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第七章第6节二元一次方程与一次函数-教案

发布时间:2014-02-13 09:57:13  

一、教学内容

二元一次方程组的应用

1、 二元一次方程与一次函数的关系

初步理解二元一次方程与一次函数的关系

2、 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解, 体现了数形结合的数学思想.

二、知识要点分析

1、二元一次方程与一次函数的联系(重点、难点)

若k、b表示常数且k≠0,则y-kx=b为二元一次方程,有无数个解;将其变形可得y=kx+b,将x、y看作自变量、因变量,则y=kx+b是一次函数. 事实上,以方程y-kx=b的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=kx+b的图像相同.

举例说明:方程x-y=6的解有无数个,以方程x-y=6的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=x-6的图象相同.

2、一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2图象的交点坐标与方程组??y?k1x?b1,的解的关系

?y?k2x?b2

一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2图象的交点的坐标,就是方程组?

举例说明:

方程组??y?k1x?b1,的解. ?y?k2x?b2?x?y?2的解就是一次函数y=-x+2与y=5x-10的交点坐标.

?5x?y?10

归纳:

二元一次方程组无解?一次函数的图像平行(无交点)

二元一次方程组有一个解?一次函数的图像相交(有一个交点)

二元一次方程组有无数个解?一次函数的图像重合(有无数个交点)

3、用二元一次方程组确定一次函数解析式(这是重点、难点)

用二元一次方程组确定一次函数解析式的一般步骤:

(1)设一次函数为y=kx+b;

(2)将满足一次函数的两组数值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组;

(3)解得到的二元一次方程组,求出k,b的值;

(4)将k,b的值代入y=kx+b,即可确定一次函数的解析式.

考点一:二元一次方程与一次函数

例1、一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点是二元一次方程-2x+by=18?的一个解,?则b=___.

【思路分析】一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点坐标是(0,7),将x=0,y=7代入二元一次方程-2x+by=18,得7b=18,解得b?18. 7

规律与方法:先求出一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点坐标,然后代入二元一次方程中,即可求出b的值.

例2、方程2x+y=5的解有_____个,请写出其中的四组解____________.在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数______的图象上.

?x?0?x?1?x?2?x?3【思路分析】方程2x+y=5的解有无数个,例如:?,?,?,?,y??1y?5y?3y?1????

等等,方程2x+y=5可以变形为y=-2x+5,所以以方程2x+y=5的解为坐标的点在一次函数y=-2x+5的图象上.

解:无数;? ?x?0?x?1?x?2?x?3,?,?,?;y=-2x+5

?y?5?y?3?y?1?y??1

规律与方法:以方程y-kx=b的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=kx+b的图像相同.

考点二:二元一次方程组与一次函数

例3、如图,直线y=2x-4和直线y=-3x+1交于一点, 则方程组?

( )

A. x=0,y=1 B. x=0,y=-2 C. x=1,y=-2 ?2x?y?4 的解是?3x?y?1D. x=2,

y=0

【思路分析】直线y=2x-4可以变形为2x-y=4,直线y=2x-4的图象上的点的坐标是

方程2x-y=4的解;同样直线y=-3x+1可以变形为3x+y=1, 直线y=-3x+1的图象上的点的坐标是方程3x+y=1的解,所以直线y?2x?4和直线y??3x?1的交点坐标就是所

?2x?y?4得到的两个方程的公共解,即是方程组?的解.解:C 3x?y?1?

方法与规律:解决此类问题的关键是抓住二元一次方程组与一次函数的关系.

1?1?x?y??例4、用作图象的方法解方程组?22.

??2x?y?1

【思路分析】先将方程组中的两个方程变形为一次函数的形式,然后在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象,两函数图象的交点坐标就是方程组的解.

1111x?y?可得y?x?,由2x-y=1可得y=2x-1.在同一直角坐标系2222

11中作出函数l1:y?x?和函数l2:y=2x-1的图象,观察图象可得交点为(1,1),所22解:由?

1?1?x?y??x?1?以方程组?2的解为. 2??y?1?2x?y?1?

方法与规律:解决此类问题的关键是确定两个一次函数的图象的交点坐标.

考点三:用二元一次方程组确定一次函数

例5、如图,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据图中给的数据信息,解答下列问题:

(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式;

(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是多少?

【思路分析】要求函数的关系式,就要结合题意读出x、y的两对值,当x=4,y=10.5

和当x=7,y=15,这样就可以求出关系.

解:(1)设y?kx?b.

