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初四数学

发布时间:2014-02-13 12:59:49  

初四数学

第一部分:压轴 第二部分:练习

数学压轴试题

1.已知:如图(1),在△ABC中,∠C=90°,BC=AC,点D、E分别在BC、AC边上,且CD=CE,连接AD、BE,点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点.易证:△OMN是等腰直角三角形. (1)将图(1)中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图(2),连接AE、BD,O、M、N仍为AB、AD、BE中点,则△OMN是等腰直角三角形的结论是否发生变化?并说明理由.

(2)若△CDE绕着点C顺时针继续旋转至图(3)所示位置时,O、M、N仍为AB、AD、BE中点,试问△OMN是等腰直角三角形的结论是否成立?(直接写出结论) 2. 以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.

(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.

FM

①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,EM=__________;

FM

②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角(0°<α<60°),其他条件不变,判断EM

的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;

(2)如图3,若BO=3,点N在线段OD上,且NO=2.点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为________.

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3. 如图甲,操作:把正方形CGEF的对角线,CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M.

(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,直接写出答案即可; (2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图乙),令CG=2BC其他条件不变,结论是否发生变化,并加以证明;

(2)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图丙),其他条件不变.探究:线段MD,MF的位置4. 已知:如图1,点O为正方形ABCD内任一点,连接AO、BO,分别以AO、BO为一边作如图所示正方形BOMN和正方形AOFE,连接CN (1)AE、CN之间有怎样的关系?请验证;

(2)若点O是正方形ABCD外部一点,如图2,其他条件不变(1)的结论是否成立?请验证. 及数量关系,并加以证明.

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5. 在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1,将三角板的直角顶点放在点P处,三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F,连接EF.

(1)如图,当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合,求此时PC的长;

(2)将三角板从(1)中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点 E与点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答:∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由.

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7. 已知,如图:在平面直角坐标系中,点D是直线y=-x上一点,过O、D两点的圆⊙O1分别交x轴、y轴于点A和B.

(1)当A(-12,0),B(0,-5)时,求O1的坐标;

(2)在(1)的条件下,过点A作⊙O1的切线与BD的延长线相交于点C,求点C的坐标;

8. 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),⊙M经过O、A两点,交x轴于点N. (1)如图1,若ON=3,设△AON的内心为I,过I作IB⊥AN于B,则AB-BN的值为__ (2)如图2,若∠NAO=30°,在E在⊙M上,且△AOE为等边三角形,P为劣弧AE上一点,且∠EOP=45°,求OP-AP的值; (3)如图3,在(2)的条件下,将一块含30°角的三角板的60°角的顶点置于N点,角的两边分别交AE、AO与G、H.当此三角板任意旋转时,△AGH的周长是否变化?若变化,请说明理由,若不

7变,请证明并求出值.

(3)若点D的横坐标为?2,点I为△ABO的内心,IE⊥AB于E,当过O、D两点的⊙O1的大小发

生变化时,其结论:AE-BE的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请求出变化范围.

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10. 已知:如图(1),在△ABC中,∠C=90°,BC=AC,点D、E分别在BC、AC边上,且CD=CE,连接AD、BE,点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点.易证:△OMN是等腰直角三角形.

(1)将图(1)中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图(2),连接AE、BD,O、M、N仍为AB、AD、BE中点,则△OMN是等腰直角三角形的结论是否发生变化?并说明理由.

(2)若△CDE绕着点C顺时针继续旋转至图(3)所示位置时,O、M、N仍为AB、AD、BE中点,试问△OMN是等腰直角三角形的结论是否成立?(直接写出结论)

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11. (1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E. 证明:DE=BD+CE. (2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. (3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.

第二部分:练习

12. 如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A、B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45°,求岛屿两端A、B的距离(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,

2≈1.41)

13. 如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线); (2)请分别说明两对三角形相似的理由.

(同一种商品不可同时参与两种活动,)

(1)某单位购买A商品30件,B商品80件,请分别计算两种方案的付款并比较说明哪种方案优惠? (2)若某单位购买A商品X件(X为正整数),且购买B商品的件数是A商品件数的4倍,请问该单位该如何选择才能获得最大优惠?(写出解题过程)

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15. 如图,王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°,在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°,已知甲楼高26米,求乙楼的高度.(≈1.7)

16. 如图,AB是⊙O直径,D为⊙O上一点,AT平分∠BAD交⊙O于点T,过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.

