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124405二次函数课件

发布时间:2014-02-12 17:08:26  

二次函数
①二次函数的定义及解析式的确定;②二次函数的图象和性质;③二次函数的应用.

1.(2010· 金华)已知抛物线 y=ax2 +bx+c 的开口向下,顶点坐标为(2,-3),那么该抛 物线有( ) A.最小值-3 B.最大值-3 C.最小值 2 D.最大值 2

解析:∵抛物线的开口向下,∴a<0,∴y 最大 =-3. 答案:B
2.(2008· 温州)抛物线 y=(x-1) +3 的对称轴是( A.直线 x=1 B.直线 x=3 C.直线 x=-1 D.直线 x=-3
2

)

解析:y=(x-1) +3 的对称轴是直线 x=1.
答案:A

2

3.(2009· 衢州)二次函数 y=(x-1) -2 的图象上最低点的坐标是( A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1, 2) D.(1,2)

2

)

解析:∵y=(x-1) -2,∴顶点坐标为(1,-2).
答案:B

2

4.(2009· 温州)抛物线 y=x -3x+2 与 y 轴交点的坐标是( A.(0,2) B.(1,0) C.(0, -3) D.(0,0)

2

)

解析:∵抛物线与 y 轴相交,∴x=0.当 x=0 时,y=2,∴交点坐标为(0,2).
答案:A

1 2 5. (2010· 宁波)如图, 已知二次函数 y=- x +bx+c 的图象经过 A(2,0), B(0, -6)两点. 2 (1)求这个二次函数的解析式; (2)设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 C,连结 BA, BC,求△ ABC 的面积.

解:(1)把 A(2,0),B(0,-6), ? 1 2 ?-2+2b+c =0, 代入 y=- x +bx+c 得? 2 ?c =-6. ?
? ?b=4, 1 2 解得? ∴这个二次函数的解析式为:y=- x +4x-6. 2 ? ?c =-6,

4 (2)∵该抛物线对称轴为直线 x=- =4. 1 2×?- ? 2 ∴点 C 的坐标为(4,0), ∴AC= OC-OA=4-2=2, 1 1 ∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6. 2 2

知识点一

二次函数的定义

一般地,如果 y=ax2 +bx+c(a、b、c 是常数,a≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 1.结构特征:①等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的 2 次式;②x 的最高次数是 2; ③二次项系数 a≠0. 2.二次函数的三种基本形式 (1)一般形式:y=ax2 +bx+c(a、b、c 是常数,且 a≠0); 2 (2)顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0),它直接显示二次函数的顶点坐标是(h,k); (3)交点式:y=a(x-x1 )(x-x2 )(a≠0),其中 x1 、x2 是图象与 x 轴交点的横坐标.

知识点二 二次函数的图象和性质

知识点三 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c及,b2-4ac的 符号之间的关系

注意:当 x=1 时,y=a+b+c;当 x=-1 时,y=a-b+c.若 a+b+c >0,即 x=1 时, y>0;若 a-b+c >0,即 x=-1 时,y>0.

知识点四 二次函数图象的平移
任意抛物线 y=a(x-h)2 +k 可以由抛物线 y=ax2 经过平移得到,具体平移方法如下:

知识点五 二次函数解析式的求法
1.设一般式:y=ax2 +bx+c(a≠0). 2 若已知条件是图象上三个点的坐标. 则设一般式

y=ax +bx+c(a≠0), 将已知条件代入, 求出 a、b、c 的值. 2.设交点式:y=a(x-x1 )(x-x2)(a≠0). 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1 )(x-x2 )(a≠0), 将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数 a,最后将解析式化为一般式. 3.设顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0). 2 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.
2

知识点六 二次函数的应用
二次函数的应用包括两个方法 (1)用二次函数表示实际问题变量之间关系. (2)用二次函数解决最大化问题(即最值问题),用二次函数的性质求解,同时注意自变量 的取值范围.

