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2013年北京各区初三数学一模分类汇编 代数综合 教师版

发布时间:2014-02-12 11:01:25  

2013年北京各区初三数学一模分类汇编 代数综合 教师版

1(海淀一模)、23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y?mx2?2mx?n与x轴交于A、B两点,点A的坐标为(?2,0).

(1)求B点坐标;

(2)直线y= 1x+4m+n经过点B. 2

①求直线和抛物线的解析式;

②点P在抛物线上,过点P作y轴的垂线l,垂足为D(0,d).将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象G.请结合图象回答:当图象G与直线y= 1x+4m+n只有两个公共点时,d的取值范围是 2

23.解:(1)依题意,可得抛物线的对称轴为x???2m?1.………………………1分 2m

∵抛物线与x轴交于A、B两点,点A的坐标为(?2,0),

∴点B的坐标为 (4,0).………………………2分

(2)∵点B在直线y= 1x+4m+n上, 2

∴0?2?4m?n①.

∵点A在二次函数y?mx-2mx?n的图象上,

∴0?4m?4m?n②. ………………………3分 由①、②可得m?21n??4. ………………………4分 ,2

11∴ 抛物线的解析式为y=x2?x?4,直线的解析式为y=x?2. ……………5分 22

(3)?

5?d?0. ………………………7分 21

2(东城一模)、23. 已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.

(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;

(2)当m为何整数时,原方程的根也是整数.

23.(本小题满分7分)

(m?3)?4(m?1) 解:(1)证明: Δ=

=m?6m?9?4m?4

=m?2m?5

=(m?1)?4.

∵ (m?1)≥0,

∴ (m?1)?4>0.

∴ 无论m取何实数时,原方程总有两个不相等的实数根. …………2分

(2) 解关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0, 222222

x? ………………3分 要使原方程的根是整数,必须使得(m?1)?4是完全平方数.

设(m?1)?4?a,

则(a?m?1)(a?m?1)?4.

∵ a+m?1和a?m?1的奇偶性相同, 222

?a?m?1?2,?a?m?1??2,可得?或? a?m?1?2.a?m?1??2.??

解得??a?2,?a??2,或?. ………………5分 ?m??1.?m??1.

2

将m=-1

代入x? x1??2,x2?0符合题意. ………………6分

∴ 当m=-1 时 ,原方程的根是整数. ……………7分

3(西城一模)、23.已知关于x的一元二次方程2x2?(a?4)x?a?0.

(1) 求证:无论a为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;

(2) 抛物线C1:y?2x?(a?4)x?a与x轴的一个交点的横坐标为

线C1向右平移2a,其中a?0,将抛物211个单位,再向上平移个单位,得到抛物线C2.求抛物 84线C2的解析式;

(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上,且A、B两点不重合,求代数式 2m3?2mn?2n3的值.

23.(1)证明:∵??(a?4)2?4?2a?a2?16, …………………………………1分 而a?0,

∴a2?16?0,即??0.

∴无论a为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根. …………2分

(2)解:∵当x?2a时,y?0, 2

a2a ∴2?()?(a?4)??a?0. 22

∴a?3a?0,即a(a?3)?0.

∵a?0,

∴a??3. ………………………………………………………… 3分

∴抛物线C1的解析式为y?2x?x?3?2(x?)?

∴抛物线C1的顶点为(?2214225. 8125,?). 48

∴抛物线C2的顶点为(0,?3).

∴抛物线C2的解析式为y?2x?3. …………………………4分

(3)解:∵点A(m,n)和B(n,m)都在抛物线C2上,

3 2

∴n?2m?3,且m?2n?3.

∴n?m?2(m?n).

∴n?m?2(m?n)(m?n).

∴(m?n)[2(m?n)?1]?0.

∵A、B两点不重合,即m?n,

∴2(m?n)?1?0.

∴m?n??

222221. ……………………………………………………… 5分 22∵2m?n?3,2n?m?3,

∴2m?2mn?2n

?2m?m?2mn?2n?n

?(n?3)?m?2mn?(m?3)?n

?3(m?n). ………………………………………………………………6分 2233

3??. ………………………………………………………………7分 2

34(朝阳一模)、23.二次函数y1?x2?x?n?的图象与x轴只有一个交点;另一个二次函数4

y2?nx2?2(m?1)x?m2?4m?6的图象与x轴交于两点,这两个交点的横坐标都是整数,且m 是小于5的整数.

求(1)n的值;

(2)二次函数y2?nx2?2(m?1)x?m2?4m?6的图象与x轴交点的坐标.

23. 解:(1)∵y1?x?x?n?3的图象与x轴只有一个交点, 4

32∴令y1?0,即x?x?n??0.……………………………………………1分 42

∴?1?1?4?n??

?3???0. 4?

解得n=1. ………………………………………………………………………2分

4

(2)由(1)知,y2?x?2?m?1?x?m?4m?6. 22

∵y2?x?2?m?1?x?m?4m?6的图象与x轴有两个交点, 22

∴?2???2(m?1)??4(m?4m?6) 22

?8m?20.

∵?2?0, 5.……………………………………………………………………………3分 2

又∵m?5且m是整数, ∴m?