由图可知:当x?4时,y?10.5;当x?7时,y?15.

?10.5?4k?b,把它们分别代入上式,得 ? , 15?7k?b.?

解得k?1.5,b?4.5. ∴ 一次函数的解析式是y?1.5x?4.5.

(2)当x?4?7?11时,y?1.5?11?4.5?21.

即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是21cm.

规律与方法:此类题目要求能够把图形语言转化为数学语言,进而达到求解的目的. 例6、图中两条直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组________的解.

【思路分析】先根据图象确定两直线上的两个点的坐标,然后求出两个一次函数的关系

式,即可确定该方程组.

?k1?0?b1??4解:设直线l1:y=k1x+b1,由于直线l1经过(0,-4),(6,0)两点,所以?,6k?b?0?11

?b1??42?解得?2,所以l1:y?x?4. 3k1??3?

?k2?0?b2?4设直线l2:y=k2x+b2,由于直线l2经过(0,4),(2,0)两点,所以?,2k?b?02?2

?b2?4解得?,所以l2:y=-2x+4. k??2?2

2直线y?x?4可以变形为2x-3y=12,直线y=-2x+4可以变形为2x+y=4,所以该3

方程组为

?2x?y?4 ??2x?3y?12

规律与方法:解决此类问题的关键是确定两个直线的关系式.

一、选择题

x+n与y=mx-1相交于点(1,-2),则( ). 2

151A. m=,n=- B. m=,n=-1 222

53C. m=-1,n=- D. m=-3,n=- 22

12112. 直线y=x-6与直线y=-x-的交点坐标是( ). 31231﹡1. 若直线y=

A. (-8,-10) B. (0,-6);

C. (10,-1) D. 以上答案均不对

﹡3. 直线kx-3y=8,2x+5y=-4交点的纵坐标为0,则k的值为(

A. 4 B.

-4 C. 2 D. -2

第4题图 第5题图

4. 如图,一次函数图象经过点A,且与正比例函数y??x的图象交于点B,则该一次函数的表达式为( )

A. y??x?2 B. y?x?2

C. y?x?2 D. y??x?2

﹡5. 某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为( )

A. 20kg B. 25kg C. 28kg D. 30kg

﹡6. 用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是( )

A. ?

C. ??x?y?2?0 ?3x?2y?1?0 B. ? ?2x?y?1?0 ?3x?2y?1?0?x?y?2?0 2x?y?1?0?

?2x?y?1?0 3x?2y?5?0?D. ?

1

-11 第6题图 第7题图

﹡7. 甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进,A,B两地间的路程为20km. 他们行进的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之间的函数图象如图所示. 根据图象信息,下列说法正确的是( )

A. 甲的速度是4km/ h B. 乙的速度是10 km/ h

C. 乙比甲晚出发1 h D. 甲比乙晚到B地3 h

﹡8. 一名考生步行前往考场,10分钟走了总路程的1,估计步行不能准时到达,于是他4

改乘出租车赶往考场,他的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1),则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )

A. 20分钟 B. 22分钟 C. 24分钟 D. 26分钟

第8题图 第9题图 第10题图

﹡9. 弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数,如图所示,则不挂物体时弹簧的长度是( )cm.

A. 12.5 B. 20 C. 10 D. 15

﹡10. 某文具零售店老板到批发市场选购A、B两种文具,批发价分别是12元/件,8元/件. 若该零售店的A、B两种文具的日销售量y(件)与零售价x(元/件)均成一次函数关系(如图),则y与x的函数关系式为( ).

A. y=-x+20 B. y=-x-20 C. y=x+20 D. y=x-20

二、填空

11. 点(2,3)在一次函数y=2x-1的________;x=2,y=3是方程2x-y=1的_______.

4?x?,?x?y?3,?x??312. 已知? 是方程组?的解,一次函数y=3-x和y=+1的交点是_____. x2y??1??y?5?2?3?

﹡13. 在一次函数y=5-2x的图象上任取一点,它的坐标_____方程2x+y=5(此空填“适合”或“不一定适合”).

﹡﹡14. 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y(千米)随时间x(分)变化的图象,比赛开始_____分钟,两人第一次相遇

.

﹡16. 某市出租车计费标准如下:行驶路程不超过3千米时,收费8元;行驶超过3千米

的部分,按每千米1.60元计费.

(1)写出租车收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式_________;

(2)若某人一次乘出租车时,付了车费14.40元,则他这次乘坐了_______千米的路. ﹡17. 在直角坐标系中有两条直线:L1:y=

是_____,方程组?393x+和L2:y=-x+6,两直线的交点坐标552?3x?5y??9,的解是_____.3x?2y?12.?