类型一

二次函数的图象和性质
2

(1)二次函数 y=-3x -6x+5 的图象的顶点坐标是( ) A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4) (2)将二次函数 y=x2 -2x+3 化为 y=(x-h)2 +k 的形式,结果为( A.y=(x+1)2 +4 B.y=(x-1)2 +4 C.y=(x+1)2 +2 D.y=(x-1)2 +2 (3)把抛物线 y=x2 向右平移 1 个单位,所得抛物线的函数表达式为( A.y=x2 +1 B.y=(x+1)2 2 2 C.y=x -1 D.y=(x-1)

)

)

【点拨】准确熟练地掌握二次函数的图象和性质是做此类题的关键. 【答案】(1)A (2)D (3)D

类型二

二次函数的解析式及应用

已知抛物线 y=-x2 +2x+2. (1)该抛物线的对称轴是________,顶点坐标________; (2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;

(3)若该抛物线上两点 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )的横坐标满足 x1 >x2>1,试比较 y1 与 y2 的大 小.

【点拨】本题考查二次函数图象的画法和解析式的确定.
【解答】解:(1)直线 x=1 (2) (1,3)

(3)因为在对称轴 x=1 右侧,y 随 x 的增大而减小,又 x1 >x2 >1,所以 y1 <y2 .

1.如图,已知抛物线 y=x +bx+c 的对称轴为 x=2,点 A、B 均 在抛物线上,且 AB 与 x 轴平行,其中点 A 的坐标为(0,3),则点 B 的坐 标为( ) A.(2,3) B.(3,2) C.(3,3) D.(4,3)
【解析】因为 AB 平行于 x 轴,所以 A、B 两点的纵坐标相同,B 点的纵坐标是 3,因为 对称轴为 x=2,A、 B 两点关于对称轴对称,所以 AB=4,所以 B 点的坐标为(4,3),故选 D.

2

【易错警示】不能意识到 A、B 两点到对称轴的距离相等.

2.已知点 A(1,1)在二次函数 y=x -2ax+b 的图象上. (1)用含 a 的代数式表示 b; (2)如果该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的顶点坐标.

2

【解析】(1)因为点 A(1,1)在二次函数 y=x2 -2ax+b 的图象上,所以 1=1-2a+b,得 b =2a. (2)根据题意,方程 x2 -2ax+b=0

有两个相等的实数根, 所以 Δ=4a2 -4b=4a2 -8a=0. 解得 a=0 或 a=2. 当 a=0 时,y=x2 ,这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0);当 a=2 时,y=x2 -4x+4 =(x-2)2 ,这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0). 所以,这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0).

【易错警示】当二次函数的图象与 x 轴只有一个交点时,b -4ac =0.

2

1.若二次函数 y=-x2 +2x+k 的部分图象如图所示,则关于 x 的一元二次方程- x2 + 2x + k= 0 的一个解 x1 = 3 ,另一个解 x2 = ________.

答案:-1

2.如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给小 明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米,绳子自 然下垂呈抛物线状,身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时,头部 刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为________米.
1 答案: 2

k 3.对于反比例函数 y= ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,则二次函数 y=kx2 +kx 的 x 大致图象是( )

答案:C

4.已知抛物线 C:y=x2 +3x-10,将抛物线 C 平移得到抛物线 C′. 若两条抛物线 C、 C′关于直线 x=1 对称,则下列平移方法中,正确的是( ) 5 A.将抛物线 C 向右平移 个单位 2 B.将抛物线 C 向右平移 3 个单位 C.将抛物线 C 向右平移 5 个单位 D.将抛物线 C 向右平移 6 个单位

答案:C

5.某宾馆有 50 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天 180 元时,房间会全部住 满.当每个房间每天的房价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个 房间每天支出 20 元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于 340 元.设每个房 间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的整数倍). (1)设一天订住的房间数为 y,直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为 w 元,求 w 与 x 的函数关系式; (3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
1 解:(1)y=50- x(0≤x≤160,且 x 是 10 的整数倍). 10 1 1 (2)w =(50- x)(180+x-20)=- x2 +34x+8 000. 10 10 1 1 (3)w =- x2 +34x+8 000=- (x-170)2 +10 890. 10 10 当 x<170 时,w 随 x 的增大而增大,但 0≤x≤160, 1 当 x=160 时,y=50- x=34,此时利润最大. 10 即当一天订住 34 个房间时,宾馆每天利润最大,最大利润是 10 880 元.

