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八年级上册数学平方根与立方根

发布时间:2014-02-12 17:08:16  

一般地,如果一个正数x的平方等于 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 a , 读作“根号a”,a叫做被开方数。
2

即:x ? a(x ? 0 ),
2

 x叫做a的算术平方根,  记作:x ? a
特殊:0的算术平方根是0。记作:0 ? 0

探究 a
1. a表示a的算术平方根。
2.双重非负性: a ? 0;a ? 0;
也就是说,非负数的“算术”平方根是非负数。 负数不存在算术平方根,即当 无意义。 a ? 0 时, a

3.

是算术平方根的运算符 号。

思考:
下列各式哪些有意义,哪些没 有意义? (1)-

4
2

(2) ? 4 (4) ?3

(3) ??3?

? ?

2

例1 求下列各数的算术平方根: 49 (1)100 (2) (3)0.0001 64
解:(1)因为 102 =100,所以100的算术平 方根为10, 即 100 ? 10 49 ? 7 ? 49 (2)因为 ? ? = ,所以 的算术平方根 64 ? 8 ? 64 7 49 7 是 即 ? 8 64 8 (3)因为0.012 =0.0001,所以0.0001的算 术平方根为0.01,即 0.0001 =0.01。
2
2

例2:求下列各数的算术平方根,
( 1) 72 (2) (—25)2
(5).
2

1 (4). 6 4
(6).

(?3)2

3 ?4
2

补充练习:
1.81的算术平方根是     ;   81的算术平方根是     。

2.算术平方根是 9的数是     。
3. 36的算术平方根是     。
4. (? 3 )的算术平方根等于      。
2

利用计算器计算: 0.0625 ? 0.25

0.625 ? 0.791

6.25 ? 2.5
625 ?
25

62.5 ? 7.91 6250 ? 79.1

62500? 250
你能直接说出 6250000 与 625000 的值吗? 你发现其中有什么规律 ?
被开方数的小数点每向右(或左)移动两位,则它

的算术平方根的小数点向右(或左)移动一位.

1.若 12.5 ? 3.535 ,1.25 ? 1.118
0.3535 那 么 125 ? 11.8    ;   0.125 ?       。  

2.若 已 知 7.45 ? 2.729 , y ? 272.9;
74500 那 么y ?      。  

试比较下列各组数的大小

(1).4与 15
2

(2).2 7与6

解:(1).? 4 ? 16,
2

? 15 ?

2

? 15

? 4 ? 15
(2)

?( 7 ) ? 7,3 ? 9
2

? 7 ?3
2 2

?2 7 ? 6

已知非负数a、b 若a >b ,则a>b

小丽想用一块面积为400cm2正方形纸片, 沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方 形纸片用来绘画,使它的长宽之比为3:2, 不知能否裁出来,正在发愁。小明见了说“别 发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块 面积小的纸片”,你同意小明的说法吗? 小 丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?

解:设长方形纸片的长 为3xcm,宽为2 xcm. 2 3x ? 2 x ? 300 6 x ? 300 2 x ? 50 x ? 50

因此长方形纸片的长为3 50cm,宽为2 50cm.

? 50 ? 49
?3 50 ? 21

? 50 ? 7

即长方形纸片的长应该大于21cm 答:不能同意小明的说法,小丽不能用这块正 方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.

1.已知一个

数的平方等于9,那么这个数是多少?
因为 3 2 = 9 , (– 3 )2 = 9,

9 2.什么数的平方等于 , 16

所以一个数的平方等于9,这个数是3或–3.

3 2 9 3 2 9 ? ( ) ? ,(- ) ? 4 16 4 16 3 3 ? 这个数是 或 ? 4 4

就是说,如果x = a ,那么 x 就叫 做 a 的平方根. 如:±3是9的平方根,或说成9的平 方根是±3. 9 3 的平方根为 ? 16 4

一般地,如果一个数的平方等于a ,这 个数就叫做a 的平方根(或二次方 根).
2

求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3

例1:求下列各数的平方根: (1) 0.49 (2) 0

1 (3)64 (4)2 4

解:(1)∵ (±0.7)2=0.49

∴0.49的平方根是±0.7

正数有2个平方根,它们互为相反数; 0的平方根是0; 负数没有平方根。 问题:6的平方根是多少?