∴m=4或3. …………………………………………………………………………5分 当m=4时,y2?x?6x?6的图象与x轴的交点的横坐标不是整数;

2当m=3时,y2?x?4x?3,令y2?0,即x?4x?3?0,解得x1?1,x2?3. 22

综上所述,交点坐标为(1,0),(3,0). ………………………………………7分

5(石景山一模)、23. 如图,直线y??3x?3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛

物线C1交x轴于另一点M(-3,0).

(1)求抛物线C1的解析式;

(2)直接写出抛物线C1关于y轴的对称图形C2的解析式;

(3)如果点A'是点A关于原点的对称点,点D是图形C2的顶点,那么在x轴上是否存在点P,使得△PAD与△A'BO是相似三角形?若存在,求出符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.

23.解:(1)设抛物线的解析式为:y?ax?bx?c(a?0)

5 2

∵直线y??3x?3交x轴于A点,交y轴于B点,

∴A点坐标为(1,0)、B点坐标为(0,3). ………………1分

又∵抛物线经过A、B、M三点,

?a?b?c?0,?a??1??∴?9a?3b?c?0, 解得:?b??2.

?c?3.?c?3??

∴抛物线C1的解析式为:y??x?2x?3.………………2分

(2)抛物线C1关于y轴的对称图形C2的解析式为:y??x?2x?3. ……3分

(3)A'点的坐标为(-1,0),∵y??x?2x?3??(x?1)?4,

∴该抛物线的顶点为D(1,4).………………………………4分

若△PAD与△A'BO相似, 2222

DABO741=?3时,AP?,P点坐标为(?,0)或(,0)……………5分 APOA'333

DABO1②当=?时,AP?12,P点坐标为(?11,0)或(13,0)…………6分 APOA'3①当

∴当△PAD与△A'BO是相似三角形时,

71P点坐标为(?,0)或(,0)或(?11,0)或(13,0) ………………7分 33

6(丰台一模)、23.二次函数y?x2?bx?c的图象如图所示,其顶点坐标为M(1,-4).

(1) 求二次函数的解析式;

(2)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合新图象回答:当直线y?x?n与这个新图象有两个公共点时,求n的取值范围.

2 23.解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数y?(x?m)?k的顶点坐标,

6

所以y?(x?1)?4?x?2x?3 ………………………1分

令x?2x?3?0,解之得x1??1,x2?3.

∴A,B两点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0)……………………3分

(2) 如图1,当直线y?x?b(b?1)经过A点时,可得b?1.

当直线y?x?b(b?1)经过B点时,可得b??3.

由图可知符合题意的b的取值范围为?3?b?1 ------------------- 7分

27(通州一模)、23. 已知二次函数y?x?2?k?1?x?4k的图象与x轴分别交于点A?x1,0?、222

31B?x2,0?,且?<x1<?. 22

(1)求k的取值范围;

(2)设二次函数y?x?2?k?1?x?4k的图象与y轴交于点M,若OM?OB,求二次函数2

的表达式;

(3)在(2)的条件下,若点N是x轴上的一点,以N、A、M为顶点作平行四边形,该平行四边

形的第四个顶点F在二次函数y?x?2?k?1?x?4k的图象上,请直接写出满足上述条2

件的平行四边形的面积.

23.

解:(1)令y?0,则x?2?k?1?x?4k?0 2

解方程得:x?2k或x?2, ……………… 1分;

0?,B?2,0?, 由题意得:A?2k,

31?2k??, 22

31∴??k??. ……………… 2分; 44∴ -

(2)令x?0,则y?4k,

4k?, ∴M?0,

∵OM?OB,

7

∴ ?4k?2, ……………… 3分; ∴ k??

21, 2∴y?x?x?2. ……………… 4分;

0?, 或∵OM?OB,B?2,

∴M?0,-2?,

把点M的坐标分别代入y?x?2?k?1?x?4k中, 2

∴4k??2, ……………… 3分; ∴ k??

21, 2∴y?x?x?2. ……………… 4分;

(3)2

,5

,5. (每个答案各1分) ……………… 7分.

18(门头沟一模)、23.已知关于x的一元二次方程x2?(m?2)x?2m?6?0. 2

(1)求证:无论m取任何实数,方程都有两个实数根;

12x?(m?2)x?2m?6的图象与x轴交于A、B 两2

点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且2AB=3OC,求m的值;

(3)在(2)的条件下,过点C作直线l∥x轴,将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻

折,二次函数图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,记为G.请你结合图象回1答:当直线y?x?b与图象G只有一个公共点时,b

3(2) 当m<3时,关于x的二次函数y?

123.解:(1)根据题意,得Δ?(m?2)2?4??(2m?6)?(m?4)2. 2

∵无论m为任何实数时,都有(m-4)2≥0,即Δ≥0,

∴方程有两个实数根.……………………2分

(2)令y=0,则12x?(m?2)x?2m?6?0. 2 解得 x1=6-2m,x2=-2.

∵ m<3,点A在点B的左侧,

∴ A(-2,0),B(?2m?6,0).……………………………………………3分

∴ OA=2,OB=?2m?6.

8

令x=0,得y=2m-6.

∴C(0,2m-6).

∴OC=-(2m-6)=-2m+6.

