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重要 辅导资料:全等三角形问题中常见的辅助线的作法

发布时间:2014-02-12 11:01:17  

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种:

1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对

折”.

2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是

全等变换中的“旋转”.

3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换

中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.

4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻

转折叠”

5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,

是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.

三角形辅助线做法

图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。

- 1 -

一、倍长中线(线段)造全等

例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.

BD

C

A

E

F

B

D

C

A

B

二、截长补短

1、如图,?ABC中,AB=2AC,AD平分?BAC,且AD=BD,求证:CD⊥AC

DEC

D

A

C

B

- 2 -

2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠CBA,∠DAB,CD过点E,求证;AB=AC+BD

四、借助角平分线造全等

1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD

A

C

B

C

2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.

- 3 -

EB

G

C

F

D

五、旋转

例1 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.

- 4 - ADFECB

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