非正数a的平方根,用符号±
如6的平方根表示成 ? 6 36的平方根为 ? 36 ? ?6

表示

例1:求下列各数的平方根, 9 2  () 1 100 (2)  (3)(? 7) 16
2  (4) 132 ? 122  (5) (? 25)

±6   ? 2  2 : 36的平方根是  ; 4 的平方根是  ; 3   (? 5) 的平方根是  ; 9的算术平方根是  ; ? 5 
2

? 3   9的算术平方根的平方根是   。

3.计算各式中x的值: () 1 9 x ? 256 ? 0
2

25 解:(2).4(2x-1) ? 25......(2 x ? 1) ? 4 25 5 2x ?1 ? ? ...........2 x ? 1 ? 4 2 7 3 x ? 或x ? ? 4 4
2 2

(2) ( 4 2x ?1 )? 25 ? 0
2

1.思考:p.76.第11题,你能得到什么结 论?

a ?a
2

2. p.76.第11题,你能得到什么结论?

( a ) ? a(a ? 0)
2

问题:要做一个体积为27cm3的正方体模 型(如图),它的棱长要取多少?你是怎 么知道的?
解:设正方体的棱长为X㎝,则

这就是要求一个数,使它的立方等于27.

x ? 27
3
3

因为: 3 ? 27
所以 X=3. 即,正方体的棱长为3㎝ 思考:(1)什么数的立方等于-8? -2 (2)如果问题中正方体的体积为5cm3,正 方体的边长又该是多少?

一般地,一个数的立方等于a,这个数 就叫做a的立方根,也叫做a的三次方 根.记作 3 a . 其中a是被开方数,3是根指数,符号 3 ”读做“三次根号”. “
例: 4的立方根是多少? 3

4

又:如果正方体的体积为5cm3,正方体的边 长又该是多少? 3 设正方体的边长为X,则 x ? 5 所以正方体的边长是 3 5 ㎝.

1 13 因为( ) =0.125,所以0.125的立方是( ) 2 2
因为(0 ) =0,所以0的立方根是( 0 )
3

因为2 =8,所以8的立方根是( 2 )

3

因为 (-2) =-8,所以-8的立方根是( -2 )

3

8 2 3 ? 8 2 因为( ? ) = 27 ,所以- 的立方(? ) 27 3 3

求一个数的立方根的运算,叫做开立 方.

一个正数有一个正的立方根; 一个负数有一个负的立方根, 零的立

方根是零。
被开方数 正数 平方根 立方根

有两个互为相反数 有一个,是正数 无平方根 零

负数


有一个,是负数


因为 3

?8 = -2
3

? 8 = -2
3

所以 3 ?8 =

?27 所以 3 ?27
因为 3
3

= =

? 8 -3 3 ? 27 = 3 ? 27
3

-3

-a

a

互为相反数的数的立 方根也互为相反数

求下列各数的立方根 1 (1) 27 (2)-27 (3) (4)-0.064 (5) 0 27 3 解: (2)∵ (?3) ? ?27
∴-27的立方根是-3 即 3

例1

1 3 1 (3)∵ ( ) ? 3 27


? 27 ? ?3

1 1 的立方根是 27 3

1 1 即 ? 27 3

3

例:求下列各式的值

(1). 64

3

3 ? 27 (3). (2). ?125 64
3

解: (2). 3 ?125 ? ? 3 125 ? ?5

(3). 3 ?

27 64

3 ?? 4

先填写下表,再回答问题:
a
3

0.000001 0.001

1 1000 1000000

a

0.01

0.1

1

10

100

被开方数扩大(缩小)1000倍时,它的 立方根扩大(缩小)10倍.

(1). 2 ? 2 (2). ?2 ?
3 3
3 3

-2

(3). ( ?3) ? - 3
3 3

(4). 3
3

?5? ? ? ?6?

3

?
3

5 6
3

(5). ( ?0.17) ? - 0.17

于是有:a ? a
3

(1).( 8) ? 8 3 3 (2).( ?8) ? - 8
3 3

(3).( 27) ? 27
3 3

? ? 8 8 3 ? ? (4). ? ? ? ? ? 27 27 ? ?

3

于是有: a

?

3

?

3

?a


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