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初三数学基本图形的对称性复习

发布时间:2014-02-13 10:53:27  

图形的对称性复习

一、题型特点

1、涉及主要知识点

涉及到的几何变换:轴对称、中心对称。

轴对称基本知识点:

1)主要概念

(1) 轴对称:两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合,我们就说这两个图 形成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段 叫做对称线段.

(2) 轴对称图形:如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重 合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

(3)两者的区别是:轴对称图形是一个具有特殊性质的图形,而轴对称是说两个图形之间的位置关系.

2)主要性质

轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那以对应线段相等,对应角相 等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分.

3) 简单的轴对称图形:

线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形

① 线段:有两条对称轴:线段所在直线和线段中垂线. ②角:有一条对称轴:该角的平分线所在的直线

③等腰(非等边)三角形是轴对称图形:有一条对称轴,底边中垂线.

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.等腰三角形的两个底角相等.

④等边三角形是轴对称图形:有三条对称轴:每条边的中垂线

中心对称基本知识点

1)主要概念

(1)中心对称图形定义:在平面内,一个图形绕某个点旋转180 ,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.

(2)中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转 180,如果它能够与另一个图形 完全重合,那么就说这两个图形关于这个点是对称的,这个点叫做对称中心.

2)主要性质

1

○○

(1)性质:中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都经过对称中心,并 且被对称中心平分.

(2)中心对称与旋转对称的关系:中心对称是旋转角是180的旋转对称.

(3)点P(x,y)关于原点的对称点P1 为3) 简单的中心对称图形:

线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等都是常见的中心对称图形

2、主要考点

考点1、判断轴对称图形、中心对称很图形

考点2、折叠问题

考点3、做轴对称图形、中心对称图形

考点4、利用图形的对称性解决简单的实际问题

3、考试说明的要求

①轴对称中考要求

A、了解图形的轴对称和轴对称图形,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

B、能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;掌握简单图形 之间的轴对称关系,并能指出对称轴;掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、 等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关性质。

C、能运用轴对称知识解决简单问题。

②中心对称中考要求

A了解图形的旋转,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质;会识别中心对称图形。

B能按要求作出简单平面图形旋转后的图形,能依据旋转前后的图形,指出旋转中心和旋转角

C能运用旋转的知识解决简单问题。

二、典例分析

考点一:判断轴对称图形或中心对称图形

例1(2009年内蒙古包头)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )

o

A.4个

【答案】B

2

B.3个 C.2个 D.1个

【解析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义,轴对称图形是指将图形沿某条直线折叠,直线两旁部分能够完全重合的图形,而中心对称图形是指将图形沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的图形.故同时符合上面两个条件的是第1、3和4个图形,正确答案选B.

考查方式:这个考点主要以选择题形式出现,试题多以日常生活中的工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字为材料,判断是否是轴对称图形或中心对称图形,不会有较大变化,应熟练掌握基本图形的轴对称性,结合实际图形进行辨认.

解题思路方法:熟练掌握基本图形的对称性,利用轴对称图形和中心对称图形的定义,结合实际图形进行辨认和判断

学生可能出现的问题与落实建议:个别学生如果判断不准,可以采取先利用轴对称图形和中心对称图形的定义判断,再折试卷、将试卷颠倒的方法进一步检验。

练习、

1、(2013山东烟台,2,3分)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( )

【答案】B

分析:将试卷颠倒,和原来图形相同的就是中心对称图形,故选B

2、(2013内蒙古呼和浩特,3,3分)观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有

( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

【答案】C

分析:将图形沿某条直线折叠,直线两旁部分能够完全重合的图形是后三个,沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的是后三个,将试卷颠倒,和原来图形相同的就是中

3

心对称图形,是后三个,它们也是轴对称图形,故选C

注意:以下练习分析同此

3、(2013湖北黄冈市,2,3分)随着人民生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中,是中心对称图形的是( )

【答案】A

分析:沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的只有A

4、 (2013甘肃白银,3,3分)下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台

的台徽,其中为中心对称图形的是

( )

【答案】C

5、(2013山东潍坊,2,3分)下面的图形是天气预报中的图标,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). A. B. C. D.