∵ 2AB =3 OC,

∴ 2(2?2m?6)?3(?2m?6).

解得m=

1

(3)当m?1时,抛物线的解析式为y?

点C的坐标为(0,-4).

1当直线y?x?b经过C点时,可得b=-4. 3

11当直线y?x?b(b<-4)与函数y?x2?x?4 3212x?x?4,2 (x>0)的图象只一个公共点时,

得x?b?1

312x?x?4. 2

整理得3x2?8x?6b?24?0.

由Δ???8??4?3???6b?24??0,解得b??244.9

44.………………7分 9结合图象可知,符合题意的b的取值范围为b>-4或b<?

9(平谷一模)、23. 已知关于m的一元二次方程2x2?mx?1=0.

(1)判定方程根的情况;

(2)设m为整数,方程的两个根都大于?1且小于3,当方程的两个根均为有理数时,求m的值. 2

23.解:(1)??m2?4?2?(?1)?m2?8. …….…………………………………………….1分 ∵ m2?0,

∴ ??m2?8?0.

所以无论m取任何实数,方程2x2?mx?1=0都有两个不相等的实数根. ………..2分

(2)设y?2x?mx?1

∵ 2x2?mx?1?0的两根都在?1和23之间, 2

∴ 当x??1时,y?0,即:2?m?1?0

393 当x?时,y?0,即:?m?1?0 222

1∴ ?2?m?1. ………………………..………..………………………………3分 3

∵ m为整数,

∴ m??2,?1,0. …………………………………………………………….. 4分 9

① 当m??2时,方程2x2?2x?1?0,??4?8?12, 此时方程的根为无理数,不合题意.

,不符合题意. 1③当m??1时,方程2x2?x?1?0,x1??,x2?1,符合题意. 2

综合①②③可知,m??1.………………………………………..………………7分 ②当m?0时,方程2x2?1?

0,x?

10(顺义一模)、23.已知关于x的方程mx2?(3m?2)x?2m?2?0

(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根.

(2)若关于x的二次函数y?mx?(3m?2)x?2m?2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数,且m为整数,求抛物线的解析式.

23.(1)证明:①当m?0时,方程为?2x?2?0,所以 x?1,方程有实数根.…… 1分 ②当m?0时, ????(3m?2)??4m(2m?2)

=9m?12m?4?8m?8m

=m?4m?4

=(m?2)?0 ………………………………2分

所以,方程有实数根

综①②所述,无论m取任何实数时,方程恒有实数根 …………3分

(2)令y?0,则mx?(3m?2)x?2m?2?0 2222222

2 ……………………5分 m

二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数,且m为整数,

所以m只能取1,2 解关于x的一元二次方程,得x1?1 ,x2?2?

所以抛物线的解析式为y?x?5x?4或y?2x?8x?6………………7分 22

11(房山一模)、23.已知,抛物线y??x2?bx?c,当1<x<5时,y值为正;当x<1或x>5时,y值为负.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若直线y?kx?b(k≠0)与抛物线交于点A(3,m)和B(4,n),求直线的解析式. 2

(3)设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F,交二次函数于H、G.

①求t的取值范围

②是否存在适当的t值,使得EFGH是平行四边形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.

10

23.解:

(1)根据题意,抛物线y??x?bx?c与x轴交点为(1,0)和(5,0)----1分

∴?2??1?b?c?0?b?6,解得?.

?c??5??25?5b?c?0

2∴抛物线的解析式为y??x?6x?5. --------------------2分

(2)∵y??x?6x?5的图象过A(

∴ m=23,m)和B(4,n)两点 2737,n=3 , ∴A(,)和B(4,3) ------------ 3分 424

37 ∵直线y?kx?b(k≠0)过A(,)和B(4,3)两点 24

71?3??k?b??k?∴?24,解得?2. ???4k?b?3?b?1

∴直线的解析式为y?1x?1. -------------------4分 2

?33?t>(3)①根据题意?2,解得?t?2 -------------------5分 2?t?2<4?

②根据题意E(t,11,F(t+2,t?2) t?1)22

22 H(t,?t?6t?5),G(t+2,?t?2t?3),

113t?6,FG=?t2?t?1. 22

11322若EFGH是平行四边形,则EH=FG,即?t?t?6=?t?t?1 22

7解得t=, - ---------------------6分 4

73∵t=满足?t?2. 42

7 ∴存在适当的t值,且t=使得EFGH是平行四边形.----------7分 4∴EH=?t?2

12(延庆一模)、24. (本题满分7分)

如图,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3) . 11

(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;

(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.

24. 解:(1)将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得:

2???4?4b?c?0…………………………1分 ?2?1?b?c?3??

解之得:b=4,c=0 …………………2分

所以抛物线的解析式为:y??x2?4x……3分

将抛物线的表达式配方得:y??x2?4x???x?2??4 2

所以对称轴为x=2,顶点坐标为(2,4)…………………4分

(2)点p(m,n)关于直线x=2的对称点坐标为点E(4-m,n),则点E关于y轴对称点为点F坐标为(4-m,-n),……………………………………5分

则四边形的面积OAPF=4n=20 所以n=5,因为点P为第四象限的点,所以n<0,所以n= -5 ………6分

代入抛物线方程得m=5 …………………………………………………7分

13(密云一模)、23在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).