一、选择题 1.二次函数 y=-3x2-6x+5 的图象的顶点坐标是( A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4)
2 2

)

解析:∵y=-3x -6x+5,∴y=-3(x+1) +8,∴顶点坐标是(-1,8). 答案:A
2 2

2.若二次函数 y=x +bx+4 配方后为 y=(x-2) +k,则 b、k 的值分别为( A.0,5 B.0,1

C.-4,5 D.-4,1

)

解析:∵y=(x-2)2+k,∴y=x2 -4x+4+k=x2+bx+5, ? ?b=-4, ? ?b=-4, ∴? ? 4 + k = 5 , ? ?k=1. ? ?

答案:D

3.在平面直角坐标系中,抛物线 y=x -1 与 x 轴的交点的个数是( A.3 B.2 C.1 D.0
2

2

)

解析:因抛物线与 x 轴相交,∴y=0,∴x -1=0,∴x=± 1,交点为(1,0)、(-1,0)两个.
答案:B
4.如图,四边形 ABCD 中,∠ BAD=∠ ACB=90° , AB= AD, AC =4BC,设 CD 的长为 x,四边形 ABCD 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函 数关系是( ) 2 2 x 25 2 C.y= x2 5 A.y= 4 B.y= x2 25 4 D.y= x2 5

解析:过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,可证得△ ABC≌△DAE, 设 BC=a,则 AC=4a=DE, CE=3a, 1 在 Rt△DEC 中,由勾股定理易得 x=5a,即 a= x, 5 1 1 2 2 2 ∴S 四边形 ABCD =SRt △ABC+S△ACD = ×a×4a+ ×4a×4a=10a = x . 2 2 5

答案:C

5.已知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确 的是( ) A.a>0 B.c<0 2 C.b -4ac<0 D.a+b+c>0

解析: 抛物线开口向下, a<0; 与 y 轴交点说明 c>0; 与 x 轴有两个交点, 说明 b2-4ac>0; 当 x=1 时,y=a+b+c>0,D 正确.

答案:D
6.抛物线 y=x +bx+c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位,所得图象的解析 式为 y=x2 -2x-3,则 b、c 的值为( ) A.b=2,c =2 B.b=2,c =0 C.b=-2,c =-1 D.b=-3,c =2
解析:配成顶点式后解决抛物线的平移问题,倒着推 y=(x-1)2-4,平移后 y+3=(x 2 -1+2) -4 展开后对应系数相等选 B.
2

答案:B

1 2 7. 已知函数 y1 =x 与函数 y1 =- x+3 的图象大致如图. 若 y1 <y2 , 2 则自变量 x 的取值范围是( ) 3 3 A.- <x<2 B.x>2 或 x<- 2 2 3 3 C.-2<x< D.x<-2 或 x> 2 2
1 3 3 解析: 当 y1 =y2 时, x2 =- x+3 解得 x1 =-2, x2 = , 观察图象得当 y1 <y2 时, -2<x< . 2 2 2

答案:C
8.如图,点 A、 B 的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线 y=a(x-m)2 +n 的顶点在线段 AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两点(C 在 D 的左侧), 点 C 的横坐标最小值为-3,则点 D 的横坐标最大值为( ) A.-3 B.1 C.5 D.8

解析:当点 A(1,4)是抛物线的顶点时,D 点的横坐标有最大值为 8. 答案:D

二、填空题 1 2 9.将抛物线 y=- x 向上平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位后,得到的抛物线的解 2 析式为________.

解析:抛物线的平移问题把握上+,下-,左+,右-.
1 答案:y=- (x-1)2 +2 2

1 10.函数 y= x2 -4x+2k 的图象的顶点在 x 轴上,则 k=________. 2 1 解析:利用配方法得 y= (x-4)2+2k-8, 2 ∴顶点为(4,2k-8),因其在 x 轴上,∴2k-8=0,∴k=4.