【试题答案】

一、

1. C 【思路分析】两函数的交点坐标分别是y=

-2=x+n与y=mx-1这两个方程的解,所以215+n,解得n??,-2=m-1,解得m=-1. 22

1?y?x?6??22. C【思路分析】两直线的交点坐标是方程组?的解,解此方程组即可.

?y??2x?11

?3132?

3. B【思路分析】根据直线2x+5y=-4可求出交点的横坐标,即2x=-4,x=-2,即两直线的交点坐标是(-2,0),该交点坐标是方程kx-3y=8的解,所以-2k-0=8,解得k=-4.

4. B【思路分析】根据正比例函数可以确定交点坐标是(-1,1),一次函数经过(-1,

?1??k?b?k?11)与(0,2)两点,可设一次函数表达式为y=kx+b,则有?,解得?,所b?22?b??

以y=x+2.

5. A【思路分析】根据(30,300),(50,900)这两个点可以确定一次函数解析式为y=30x-600,当y=0时,30x-600=0,解得x=20,所以旅客可携带的免费行李最大质量是20千克.

6. D【思路分析】先求出两个一次函数的解析式,然后进行变形即可.

7. C【思路分析】甲的速度是20÷4=5km/h,乙的速度是20km/h, 乙比甲晚出发1 h,甲比乙晚到B地2 h,故本题答案是C.

8. C 【思路分析】从图象可以看出,他步行10分钟走了全程的

分钟;乘出租车2分钟行驶了全程的1,所以走完全程需要4041113-=,所以剩下的坐出租车需要6分钟,故2444

实际用时16分钟,所以节省了40-16=24分钟.

9. C【思路分析】设y=kx+b.由于一次函数经过(5,12.5),(20 20)两点,所以有?12.5?5k?b,解得k=0.5,b=10.所以一次函数解析式为y=0.5x+10,所以不挂物体时弹??20?20k?b

簧的长度为y=0.5×0+10=10.

10. A 【思路分析】设y=kx+b.由于一次函数经过点(10,10),(15,5),所以有?10?10k?b?k??1,解得,所以一次函数解析式为 y=-x+20. ???b?10?5?15k?b

二、

11. 图象上,解【思路分析】方程2x-y=1是由函数y=2x-1变形得到的,所以此函数图象上的点的坐标都是方程2x-y=1的解. 4512. (,)【思路分析】两个一次函数均是由方程组中的两个方程变形得到的,所以方程33

组的解就是两个一次函数的交点坐标.

13. 适合【思路分析】方程是由一次函数y=5-2x变形得到的,所以一次函数上任意一点的坐标都是方程的解.

14. 24【思路分析】观察图象可以看出,甲行驶过程中有三个图象段,中间图象段两函数有交点,中间函数图象经过(15,5)与(33,7),可求函数关系式为y=110x?,由于交93

点处的点的纵坐标是6,所以6=110x?,解得x=24.所以两人在24分钟时相遇. 93

15. 1500【思路分析】两函数的交点处表示两家费用相同,交点的横坐标表示行驶的路程,故答案是1500千米.

16. y=8+1.60(x-3)(x≥3),7【思路分析】车费分为两部分,一部分是不超过3千米的部分,另一部分是超出3千米的部分,所以关系式为y=8+1.60(x-3)(x≥3),将y=14.40代入所求关系式即可求出相应的路程.

?x?217.(2,3),?【思路分析】方程组中的两个方程是由两个一次函数变形得到的,y?3?

所以方程组的解就是两函数的交点坐标,可先解方程组,即可解答此题.

三、18. 解:(1)设关系式为y=kx+b,根据题意可得方程组??k?0?b?50,

?50k?b?150.

?k?2,解这个方程组得?∴y=2x+50. b?50.?

(2)当x=30时,y=2×30+50=110.

所以30分钟时水箱有水110升.

【思路分析】先设出一次函数关系式,然后找出两对数值代入,把问题转化成方程组的问题进行求解.

19. 解:(1)设此一次函数解析式为y?kx?b.

?15k?b?25,则? 解得k=?1,b=40. ?20k?b?20.

即一次函数解析式为y??x?40.

(2)每日的销售量为y=-30+40=10件,所获销售利润为(30?10)×10=200元.

【思路分析】本题主要考查的是利用二元一次方程组确定一次函数关系式.

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