(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.

23.(1)当k??2时,A(1,?2)

?A在反比例函数图像上

12

?设反比例函数为

代入A点坐标可得k??2

(图为一种可能的情况)

(2)要使得反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大, y?kx, ?y??2...........................2分 x

分 ?k?0.....................

而对于二次函数y?kx?kx?k,其对称轴为

要使二次函数满足上述条件,在k?0的情况下,

则x必须在对称轴的左边, 即x??1

2时,才能使得2x??12,

y随着x的增大而增大………………..4分 1x??2 ? 综上所述,则k?0,且

15Q(?,?k)(3)由(2)可得24

??ABQ是以AB为斜边的直角三角形

?A点与B点关于原点对称,所以原点O平分AB

又?直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半

?OQ?OA?OB...........................5分

作AD?OC,QC?OC

OQ?k

而OA??

?

k?分 则k?

14(大兴一模)23.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式;

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;

13

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.

23.

解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,

, 解得

.

∴ 抛物线为y=﹣x2+2x+3 . ………………………………………1分

又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,

解得 , .

∴ 直线AC为y=x+1 . ………………………………………2分

(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),

∴ 直线DN′的函数关系式为y=﹣x+

当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小

则m=﹣×= ………………………………………4分

(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2)

∵点E在直线AC上,设E(x,x+1)

① 当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3)

∵F在抛物线上, ∴x+3=﹣x2+2x+3

解得,x=0或x=1(舍去),∴E(0,1)

14

② 当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x﹣1)

由F在抛物线上,∴x﹣1=﹣x2+2x+3

解得x=或x=

满足条件的点E为E(0,1)、(

,∴ E(

,3)或(2,

,) 3)或(2).

……………………………………7分

15(怀柔一模)、23. 已知关于x的方程kx?(3k?1)x?3?0. 2

(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;

(2)若二次函数y?kx2?(3k?1)x?3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,求k值;

(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.

23. (1)证明:

①当k=0时,方程为x+3=0,所以x=-3,方程有实数根.…… 1分

②当k≠0时, ???3k?1??4k?3 2

=9k2?6k?1?12k

=9k2?6k?1

=?3k?1??0 ………………………………2分 2

所以,方程有实数根

综上所述,无论k取任何实数时,方程总有实数根

(2)令y?0,则kx2?(3k?1)x?3?0

解关于x的一元二次方程,得x1=-3 ,x2=?1 ……………………3分 k

∵ 二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,

∴k=1………………4分

(3)由(2)得抛物线的解析式为y?x2?4x?3

15

配方得y=(x+2)2-1

∴抛物线的顶点M(-2,-1)

1∴直线OD的解析式为y=x 2

1于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h,h),………52

1∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h)2+h. 2

1①当抛物线经过点C时,∵C(0,9),∴h2+h=9, 2分

解得h=

∴ 当 -1?. 4-1--1?≤h< 时,平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点. 44

………………………………………………………………6分

②当抛物线与直线CD只有一个公共点时,

1由方程组y=(x-h)2+h,y=-2x+9. 2

1得 x2+(-2h+2)x+h2+h-9=0, 2

1∴△=(-2h+2)2-4(h2+h-9)=0, 2

解得h=4.

此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意

…………………………………………………………………………7分

综上:平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或

16(海淀二模)23.已知:抛物线y?ax?(a?2)x?2过点A(3,4).

(1)求抛物线的解析式;

(2)将抛物线y?ax?(a?2)x?2在直线y??1下方的部分沿直线y??1翻折,图象其余的部分保持不变,得到的新函数图象记为G.点M?m,y1?在图象G上,且y1≤0. 22-1--1?≤h<. 44

16

①求m的取值范围;

②若点N?m?k,y2?也在图象G上,且满足y2≥4恒成立,则k的取值范围为. 23解:(1)∵抛物线y?ax?(a?2)x?2过点A(3,4),

∴9a?3(a?2)?2?4.

解得 a?1.

∴抛物线的解析式为y?x?x?2. --------------2分

2(2)①当y?0时,x?x?2?0.

∴x??1或2.

∴抛物线与x轴交于点A(?1,0),B(2,0) .-----3分

当y??2时,x?x?2??2.

∴x?0或1.

∴抛物线与直线y??2交于点C(0,?2), D(1,?2).

∴C,D关于直线y??1的对称点C'(0,0),D'(1,0).----4分

∴根据图象可得?1≤m≤0或1≤m≤2.----------------5分

②k的取值范围为k≥4或k≤?4.----------------7分

17(东城二模)23. 已知:关于x的一元二次方程(m?1)x?(m?2)x?1?0(m为实数).

(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;

(2)求证:抛物线y?(m?1)x?(m?2)x?1总过x轴上的一个定点;

(3)若m是整数,且关于x的一元二次方程(m?1)x?(m?2)x?1?0有两个不相等的整数根

时,把抛物线y?(m?1)x?(m?2)x?1向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.

23.解:(1)??(m?2)?4(m?1)?m.