【答案】A

6、(2013江苏泰州,4,3分)下列标志图中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )

A. B. C. D.

【答案】 B.

7、(2013贵州省六盘水,4,3分)下列图形中,是轴对称图形的是( )

【答案】A

4

8、(2013浙江台州,4,4分)下列四个艺术字中,不是轴对称的是( )

A.金 B.木 C.水 D.火

9、(2013山东德州,2,3分)民族图案是数学文化中的一块瑰宝.下列图案中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是( )

A B C D

【答案】C

10、(3分)(2013?宁波)下列电视台的台标,是中心对称图形的是( )

【答案】D 11. (2013广东省,9,3分)下列图形中,不是轴对称图形的是( ) ..

【答案】 C.

12、(2013哈尔滨)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).

【答案】D

13、(2013北京,6,4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )

【答案】A.

5

14. (2013浙江义乌,7,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ).

A.4个 B.3个 D.1个 C.2个

【答案】 C.

15. (2013河南,2,3)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

【答案】D 16.(2013四川凉山州,6,4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.

B.

D.

【答案】B

17(2013四川绵阳,2,3分)下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴的是( )

【答案】 A

考点二、折叠中的轴对称

例1、如图,半圆A和半圆B均与y轴相切于点O,其直径CD,EF均与x轴垂直,以O?为顶点,仅开口方向相反的两条抛物线分别经过点两半圆的C,E和D,F,则图中阴影部分的面积是_______.

答案 :? 2

分析 :由题可知,半圆A与半圆B关于y轴对称,两条抛物线关于x轴对称,

∴S1=S3,S2=S4,

∴图中阴影部分的面积实际为半圆A的面积.

考查方式:这个考点主要以选择题、填空题形式出现,应熟练掌握

基本图形的轴对称性,

6

掌握关于折痕对称的图形是全等的.对应线段相等,对应角相等,全等形的面积也相等. 解题思路方法:由轴对称性得到全等图形,经翻折将不规则的阴影转化为规则的、特 殊的、可求面积的图形,从而达到求阴影面积的目的。

学生可能出现的问题与落实建议:利用图形变换求图形的阴影面积最好做为一个专题来复 习,让学生掌握这类题多数是利用平移、旋转、轴对称将阴影面积转化为规则的、特 殊的、可求面积的图形,从而达到求阴影面积的目的。

例2 (2011广东广州市)如图1所示,将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接 ..

着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后 的展开图是( )

B B

图1 D B(A)

A. B. C. D.

考查方式:这个考点主要以选择题形式出现,应熟练掌握基本图形的轴对称性,掌握关于折痕对称的图形是全等的.

解题思路方法:此题对折后应两条折痕互相垂直,所以展开图应沿横竖两条轴成轴对称,且剪出来的小锐角应远离矩形纸片的中心,所以答案为D.

例3、如图,已知折叠矩形的一边AD,使得点D落在BC边上的点F处,且AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.

答案:3cm

解析:由折叠性质知,

AF=AD=10cm,EF=DE.

设EC=xcm,则DE=(8-x)cm.

在Rt△ABF中,,

∴FC=BC-BF=10-6=4cm.

在Rt△CEF中,EF=EC+FC,

∴(8-x)=x+4,

∴x=3.

即EC的长为3cm.

思路分析:因为折叠是轴对称变换,属于全等变换,所以本题的思路主要是将线段转化代换,

7

222222

这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法.此题△ADE与△AFE应沿折痕成轴对称,

所以利用这两个三角形全等进行等量代换,设EC=x,将Rt△CEF中的各边分别表示出来,

利用勾股定理求解.得EC的长为3cm

考查方式:这个考点主要以选择题、填空题形式出现,应熟练掌握基本图形的轴对称性,

掌握关于折痕对称的三角形是全等的.对应线段相等,对应角相等.

