, 例如在图2中,由AC?AD?BC?BD列方程1?a2?(3?x)2?(x?a)2. 整理,得a?

2

2

2

2

3x?4

.所以 x

?8x2?24x?16?3x?4?

1?a?1??. ??2

x?x?

2

2

因此

S2?

12

x(1?a2)??2x2?6x?4. 4

例 7 2008年河南省中考第23题

如图1,直线y??

4

x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).

3

(1)试说明△ABC是等腰三角形;

(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.

① 求S与t的函数关系式;

② 设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;

③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”,拖动点M从A向B运动,观察S随t变化的图象,可以体验到,当M在AO上时,图象是开口向下的抛物线的一部分;当M在OB上时,S随t的增大而增大.

观察S的度量值,可以看到,S的值可以等于4.

观察△MON的形状,可以体验到,△MON可以两次成为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

思路点拨

1.第(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.

2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.

3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.

4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

满分解答 (1)直线y??4x?4与x轴的交点为B(3,0)、与y轴的交点C(0,4).Rt△BOC3

中,OB=3,OC=4,所以BC=5.点A的坐标是(-2,0),所以BA=5.因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.

sinB?(2)①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H.在Rt△BNH中,BN=t,

所以NH?4,54t. 5

如图2,当M在AO上时,OM=2-t,此时

11424S??OM?NH?(2?t)?t??t2?t. 22555

定义域为0<t≤2.

如图3,当M在OB上时,OM=t-2,此时 11424S??OM?NH?(t?2)?t?t2?t.22555

定义域为2<t≤5.

图2 图3

②把S=4代入S? 22424t?t,得t2?t?

4.解得t1?2

,t2?25555

去负值).因此,当点M在线段OB上运动时,存在S=4

的情形,此时t?2?

③如图4,当∠OMN=90°时,在Rt△BNM中,BN=t,BM ?5?t,cosB?以3,所55?t325?.解得t?. t58

如图5,当∠OMN=90°时,N与C重合,t?5.不存在∠ONM=90°的可能. 所以,当t?25或者t?5时,△MON为直角三角形.

8

图4 图5

考点伸展

在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.

如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=2.5.

图6 图7

例8 2008年河南省中考第23题

4x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,31选 如图1,直线y??

0).

(1)试说明△ABC是等腰三角形;

(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.

① 求S与t的函数关系式;

② 设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;

③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”,拖动点M从A向B运动,观察S随t变化的图象,可以体验到,当M在AO上时,图象是开口向下的抛物线的一部分;当M在OB上时,S随t的增大而增大.

观察S的度量值,可以看到,S的值可以等于4.

观察△MON的形状,可以体验到,△MON可以两次成为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

思路点拨

1.第(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.

2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.

3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.

4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能. 满分解答

4x?4与x轴的交点为B(3,0)、与y轴的交点C(0,4). 3(1)直线y??

Rt△BOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5.

点A的坐标是(-2,0),所以BA=5.

因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.

(2)①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H.

在Rt△BNH中,BN=t,sinB?44,所以NH?t. 55如图2,当M在AO上时,OM=2-t,此时

11424S??OM?NH?(2?t)?t??t2?t.定义域为0<t≤2. 22555

如图3,当M在OB上时,OM=t-2,此时

11424S??OM?NH?(t?2)?t?t2?t.定义域为2<t≤5.

22555

图2 图3

②把S=4代入S? 22424t?t,得t2?t?4.

5555

解得t1?2

,t2?2.

因此,当点M在线段OB上运动时,存在S=4

的情形,此时t?2 ③如图4,当∠OMN=90°时,在Rt△BNM中,BN=t,BM ?5?t,cosB?所以3, 55?t325?.解得t?. t58

如图5,当∠OMN=90°时,N与C重合,t?5.

不存在∠ONM=90°的可能. 所以,当t?25或者t?5时,△MON为直角三角形.

8

图4 图5

考点伸展

在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.

如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=2.5.

图6 图7

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