∵方程有两个不相等的实数根,

∴m?0.……………………………………………………………………………1分

∵m?1?0,

17 222222222

∴m的取值范围是m?0且m?1.………………………………………………………2分

(2)证明:令y?0得,(m?1)x2?(m?2)x?1?0. ?(m?2)?m2?(m?2)?m∴x?. ?2(m?1)2(m?1)

∴x1??m?2?m?m?2?m1. …………………………………4分 ??1,x2??2(m?1)m?12(m?1)

m?1∴抛物线与x轴的交点坐标为(?1,0),(1,0).

∴无论m取何值,抛物线y?(m?1)x?(m?2)x?1总过定点(?1,0).……5分

(3)∵x??1是整数 ∴只需21是整数. m?1

∵m是整数,且m?0且m?1,

∴m?2.…………………………………………………………………………6分 当m?2时,抛物线为y?x?1.

把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为 2

y?(x?3)2?1?x2?6x?8.…………………………………………………7分

18(西城二模)23.在平面直角坐标系xOy中, A,B两点在函数C1:y?

其中k1?0.AC⊥y轴于点C,BD⊥x轴于点D,且 AC=1.

(1) 若k1=2,则AO的长为,△BOD的面积为

(2) 如图1,若点B的横坐标为k1,且k1?1,当AO=AB时,求k1的值;

k(3) 如图2,OC=4,BE⊥y轴于点E,函数C2:y?2(x?0)的图象分别与线段BE, x

BD交于点M,N,其中0?k2?k1.将△OMN的面积记为S1,△BMN的面积记为S2,若S?S1?S2,求S与k2的函数关系式以及S

k1x(x?0)的图象上,

18

23.解:(1) AO

,△BOD的面积为 1; ………………………… 2分

(2) ∵A,B两点在函数C1:y?

k1x

(x?0)的图象上,

∴点A,B的坐标分别为(1,k1),(k1,1). ………………… 3分 ∵AO=AB,

由勾股定理得AO2?1?k12,AB2?(1?k1)2?(k1?1)2, ∴1?k12?(1?k1)2?(k1?1)2.

解得k1?2

k1?2? …………………………………………… 4分 ∵k1?1,

∴k1?2. ………………… 5分 (3) ∵OC=4,

∴点A的坐标为(1,4).

∴k1?4.

设点B的坐标为(m,),

m

4

∵BE⊥y轴于点E,BD⊥x轴于点D, ∴四边形ODBE为矩形,且S四边形ODBE=4,

点M的纵坐标为

4m

,点N的横坐标为m.

k2x

(x?0)的图象上,

∵点M,N在函数C2:y?∴点M的坐标为(∴S?OME=S?OND=∴S2=

12

mk24k

,),点N的坐标为(m,2).

m4m

k22

.

mk24

4m

k2m

(4?k2)

8

2

BM?BN?

12

(m?)(?

)?

.

∴S=S1?S2=(4?k2?S2)?S2=4?k2?2S2.

19

∴S?4?k2?2?(4?k2)

8212??k2?k2, ………………………… 6分 4

其中0?k2?4. 12112∵S??k2?k2??(k2?2)?1,而??0, 444

∴当k2?2时,S的最大值为1. …………………………………… 7分

19(朝阳二模)23.已知关于x的一元二次方程x2?(4?m)x?1?m = 0.

(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;

(2)此方程有一个根是?3,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y?x2?(4?m)x?1?m

向右平移3个单位,得到一个新的抛物线,当直线y?x?b与这个新抛物线有且只有一个公共点时,求b的值.

23. (1)证明:∵△=?4?m??4?1?m?.……………………………………………… 1分 =m?4m?12

=?m?2??8…………………………………………………………2分 ∴△>0. …………………………………………………………………3分

∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.

(2)把x=-3代入原方程,解得m=1. …………………………………………………4分 ∴y?x?3x. 2222

3?9? 即y??x???. 2?4?

3?9? 依题意,可知新的抛物线的解析式为y'??x???. ………………………5分 2?4?

即y'?x?3x

∵抛物线y'与直线y?x?b只有一个公共点,

∴x?3x?x?b..…………………………………………………………………6分

即x?4x?b?0.

∵△=0.

∴??4??4???b??0.2

22222

解得b= -4. ……………………………………………………………………7分

20(石景山二模)23.如图,抛物线y??x?ax?b过点A(-1,0),B(3,0),其对称轴与x2

20

轴的交点为C, 反比例函数y?k(x>0,k是常数)的图象经过抛物线的顶点D. x

(1)求抛物线和反比例函数的解析式.

(2)在线段DC上任取一点E,过点E作x轴平行线,交y轴于点F、交双曲线于点G,联结

DF、DG、FC、GC. y ①若△DFG的面积为4,求点G的坐标;

②判断直线FC和DG的位置关系,请说明理由;

③当DF=GC时,求直线DG的函数解析式.

解:

O x

23.解:

(1)?抛物线y??x?ax?b过点A(-1,0),B(3,0) 2

??1?a?b?0 ?? ?9a?3a?b?0?

?a?2 解得:? ?b?3

2 ∴抛物线的解析式为y??x?2x?3

顶点D(1,4) k函数y?(x?0,m是常数)图象经过D(1,4), x

?k?4.…………………………………………………………………… 2分

?4?(2)①设G点的坐标为?m?, ?m?