解题思路方法:熟练掌握基本图形的对称性,利用折痕成轴对称的三角形是全等的.对应线段相等,对应角相等,即:折叠问题中注意它的对称性:对应边(角)的相等性;求这

类问题中的未知线段长,常设所求线段长为x,把其他线段用含x的代数式表示,选择一个直角三角形.根据勾股定理列方程,用方程思想求解.

学生可能出现的问题与落实建议:让学生知道这类题的基本思路就是:设所求线段长为x,

把其他线段用含x的代数式表示,选择一个直角三角形.根据勾股定理列方程,用方程思想求解.形成一个基本模式。

练习、

1. (2011山西)将一个矩形纸片依次按图(1)、图的方式对折,然后沿图(3)中的虚线

裁剪,最后头将图(4)的纸再展开铺平,所得到的图案是( )

(向上对

折)

(向右对

折) 图(3) 图(4)

ABCD

【答案】A 分析:此题对折后应两条折痕互相垂直,所以展开图应沿横竖两条轴成轴对称,且剪掉的图

形在矩形纸片的中间,所以答案为A.

2. (2011重庆市潼南)如图,在△ABC中,?C=90, 点D在AC上,,将△BCD沿着直 ?(第1题)

线BD翻折,使点C落在斜边AB上的点E处,DC=5cm,则点D到斜边AB的距离是 cm..

A

E

D

B

14题图C

【答案】5

分析:翻折之后,△BCD与△BED应沿BD对称,是全等三角形,所以?C=?BED=90,并?

8

且CD=DE,点D到斜边AB的距离正是DE,所以CD=DE=5

3.(2011山东济宁)如图,△ABC的周长为30cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC边于点E,连接AD,若AE=4cm,则△ABD的周长是

A.22cm B.20 cm

C.18cm D.15cm

【答案】A

分析:把△ABC的边AC对折,得到△CDE与△ADE全等,所以得到AE=CE=4cm,AD=DC。因为D 第9 △ABC的周长为30cm,所以AB+BC=30-8=22,△ABD的周长=AB+BD+AD= AB+BD+ DC= AB+BC=30-8=22,故选A

4. (2013四川成都,7,3分)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C与点C?重合.若AB?2,则C?D的长为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B

分析:△BCD与△BC?D关于BD对称,是全等的,所以C?D=CD=AB?2

5. (2013湖北十堰,6,3分)如图,将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合,已知AC=5cm,△ADC的周长为17cm,则BC的长为( )

A.7cm B.10cm C.12cm D.22cm A 【答案】C

C 分析:将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合,△BDE与△ADE关于DE对称,是 全等三角形,所以BD=AD,因为AC=5cm,△ADC的周长为17cm,所以AD+DC=12,而BC=BD+CD =AD+CD=12,选C

006. (2013湖南郴州,8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠A=25,D是AB上一点,

//将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B处,则∠ADB等于( )

0000 A.25 B.30 C.35 D.40

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【答案】D .

000,分析:在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠A=25,所以∠B=65将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落

///0 在AC边上的B处,所以△CBD 与△C BD全等,所以∠B=∠C BD=65,由三角形的外角等

/0于不相邻两个内角的和可知∠ADB等于40

7(2013内蒙古包头,18,3分)如图,在三角形纸片ADC中,∠C=90°,AD=6,折叠该纸片使点C落在AB边上的D点处,折痕BE与AC交与点E若AD=BD,则折痕BE长 为

E

A

【答案】4

分析:由折叠性质知,BC=BD,∠C=∠BDE=90°,所以∠ADE=90°,因为AD=6,AD=BD=6,所以BC=6, AB=12,BE=AE,由锐角三角函数可知∠A=30°,在Rt△

ADE中,设ED=xcm,则 AE=2x,由勾股定理可求BE长为

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