答案:4

11. 已知二次函数 y=ax2+bx

+c(a≠0), 其中 a、 b、 c 满足 a+b+c =0 和 9a-3b+c =0, 则该二次函数图象的对称轴是直线________. 解析: 当 x=1, 时, y=a+b+c =0; 当 x=-3 时, y=9a-3b+c =0, ∴抛物线过点(1,0)、 (-3,0),∴对称轴为 x=-1.

答案:x=-1

三、解答题 12. 张大爷要围成一个矩形花圃. 花圃的一边利用足够长的墙, 另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成. 围成的花圃是如图所示的矩 形 ABCD. 设 AB 边的长为 x 米,矩形 ABCD 的面积为 S 平方米. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式; (不要求写出自变量 x 的取值范 围) (2)当 x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值.
2

4ac -b2 b (参考公式:二次函数 y=ax +bx+c(a≠0),当 x=- 时,y 最 大 (小 )值 = ) 2a 4a

解:(1)由题意得 S=AB· BC=x(32-2x),∴S=-2x2 +32x. (2)∵a=-2<0,∴S 有最大值, b 32 ∴x=- =- =8(米), 2a 2×?-2? 4ac -b2 322 S 最大值= =- =128(平方米). 4a 4×?-2? ∴x=8 时,S 有最大值是 128 平方米.

13.如图,已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴为 x=1,且 抛物线经过 A(-1,0)、C(0,-3)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式. (2)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 M, 使点 M 到点 A 的距离与 到点 C 的距离之和最小,并求出此时点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点,求使∠PCB=90° 的点 P 的坐标.

2

解:(1)根据题意,y=ax2 +bx+c 的对称轴为 x=1, 且过 A(-1,0)、C(0,-3),可得 b - =1, ? ? 2a ?a-b+c =0, ? ? c =-3, a=1, ? ? 解得?b=-2, ? ?c =-3.

∴抛物线所对应的函数关系式为 y=x2 -2x-3.

(2)由 y=x2 -2x-3 可得,抛物线与 x 轴的另一交点 B(3,0). 如图①,连结 BC,交对称轴 x=1 于点 M. 因为点 M 在对称轴上,MA= MB, 所以直线 BC 与对称轴 x=1 的交点即为所求的 M 点. 设直线 BC 的函数关系式为 y=kx+b,由 B(3,0)、C(0,-3),解 得 y=x-3,由 x=1,解得 y=-2. 故当点 M 的坐标为(1,-2)时,点 M 到点 A 的距离与到点 C 的 距离之和最小. (3)如图②,设此时点 P 的坐标为(1,m),抛物线的对称轴交 x 轴于 点 F(1,0).连结 PC、PB,作 PD 垂直 y 轴于点 D,则 D(0,m). 在 Rt△CDP 中, CD=|m-(-3)|=|m+3|,DP=1, 2 2 2 2 ∴CP =CD +DP =(m+3) +1. 在 Rt△PFB 中,PF=|m|,FB=3-1=2. 2 2 2 2 ∴PB =PF +FB =m +4. 2 2 2 2 2 在 Rt△COB 中,CB = OB +OC =3 +3 =18. 2 2 2 当∠PCB=90° 时,有 CP +CB =PB . 2 2 即(m+3) +1+18=m +4. 解得 m=-4. ∴使∠PCB=90° 的点 P 的坐标为(1,-4).

已知二次函数 y=ax2 +bx-3 的图象经过

点 A(2,-3),B(-1,0). (1)求二次函数的解析式; (2)填空: 要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点, 应把图象沿 y 轴向上平移________ 个单位.
? ? ? ?4a+2b-3=3, ?4a+2b=0, ?a=1, 解:(1)由已知,有? 即? ,解得? a - b - 3 = 0 , a - b = 3 , ? ? ? ? ? ?b=-2.

∴所求的二次函数的解析式为 y=x2 -2x-3. (2)4


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