?4??4?据题意,可得E点的坐标为?1?,F点的坐标为?0?, ?m??m?

4 ?m?1,?FG?m,DE?4?. m

1?4??4? 由△DFG的面积为4,即m?4???4,得m?3,?点G的坐标为?3?. 2?m??3?

………………………………………………… 3分

②直线FC和DG平行.理由如下:

方法1:利用相似三角形的性质.

21

据题意,点C的坐标为(1,0),FE?1,

44,EG?m?1,DE?4? mm

44?GEm?1DE?m?1. ???m?1,?4EF1CE

m

GEDE ?. ?EFCE

??DEG??FE C

∴△DEG∽△FEC

??EDG??EC F

?FC//DG ………………………………………………… 5分 ?m?1,易得EC? 方法2:利用正切值.

据题意,点C的坐标为(1,0),FE?1,

4,EG?m?1, m

GEm?1mFE1m ???,??. ?tan?EDG?tan?ECF DE4?4CE4

mm

??EDG??EC F

?FC//DG. ?m?1,易得EC?

③解:方法1:

?FC∥DG,?当FD?CG时,有两种情况:

当FD∥CG时,四边形DFCG是平行四边形,

由上题得,GEDE??m?1,?m?1?1,得m?2.EFCE

?点G的坐标是(2,2).

设直线DG的函数解析式为y?kx?b,把点D,G的坐标代入,

?4?k?b,?k??2,解得? ?2?2k?b?b?6.

?直线AB的函数解析式是y??2x?6.…………………………………… 6分 当FD与CG所在直线不平行时,四边形ADCB是等腰梯形,

则DC?FG,?m?4,?点G的坐标是(4,1).

设直线AB的函数解析式为y?kx?b,把点D,G的坐标代入,

?4?k?b,?k??1, 得?解得? ?1?4k?b.?b?5

?直线AB的函数解析式是y??x?5.…………………………………… 7分 综上所述,所求直线DG的函数解析式是y??2x?6或y??x?5. 得?方法2.

在Rt⊿DFE中,FE?1,DE?4?4 m

22

?FD2?FE2?DE2?12?(4?

在Rt⊿GEC中,EC?42) m4,EG?m?1, m

4?CG2?EC2?EG2?()2?(m?1)2 m

?FD?CG ?FD2?CG2

44 ?12?(4?)2?()2?(m?1)2 mm

解方程得:m?2或m?4

当m?2时,点G的坐标是(2,2).

设直线DG的函数解析式为y?kx?b,把点D,G的坐标代入, ?4?k?b,?k??2,得?解得? 2?2k?bb?6.??

?直线AB的函数解析式是y??2x?6.

当m?4时,?点G的坐标是(4,1).

设直线AB的函数解析式为y?kx?b,把点D,G的坐标代入, ?4?k?b,?k??1,得?解得? 1?4k?b.b?5??

?直线AB的函数解析式是y??x?5.

综上所述,所求直线DG的函数解析式是y??2x?6或y??x?5.

注:不同解法酌情给分

21(丰台二模)23.已知关于x的方程x2?(m?2)x?m?3?0.

(1)求证:此方程总有两个实数根;

(2)设抛物线y?x2?(m?2)x?m?3与y轴交于点M,若抛物线

与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M,求m的值.

23、(1)证明:

??b2?4ac?(m?2)2?4(m?3)?m2?8m?16?(m?4)2?0,----------- 1分 (备图)∴此方程总有两个实数根. ------------------------- 2分

(2)解:抛物线y?x2?(m?2)x?m?3与y轴交点为M(0,m?3).---------------------3分

抛物线与x轴的交点为(1,0)和(m?3,0),它们关于直线y??x的对称点分别为(0,?1)和

23

(0, 3?m).-----------------5分

由题意,可得:

?1?m?3或m?3?3?m,即m=2或m=3. -------------------------7分

122(通州二模)28. (14分)如图,二次函数y??x2?mx?n的图象与y轴交于点N,其顶点2

3M在直线y??x上运动,O为坐标原点. 2

(1)当m=-2时,求点N的坐标;

(2)当△MON为直角三角形时,求m、n的值;

(3)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,2),B(-4,-3),C(-2,2),当抛物线

1y??x2?mx?n在对称轴左侧的部分与△ABC

2

(第2问图) 1128. 解:(1)∵y??(x?m)2?m2?n 22

1∴抛物线顶点M坐标为(m,m2?n) ······················································ 1分 2

331∵顶点在直线y??x上∴m2?n=?m, 2222分

当m=-2时,n=1∴点N的坐标为(0,1) 4分

(2)若点M在第二象限时,△MON不可能为直角三角形,当点M在坐标原点时,△MON

不存在,若点M在第四象限,当△MON为直角三角形时,显然只有

∠OMN=90°. ································································································ 5分

过点M作x轴的垂线,垂足为H,则△OMN∽△MHO,∴OM2?MH?ON

24

·························································································································· 6分

3313设M(m,?m),则MH=m,OM2?m2,而ON=-n, 224

∴132313(-n),即n??m ① ··················································· 7分 m=m×426

34126又m2?n=?m,②由①、②解得m?,n?? 9分 2329

113(3)由(1)可知,y??x2?mx?m2?m,当点A(-4,2)在该抛物线上时, 222

113 ?(?4)2?4m?m2?m?2,整理,得m2?11m?20?0,

222

解得m? ························································································ 11分 ················································ 12分 5 ∵B(-4,-3),C(-2,2), ∴直线BC的解析式为y?x?7, 2 ∵在对称轴的左侧,∴m

代入抛物线解析式得x2?(5?2m)x?m2?3m?14?0,

令△=0得,(5?2m)2?4(m2?3m?14)?0,解得m??

