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九年级数学正多边形与圆

发布时间:2014-02-13 09:57:03  

24.3 正多边形和圆

正多边形和圆
E

A

D

B

C

三条边相等,三个角也相等 (60度)。

四条边都相等,四个角也相 等(90度)。

正多边形:

各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。

正n边形:如果一个正多边形有n条边,
那么这个正多边形叫做正n边形。

想一想:

菱形是正多边形吗?矩形是正多边形吗?为什么?

A

D

B

C

弦相等(多边形的边相等)

弧相等—
圆周角相等(多边形的角相等)

—多边形是正多边形

证明:∵AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

A B
1 2 3 4







5

E

同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上, C ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.

D

正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.

E

D
半径R . O. 边心距r

F

中心角

C

正多边形的边心距: 中心到正多边形的一边 的距离.

中心角 ? 360 n

?

E 中心角

D

边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
180 ? ?AOG ? ?BOG ? n

F
R

. .O
a

C

G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r ? 面积S ?

A

a ?     , ) R( 2
2

2

1 1 L ? 边心距(r) ? na ? 边心距(r) 2 2

例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求
地基的周长和面积(精确到0.1平方米).

解:
由于ABCDEF是正六边形,所以 360 ? 它的中心角等于 ? 60 ?, 6 ?OBC是等边三角形,从而正 六边形的边长等于它的半径.

F

E

A
B

. .O
r R P

D
C

∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在Rt?OPC中,OC ? 4,PC ?

BC 4 ? ?2 2 2

根据勾股定理,可得边心距r ? 亭子的面积S ?

4

2

?2 ? 2 3

2

1 1 2 Lr ? ? 24 ? 2 3 ? 41 .6(m ) 2 2

(n ? 2) ? 180 ? n 正n边形的一个内角的度数是____________; 360 ? 中心角是___________; n
正多边形的中心角与外角的大小关系 相等 是________.

练习 P115.1.2.3

抢答题:
外接 △ABC的中心,它是△ABC的 1、O是正 圆与 内切 圆的圆心。 A

2、OB叫正△ABC的 , 半径 它是正△ ABC的 外接 圆的半径。 3、OD叫作正△ABC 边心距,它是正△ABC 的 的 内切 圆的半径。 B

.O D
C

4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 中心 正方形ABCD的 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距

A .O B E

D

C

6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 , 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。

中心 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 角, 它的度数是 72度 D
E C

.O A F B

8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么

数量关系?为什么?

E

D

F

.O

C

A

B

1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等

3、正多边形都是轴对称图形,一个正n边形 共有n条对称轴,每条对称轴都通过n边形 的中心。

4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形,它的中心就是对称中心。

画正多边形的方法

1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆

(1)正四、正八边形的尺规作图

(2)正六、正三 、正十二边形的尺规作图

探究
按照一定比例,画一个停车 让行的交通标志的外缘


练习: (1)用量角器作五角星; (2)P116.

A

如图:
已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点, 画出⊙O的内接和外 切正五边形

B O C D

E

小结: 1、怎样的多边形是正多边形? 各边相等,各角 也相等的多边形 叫做正多边形。

你能举例说明吗?

2、怎样判定一个多边形是正多边形?

根据正多边形与圆关系的 第一个定理

达标检测:
1、判断题。

①各边都相等的多边形是正多边形。

(× )

②一个圆有且只有一个内接正多边形。 ( × ) 2、证明题。 求证:顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。 B E A F

C

D


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