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124024二次函数

发布时间:2014-02-12 17:08:22  

1.如图所示,有一段长60米 的围栏,用它 围成一个矩形花圃,写出花圃面积y 平方米 与它的一边长 x米之间的函数关系式.
A

x

D

B

C

y ? x(30 ? x) ? ? x ? 30 x(0 ? x ? 30)
2

知识运用
下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 (2)y=3x2

(3)y=3x3+2x2
(5)y=x-2+x

(4)y=2x2-2x+1
(6)y=x2-x(1+x)

关于x的函数y= m ? 2 次函数, 求m的值.
解: 由题意可得
m
2

?

?x

m ?2

2

是二

? 2 ? 2

m ? 2 ? 0

解得,m ? 2 ?当m ? 2时,函数为二次函数。

注意:二次函数的二次项系数不能为零

x 5 y
125

10
200

15
225

20
200

25
125



240

220

180

140 100

y ? ? x 2 ? 30 x
5 10 15 20 25

向 上

向 下



二次函数y=ax2+bx+c的图像与a、b、c的关系

请你确定下列抛物线的开口方向、对称轴、 顶点坐标和最值

(1)y= ?2(x-2)2 - 1

(2) y ? 2 x ? 4 x ? 7
2

如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像
刘星同学观察得出了下面四 条信息: (1)b2-4ac>0; (2)c>1; (3)2a-b<0; (4)a+b+c<0。 请你判断正误。
y
1

1

-1

O

1

1

x

求抛物线解析式的方法
1、一般式:已知抛物线上的三点,通常设解 2+bx+c(a≠0) y=ax 析式为________________ 2、顶点式:已知抛物线顶点坐标(h, k)或对 称轴x= h ,通常设抛物线解析式为 y=a(x-h)2+k(a≠0) _______________

求符合下列条件的二次函数的解析式: 1.已知一个二次函数的图像经过点 (0,0),(1,-3),(2,-8) 2.已知二次函数的图像的顶点坐标为 (-2,-3),且图像过点(-3,-2)

在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c 9 经过点O(0,0)和点P( 2 ,0)。 (1)求抛物线的 表达式。 (2)已知矩形ABCD的三个 O 顶点为A(1,0),B(1, -5),D(4,0).设抛物 线分别与线段AB、CD交 -2 于点M、N. ①求出∠AMP 的度数 -4 ②求△MPN的面积
A 2 D

P
5
N

E

M

B

C

(3)若P点的坐标为(t,0)且有4<t<5 ①求c、b(用含t的代数式表示) ②你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化,说 明理由;若不变,求出∠AMP的值;
解:⑴把 x=0,y=0 代 入y=x2+bx+c,得. c=0。再把x=t,y=0代入 y=x2+bx,得,t2+bt=0 ∵t>0,∴b=-t ∴ y=x2-tx
A
2

D

P 5

-2
M

N

②不变.当x=1时,y=1-t.故
M(1,1-t),AM=t-1,AP=t-1. 故△AMP等腰直角三角形, ∠AMP为45度

-4
B C

解:可求N(4,16-4t) DN=4t-16
S ? S四边形AMNP ? S? APM ? S? DPN ? S梯形AMND ? S? PAM

③求△MPN的面积S与t的函数关系式, 21 并求t为何值时,S= 8

A

2

D

1 ? ? t ? 4 ?? 4t ? 16 ? 2 1 1 2 -2 ? ? 4 t ? 16 ? t ? 1 ? 3 ? t ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 M 3 2 15 ? t ? t?6 -4 2 2

E
N

P
5

解 得 由4<t<5 ,故t= 9 2

3 2 15 21 t ? t ?6 ? 2 2 8 1 9 t1 ? t ? 2 2 2

B

C

如图15,在平面直角坐标系

中,点P从 原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位 长的速度运动t(t>0)秒,抛物线 y=x2+bx+c经过点O和点P.已知矩形 ABCD的三个顶点A(1,0)、B(1, -5)、D(4,0). ⑴求c、b(用含t的代数式表示); ⑵当4<t<5时,设抛物线分别与 线段AB、CD交于点M、N. ①在点P的运动过程中,你认为 ∠AMP的大小是否会变化?若变化, 说明理由;若不变,求出∠AMP的值; ②求△MPN的面积S与t的函数关系 式,并求t为何值时,S=
21 8

x ? bx ? c 的图象经过 (2010宁波)、如图,已知二次函数 y ? ? 1 2 A(2,0)、B(0,-6)两点。 (1)求这个二次函数的解析式。 (2)设该二次函数的对称轴与轴交于点C,连结BA、BC,求 △ABC的面积。
2

(3)求△ BDE的面积。 (4)已知点P是抛物线上 的一个动点,且位于B,E 两点之间,问:当点P运动 到什么位置时, △BPE的 面积最大?并求出此时P点 的坐标和△BPE的最大面 积.

知识结构
数表
表示方法 表达式 图像 图像形状 开口方向 性质 对称轴 最大(小)值 增减性

一般式

项点式 交点式

二 次 函 数

生活 中的 应用

结束寄语:

生活是数学的源泉, 探索是数学的生命。


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