25 31 ·························· 13分

3231················································································ 14分 m≤? ·32

23(门头沟二模)23. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??

经过原点O, 点B(-2,n)在这条抛物线上.

(1)求抛物线的解析式; m?422m?7x?x?m2?6m?883

(2)将直线y??2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线l, 若直线l经过B点,求n、b的

值;

(3)在(2)的条件下,设抛物线的对称轴与x轴交于点C,直线l与y轴交于点D,且与抛

物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点,且PB=PE,求P点的坐标.

23.解:(1)∵拋物线y??m?422m?7x?x?m2?6m?8经过原点, 832∴m?6m?8=0.解得m1=2,m2=4.

由题意知m?4,

∴m=2.………………………………………………………………………………1分 1∴拋物线的解析式为y?x2?x. ………………………………………………2分 4

1(2)∵点B(-2,n)在拋物线y?x2?x上, 4

∴n=3.………………………………………………………………………………3分 ∴B点的坐标为(–2,3) .

∵直线l的解析式为y??2x?b,直线l经过B点,

∴3??2??2??b.

∴b?1.……………………………………………………………………………4分

1(3)∵拋物线y?x2?x的对称轴为直线x=2,直线l的解析式为y=-2x-1, 4

1∴拋物线y?x2?x的对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0), 4

直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0,-1)、E(2,-5).

过点B作BG⊥直线x=2于G,与y轴交于F.

26

则BG=4.

在Rt△BGC

中,CB??5. ∵CE=5,∴ CB=CE.

过点E作EH⊥y轴于H. 则点H的坐标为 (0,-5).

∵点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1), ∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90

∴△DFB≌△DHE .

∴DB=DE.

∵PB=PE,

∴点P在直线CD上.

∴符合条件的点

P是直线CD设直线CD的解析式为y=kx+a.

??a??1,

将D(0,-1)、C(2,0)代入,得? 解得 ?1

k?.2k?a?0.??

?

2

∴ 直线CD的解析式为y?设点P的坐标为(x,∴

1

x?1. ………………………………………………5分 2

?a??1,

12

x?x), 4

11

x?1=x2?x. 24

解得 x1?3?,x2?3?5.

∴y1?

1?,y22

1?51?5

∴点P的坐标为(3?5,)或(3?5,).…………………………7分

22

24(昌平二模)23. 已知点A(a,y1)、B(2a,y2)、C(3a,y3)都在抛物线y?

12

x?

2

12

x上.

(1)求抛物线与x轴的交点坐标; (2)当a=1时,求△ABC的面积;

(3)是否存在含有y1、y2、y3,且与a无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,请说明理由.

27

23.解:(1)由y?121x?x=0,得x1?0,x2?1. 22

∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、(1,0). ········································ 2分

(2)当a=1时,得A(1,0)、B(2,1)、C(3,3), ······································ 3分

分别过点B、C作x轴的垂线,垂足分别为E、F,则有

S?ABC=S△AFC - S△AEB - S梯形BEFC =1(个单位面积)…………………………………4分 2(3)如:y3?3(y2?y1).

∵y1?12111112?a??a?a2?a,y2???2a????2a??2a2?a, 222222

11932y3???3a????3a??a2?a, 2222

11????12??1??2a????2a????a2?a?? 22????2??2 又∵3(y2?y1)=3??

=923································································· 5分 a?a. ·22

∴y3?3(y2?y1). ··················································································· 6分

25(顺义二模)23.已知抛物线y?3x?mx?2.

(1)求证:无论m为任何实数,抛物线与x轴 总有两个交点;

(2)若m为整数,当关于x的方程3x?mx?2?0的两个

有理数根都在?1与

值.

(3)在(2)的条件下,将抛物线y?3x?mx?2在x轴下

方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到

一个新图象G,再将图象G向上平移n个单位,若图象22244之(不包括-1、)时,求m的33G与过点(0,3)且与x轴平行的直线有4个交点,直

接写出n的取值范围是 .

28

23.解:(1)∵△=m?4?3?(?2)?m?24,

∴无论m为任何实数,都有??m?24?0………………………… 1分 ∴抛物线与x轴总有两个交点. …………………………………… 2分

(2)由题意可知:抛物线y?3x?mx?2的开口向上,与y轴交于(0,-2)点,

∵方程3x?mx?2?0的两根在-1与

∴当x=-1和x?222224之间, 34时,y?0. 3

?3?m?2?0,?即?164 ………………………………………… 4分 ?m?2?0.??33

解得 ?5?m?1. ………………………………………… 5分 2

因为 m为整数,所以 m=-2,-1,0 .

当 m=-2时, 方程的判别式△=28,根为无理数,不合题意.

