haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

三元一次方程组解题方法专题讲析

发布时间:2014-02-13 15:04:14  

一、三元一次方程组之特殊型

①?x?y?z?12?例1:解方程组?x?2y?5z?22②

?x?4y③?

分析:方程③是关于x的表达式,通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组,因此确定“消x”的目标。

解法1x.

?5y?z?12④把③分别代入①、②得? 6y?5z?22⑤?

?y?2,解得? ?z?2.

?x?8,?把y=2代入③,得x=8.∴?y?2, 是原方程组的解.

?z?2.?

根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为:

类型一:有表达式,用代入法型.

针对上例进而分析,方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。

解法2:消z.

①×5得 5x+5y+5z=60 ④

④-② 得 4x+3y=38 ⑤

③?x?4y?x?8,由③、⑤得? 解得? y?2.4x?3y?38⑤??

把x=8,y=2代入①得z=2.

?x?8,?∴?y?2, 是原方程组的解.

?z?2.?

根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为:

类型二:缺某元,消某元型.

?2x?y?z?15?例2:解方程组?x?2y?z?16

?x?y?2z?17?①② ③

分析:通过观察发现每个方程未知项的系数和相等;每一个未知数的系数之和也相等,即系数和相等。具备这种特征的方程组,我们给它定义为“轮换方程组”,可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。

解:由①+②+③得4x+4y+4z=48,

即x+y+z=12 .④

①-④得 x=3,

②-④得 y=4,

③-④得 z=5,

?x?3,?∴?y?4, 是原方程组的解.

?z?5.?

?x?y?20,?典型例题举例:解方程组?y?z?19,

?x?z?21.?①② ③

解:由①+②+③得2(x+y+z)=60 ,

即x+y+z=30 .④

④-①得 z=10,

④-②得 y=11,

④-③得 x=9,

?x?9,?∴?y?11, 是原方程组的解.

?z?10.?

根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为:

类型三:轮换方程组,求和作差型.

?x:y:z?1:2:7例3:解方程组??2x?y?3z?21①②

分析1:观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系,根据以往的经验,学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解,即由x:y=1:2得y=2x; 由

x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式,即?y?2x,①??z?7x,②

?2x?y?3z?21.?

求解。 ,根据方程组的特点,学生可选用“有表达式,用代入法”③

解法1:由①得y=2x,z=7x ,并代入②,得x=1.

把x=1,代入y=2x,得y=2;

把x=1,代入z=7x,得 z=7.

?x?1,?∴?y?2, 是原方程组的解.

?z?7.?

分析2:由以往知识可知遇比例式时,可设一份为参数k,因此由方程①x:y:z=1:2:7,可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的,并把三元通过设参数的形式转化为一元,可谓一举多得。

解法2:由①设x=k,y=2k,z=7k,并代入②,得k=1.

把k=1,代入x=k,得x=1;

把k=1,代入y=2k,得y=2;

把k=1,代入z=7k,得 z=7.

?x?1,?∴?y?2, 是原方程组的解.

?z?7.?

?x?y?z?111①?典型例题举例:解方程组?y:x?3:2②

?y:z?5:4③?

分析1:观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系,由例3的解题经验,学生易选择将比例式化成关系式求解,即由②得x =③得z=4y.从而利用代入法求解。 52 y; 由3

解法1:略.

分析2:受例3解法2的启发,有的学生想使用设参数的方法求解,但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢?通过观察发现②、③中都有y项,所以把它作

为桥梁,先确定未知项y比值的最小公倍数为15,由②×5得y:x=15:10 ,由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12。

解法2:由②、③得 x:y:z=10:15:12.

设x=10k,y=15k,z=12k,并代入①,得k=3.

把k=3,代入x=10k,得x=30;

把k=3,代入y=15k,得y=45;

把k=3,代入z=12k,得 z=36.

?x?30,?∴?y?45, 是原方程组的解.

?z?36.?

根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为:

类型四:遇比例式找关系式,遇比设元型.

二、三元一次方程组之一般型

?3x?y?z?4,?例4:解方程组?x?y?z?6,

?2x?3y?z?12.?①② ③

分析:对于一般形式的三元一次方程组的求解,应该认清两点:一是确立消元目标——消哪个未知项;二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用,怎么才能做到“目标明确,消元不乱”,为此归纳出:

(一) 消元的选择

1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元;

2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。

(二) 方程式的选择

采取用不同符号标明所用方程,体现出两次消元的过程选择。 ?3x?y??4?解:?x?y??6

?2x?3y??12?①?②? ③??

(明确消z,并在方程组中体现出来——画线)

①+③ 得5x+2y=16, ④ (体现第一次使用在①③后做记号√)

②+③ 得3x+4y=18, ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△)

由④、⑤得??5x?2y?16,④

?3x?4y?18.⑤

解得??x?2,

?y?3.