(1)求证:CT为⊙O的切线;

(2)若⊙O半径为2,CT=3,求AD的长.

17. 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE、OE.

(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由;

5

(2)若tanC=2,DE=2,求AD的长.

18. 如图(1),已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E. (1)求证:BD=AE.

(2)猜想:BD与DE、CE之间的关系,并证明你的猜想. (3)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?直接写出结果不需说明理由.

19. 如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题:

(1)当行驶8千米时,收费应为_____元;

(2)从图象上你能获得哪些信息(请写出2条); ①______________________________________; ②______________________________________; (3)求出收费y(元)与行使x(千米)(x≥3)之间的函数关系式.

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21.敏高家最近购买了一套住房,准备在装修时用木质地板铺设居室,用瓷砖铺设客厅,经市场调查得知,

用这两种材料铺设地面的工钱不一样,小亮根据地面的面积,对铺设居室和客厅的费用(购买材料费和

工钱)分别作了预算,通过列表,并用x(m2)表示铺设地面的面积,用y(元)表示铺设费用制成下

图,请你根据图中所提供的信息,解答下列问题:

(1)预算中铺设居室的费用为________元/m2;铺设客厅

的费用为______元/m2;

(2)表示铺设居室的费用y(元)与面积x(m2)之间的23. 图,直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线l2与直线l1关于x轴对称,已知直线l1的解析式为y=x+3, (1)求直线l2的解析式; (2)过A点在△ABC的外部作一条直线l3,过点B作BE⊥l3于E,过点C作CF⊥l3于F,请画出图形并求证:BE+CF=EF; (3)△ABC沿y轴向下平移,AB边交x轴于点P,过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q,与y轴相交于点M,且BP=CQ,在△ABC平移的过程中,①OM为定值;②MC为定值.在这两个结论中,函数关系为__________; 有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.

(3)已知在小亮的预算中,铺设1m2的瓷砖比铺设1m2

的木质地板的工钱多5元,购买1m2的瓷砖是购买1m2

3

木质地板费用的4,那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的

工钱各是多少元?购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用

各是多少元?

22. 已知:点A、B都在半径为9的圆O上,P是射线OA上一点,以PB为半径的圆P与圆O相交的

2

另一个交点为C,直线OB与圆P相交的另一个交点为D,cos∠AOB=3

(1)求:公共弦BC的长度;

(2)如图,当点D在线段OB的延长线上时,设AP=x,BD=y,求y关于x的函数解析式,并写出它

的定义域;

(3)如果直线PD与射线CB相交于点E,且△BDE与△BPE相似,求线段AP的长.

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24. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,-n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2-2x-3=0的两根.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.

25. 如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF. (1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长度; (2)当DE=8时,求线段EF的长;

(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出此时

点E的坐标;若不存在,请说明理由. 的坐标.

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①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D

26. 如图,OA、OB的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两根,且OA>OB.请解答下列问题: (1)求直线AB的解析式;

AP1

?

(2)若P为AB上一点,且PB3,求过点P的反比例函数的解析式;

(3)在坐标平面内是否存在点Q,使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

27. 如图,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N. (1)求线段OD的长;

28. 如图,已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B,OA=4,且OA、OB长是关于x的方程x2-mx+12=0的两实根,以OB为直径的⊙M与AB交于C,连接CM. (1)求⊙M的半径.

(2)若D为OA的中点,求证:CD是⊙M的切线.

29. 如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n个三角形的面积为________

30. 已知:⊙O1与⊙O2外切于点P,过点P的直线分别交⊙O1、⊙O2于点B、A,⊙O1的切线BN交⊙O2于点M、N,AC为⊙O2的弦. (1)如图(1),设弦AC交BN于点D,求证:AP?AB=AC?AD; (2)如图(2),当弦AC绕点A旋转,弦AC的延长线交直线BN于点D时,试问:AP?AB=AC?AD是否仍然成立?证明你的结论.

1

(2)若tan∠C=2,求弦MN的长

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