当 m=-1时, 方程的判别式△=25,根为x1?1,x2??2,符合题意. 3

当 m=0时, 方程的判别式△=24,根为无理数,不合题意.

综上所述 m=-1 . ………………………………………… 6分

(3)n的取值范围是

26(房山二模)23.已知二次函数y=x?kx?

211?n?3.………………………………… 7分 1217k-. 2229

(1)求证:不论k为任何实数,该函数的图象与x轴必有两个交点;

(2)若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A(1,0)的两侧,且关于x的一元二次方程k2x2+(2k+3)x+1=0有两个不相等的实数根,求k的整数值;

(3)在(2)的条件下,关于x的另一方程 x2+2(a+k)x+2a-k2+6 k-4=0 有大于0且小于3的实数根,求a的整数值.

23.(1)证明:△1=b2-4ac?k2-(4k-)?k2-2k?14

2?k2-2k?1?13=(k?1)?13>0 1272

∴不论k为任何实数,该函数的图象与x轴必有两个交点 -------------1分

(2)∵二次函数y=x?kx?217k-的图象与x轴的两个交点在点(1,0)的两侧, 22

且二次函数开口向上

∴当x=1时,函数值y<0, 即1?k?175k-<0,解得k< -----------------------------2分 223

22222∵关于x的一元二次方程k2x2+(2k+3)x+1=0有两个不相等的实数根 ∴k≠0且△2=b-4ac?(2k?3)-4k=4k+12k?9-4k=12k?9>0

3且k≠0 ------------------------------------4分 4

35∴-<k<且k≠0 43∴k>-

∴k=1 --------------------------------5分

(3)由(2)可知,k=1

∴x2+2(a+1)x+2a+1=0

解得x1=-1,x2=-2a-1 ---------------------------------6分

根据题意,0<-2a-1<

3

30

∴-2<a<-1 2

整数值为-1. ∴a的

-------------------------------7分

27(大兴二模)23.已知:如图,抛物线L1:y=x﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.

(1)直接写出点A和抛物线L1的顶点坐标;

2(2)研究二次函数L2:y=kx﹣4kx+3k(k≠0).

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否会因k值的变化而发生变

化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.

23.解:

(1)A(1,0),B(3,0),C(0,3),顶点坐标(2,﹣1).…………2分

(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:

(i)对称轴为x=2或顶点的横坐标为2,

(ii)都经过A(1,0),B(3,0)两点; …………………4分

②线段EF的长度不会发生变化. …………………………………5分

∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,

2 ∴kx﹣4kx+3k=8k,

2 ∵k≠0,∴x﹣4x+3=8,

解得:x1=﹣1,x2=5,

∴EF=x2﹣x1=6, …………………………………………………7分

∴线段EF的长度不会发生变化.

28(密云二模)23.已知:关于x的一元二次方程(m?1)x?(m?2)x?1?0(m为实数)

(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;

(2)在(1)的条件下,求证:无论m取何值,抛物线y?(m?1)x?(m?2)x?1总过x

31 222

轴上的一个固定点;

(3)若m是整数,且关于x的一元二次方程(m?1)x?(m?2)x?1?0有两个不相等的 整数根,把抛物线y?(m?1)x?(m?2)x?1向右平移3个单位长度,求平移后的 解析式.

23.(1)△=(m?2)2?4(m?1)?m2

∵方程有两个不相等的实数根,

∴m?0.

∵m?1?0,

∴m的取值范围是m?0,且m?1.……………………………2分

(2)证明:令y?0得,(m?1)x2?(m?2)x?1?0. 22

?(m?2)?m2?(m?2)?m ∴x?. ?2(m?1)2(m?1)

∴x1??m?2?m?m?2?m1. ……………4分 ??1,x2??2(m?1)2(m?1)m?1

m?1 ∴抛物线与x轴的交点坐标为(?1,0),(1,0),

∴无论m取何值,抛物线y?(m?1)x?(m?2)x?1总过定点(?1,0). ………5 分

(3)∵x??1是整数 ∴只需21是整数. m?1

∵m是整数,且m?0,m?1,

∴m?2. ……………………………………………………………6分 当m?2时,抛物线为y?x?1.

把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为

22y?(x?3)?1?x?6x?8. ……………………………7分 2

29(怀柔二模)23. 已知二次函数y?x?2x?m的图象C1与x轴有且只有一个公共点.

(1)求C1的顶点坐标;

32 2

(2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(—3,0),

求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标;

(3)若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的两点,且y1?y2.直接写出实数n的取值范围.

解:

23. 解:(1)y?x2?2x?m?(x?1)2?m?1,对称轴为x??1……1分

?与x轴有且只有一个公共点,∴顶点的纵坐标为0.

∴C1的顶点坐标为(—1,0) ……………2分

(2)设C2的函数关系式为y?(x?1)2?k……………3分

2把A(—3,0)代入上式得(?3?1)?k?0,得k??4,

∴C2的函数关系式为y?(x?1)?4. ……………4分

∵抛物线的对称轴为x??1,与x轴的一个交点为A(—3,0),由对称性可知,它与x轴的另一个交点坐标为(1,0). ……………5分

(3)n>2或n<-4……………7分

30

2

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