把x=2 ,y=3代人②,得 z=1.

?x?2,

∴??y?3, 是原方程组的解.

??z?1.

?①?

典型例题举例:解方程组?2x?4

???y??3z?9,

?3x?2??y??5z?11,②??

???5x???6y??7z?13.③?

分析:通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小,因此确定消方程②作为桥梁使用,达到消元求解的目的。

解:②×2 得 6x-4y+10z=22, ④

2x +4y+ 3z=9, ①

①+④ 得 8x +13z=31 . ⑤

②×3 得 9x-6y+15z=33 ,⑥

5x-6y+7z =13, ③

⑥-③得 4x +8z =20 .

x +2z=5 . ⑦

由⑤、⑦得??8x?13z?31,⑤

?x?2z?5.⑦

解得??x??1,

?z?3.

把x=-1 ,z=3代人① ,得 y?1

2. ??x??1,

∴??y?1, 是原方程组的解.

?2

??z?3.

三、三元一次方程组的相关变式题型 y。以

x?2y?z2x?y?3z3x?2y?4z????19103例五、解方程组

?x?2y?z?9(1)??2x?y?3z?10(2)

?3x?2y?4z??3(3)解:原方程组可化为?

由(1)+(3),得4x?3z?6(4)

由(1)+(2)?2,得5x?7z?29(5)

?4x?3z?6(4)?由(4)和(5)组成方程组,得?5x?7z?29(5)

?x?3?解这个方程组,得?z?2

把x?3,z?2代入(1),得3?2y?2?9 ∴ y??2

?x?3??y??2

?z?2?∴ 是原方程组的解

x?y?z

例六、已知2x?3y?4z?0,3x?4y?5z?0,求x?y?z的值。

?2x?3y?4z?0(1)?解:由题意,得?3x?4y?5z?0(2)

?x??31z?解这个方程组,得?y?22z

x?y?z?31z?22z?z?82???

当x??31z,y?22z时,x?y?z?31z?22z?z?5213

2

∴ 所求代数式的值为13

?x?y?3a(1)??y?z?5a(2)

?z?x?4a(3)?[例6] 已知方程组的解使代数式x?2y?3z的值等于?10,求a的

值。

解:(2)-(1),得z?x?2a(4)

(3)+(4),得2z?6a,z?3a

把z?3a代入(2)和(3),得y?2a,x?a

?x?a??y?2a

?z?3a∴ ?,把x?a,y?2a,z?3a代入x?2y?3z,得

a?2?2a?3?3a??10

a??55?3 ∴ 所求a的值为3

?x?2?ax?by?2??cx?2y?10[例7] 甲、乙两同学解方程组?,已知甲的正确解答是?y?4,乙由

?x?3?于看错了c,求出的解是?y?6.5,则求a,b,c的值。

?x?2?2a?4b?2??y?4?解:把代入原方程组,得?2c?2?4?10 ∴ c?1

?x?3?由?y?6.5满足ax?by?2,得3a?6.5b?2和(1)组成方程组,得

?a?5??b??2?2a?4b?2(1)?a?5???c?13a?6.5b?2(2)b??2? 解得? ∴ ?

∴ 所求a,b,c的值分别为5,?2,1

在此需要说明的是,每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的,需要进一步的观察,但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略,就可以以不变应万变,就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。

四、三元一次方程组的实际应用

例一:甲地到乙地全程是3.3km,一段上坡,一段平路,一段下坡。上坡每小时行3km,平路每小时行4km,下坡每小时行5km,那么,从甲地到乙地要51分钟,乙地到甲地要53.4分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少?

解:设从甲地到乙地上坡为Xkm,平路为Ykm,下坡为Zkm,则

X+Y+Z=3.3 ①

X/3 + Y/4 + Z/5 = 51/60 ②

Z/3 + Y/4 + X/5 = 53.4/60 ③

由②式得到20X+15Y+12Z=51 ④

由③式得到20Z+15Y+12X=53.4 ⑤

由⑤式-④式得到Z-X=0.3,那么Z=X+0.3 ⑥

将⑥式带入①式,得到X+Y+X+0.3=3.3,那么Y=3-2X ⑦

将⑥⑦式带入④式,得到20X+15(3-2X)+12(X+0.3)=51,那么,X=1.2,所以

Y=0.6,Z=1.5

所以,从甲地到乙地,上坡1.2千米,平路0.6千米,下坡1.5千米。 练习

1.甲、乙、丙三数的和是41,甲数的2倍比丙数的3倍大3,甲、乙两数的比为3:2。求这三个数。

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com