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初三数学(前300名)

发布时间:2014-02-12 09:51:14  

和谐教育 快乐翠外 翠屏棠外寒假作业——新2012级 数学

宜宾翠屏棠湖外语学校

2012-2013学年上期 寒假作业

新2011级 数学(前300名同学完成)

二次函数

1、 已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1),B(0,3),第三个顶点C在x

轴的正半轴上.关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A,D(3,-2),P三点,且点P关于直线AC的对称点在x轴上.

(1)求直线BC的解析式;

(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式及点P的坐标;

(3)设M是y轴上的一个动点,求PM+CM的取值范围.

2、已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10, OC=6,

(1)如图甲:在OA上选取一点D ,将△COD沿CD翻折,使点O落在BC边上,记为E.求折痕CD 所在直线的解析式;

(2)如图乙:在OC上选取一点F,将△AOF沿AF翻折,使点O落在BC边,记为G. ①求折痕AF所在直线的解析式;

②再作GH//AB交AF于点

H,若抛物线y??

它与直线AF的公共点的个数. 12x?h过点H,求此抛物线的解析式,并判断12

(3)如图丙:一般地,在以OA、OC上选取适当的点I、J,使纸片沿IJ翻折后,点O落在BC边上,记为K.请你猜想:①折痕IJ所在直线与第(2)题②中的抛物线会有几个公共点;② 经过K作KL//AB与IJ相交于L,则点L是否必定在抛物线上. 将以上两项猜想在(l)的情形下分别进行验证.

23、已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的

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正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程

x2-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)求此抛物线的表达式;

(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.(本题满分14分)

4、如图,抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;

(2)在直线EF上求一点H,使△CDH

(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时, △EFK的面积最大?并求出最大面积.

5、已二次函数y1?x?2x?3及一次函数y2?x?m. 2

(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标;

(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,请你在图10中画出这个新图象,并求出新图象与直线y2?x?m有三个不同公共点时m的值:

(3)当0?x?2时,函数y?y1?y2?(m?2)x?3的图象与x轴有两个不同公共点,

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求m的取值范围.

6、如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB的负半轴和y轴的正半轴上,O两点的坐标分别为(?3,0)、(0,4),2

抛物线y?x2?bx?c经过B点,且顶点在3

5直线x?上. 2

(1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)若△DCE是由△ABO沿x的,当四边形ABCD是菱形时,明理由;

(3)若M点是CDCD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,

并求l取最大值时,点M的坐标.

7、如图,在直角坐标平面内,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),B点在x轴上且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y=x2的图象于点C和D,直线OC交BD于M,直线CD交y轴于点H。记C、D的横坐标分别为xC,xD,点H的纵坐标yH。

(1)证明:①S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3

②xC·xD=-yH

(2)若将上述A点坐标(1,0)改为A点坐标(t,0),t>0,其他条件不变,结论S△CMD:S梯形ABMC=2∶3是否仍成立?请说明理由。

(3)若A的坐标(t,0)(t>0),又将条件y=x2改为y=ax2(a>0),其他条件不变,那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系?写出关系式,并证明。

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8、如图所示,抛物线y??x2?2x?3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为y??l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.

⑴求A、B、C三个点的坐标.

⑵点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN.

①求证:AN=BM.

②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值.

9、 如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,

其中A(-2,0),B(-1, -3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A、B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;

(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.

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10、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y

轴上,OA? cm,

OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA

方向以每秒 cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.

(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;

(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;

1(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线y?x2?bx?c经过B、P两点,过4

线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ

2 11、已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,

y)向直线y?5作垂线,垂足为M,连FM(如图). 4

3

4(1)求字母a,b,c的值; (2)在直线x=1上有一点F(1,),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并

证明此时△PFM为正三角形;

(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请

求出t值,若不存在请

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12、在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =

12

x+1, 4

点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物 线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点 P(t,0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标;

(2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围; ② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.

13、如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上,顶点A的坐标

1

为(3,3),AD为斜边上的高.抛物线y=ax2+2x与直线y=x交于点O、C,点C的

2

横坐标为6.点P在x轴的正半轴上,过点P作PE∥y轴,交射线OA于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S. (1)求OA所在直线的解析式. (2)求a的值.

(3)当m≠3时,求S与m的函数关系式.

(4)如图②,设直线PE交射线OC于点R,交抛物线于点Q.以RQ为一边,在RQ的

3

右侧作矩形RQMN,其中RN.直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对

2

称图形时m的取值范围. 2

14、已知函数y1?x,y2?x?bx?c,?,?为方程y1?y2?0的两个根,点

M?1,T?在函数y2的图象上.

(Ⅰ)若??,??

1

31

,求函数y2的解析式; 2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B,当△ABM的面

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积为1时,求t的值; 12

(Ⅲ)若0?????1,当0?t?1时,试确定T,?,?三者之间的大小关系,并说明理由.

15、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y?kx?3,与x轴的交点为N,且

COS∠BCO=。 10

(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由;

(3)过点A作x轴的垂线,交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

16、如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点.若OA、OB的长分别是方程x?4x?3?0的两根,且(OA?OB)

?DAB?45°.

(1)求抛物线对应的二次函数解析式;

(2)过点A作AC?AD交抛物线于点C,求点C的坐标;

(3)在(2)的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,求C、D到直线l

的距离分别

2

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为d1、d2,试求d1+d2的最大值.

17、 如图12,已知二次函数y??

212x?bx?c(c?0) 的图象与x轴的正半轴相交于点2A、B,与y轴相交于点C,且OC?OA?OB.

(1)求c的值;

(2)若△ABC的面积为3,求该二次函数的解析式;

(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

18、如图所示,已知点A(?1,0),B(3,0),C(0,t),且t?0,tan?BAC?3,抛物线经过A、B、C三点,点P(2,m)是抛物线与直线l:y?k(x?1)的一个交点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)对于动点Q(1,n),求PQ?QB的最小值;

(3)若动点M在直线l上方的抛物线上运动,求△AMP的边AP上的高h的最大值.

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