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初中数学-相似三角形及位似

发布时间:2014-02-14 09:46:35  

初中数学

一.知识结构 二.基本知识

三.知识的运用 四. 思考题

一.知识结构:

平行线分 线段成比 例定理
相似三角形

两个推论 运用 判定

判断
计算 证明

性质 相似的特 例位似

二.基本知识: (一) 平行线分线段成比例定理及其推论:

1.平行线分线段成比例定理
如图:若三条直线a∥b∥c A B C D E F a b c

则:

AB DE ? BC EF

2.平行线分线段成比例定理的推论: (1)”A字型”:如图若DE∥BC

A

AD AE ? 则: DB EC AD AE DE ? ? AB AC BC
(2) “8字型”,如图若AC∥BD

D B A O

E C

C

AO CO AC ? ? 则: OB OD DB
D B

二.相似三角形
1.定义:三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角 形相似.

2.判定: 预备定理:平行于三角形一边且与另两边或其延长线相
交的直线所截得的三角形与原三角形相似
E A A D E C B

D

B

C

(1).两个角对应相等的两个三角形相似. (2). 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相 似 (3).三边对应成比例的两个三角形相似. (4).斜边,直角边对应成比例的两个直角三角形相似 3.相似三角形的性质: (1).相似三角形的对应高的比,对应中线的比,对应 角平分线的比,周长的比都等于相似比. (2).相似三角形的面积比等于相似比的平方.

(三).位似图形 两个相似多边形,如果对应顶点的连线相交于一点, 这样的相似叫位似.交点叫位似中心. D
1

D1 D A O A1

A1 A O

D

B

C

B B1

C C1

B1

C1

D A O B C

C1

B1

位似图形的概念 可用来画相似图形.

A1 D1

三.知识的运用:

AC AB (A) ? CD BC

例1.如图具备下列哪个条件可使△ACD∽△BCA (

AB BD ? (B) AC CD



(C) AC 2 ? CD ? CB

(D) CD2 ? AD ? BD
C D

分析:因为△ACD与△BCA有一个公共 角∠C,所以要使它们相似,只须夹 这个角的两边对应成比例,

即:

CD CA ? , 所以AC 2 ? CD ? CB CA CB

B

A

答案 (C)

注:解此题运用了相 似三角形的判定。

2.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分别交BC于点G、H, 则图中共有相似三角形( ) (A)4对 (B)5对 (C)6对 分析:由已知得四个三角形: (D)7对
A F H B

△BFH∽△BAG ∽ △CEG ∽ △CDH
C

G

E

D

所以共有 3+2+1=6对相似三角形
答案 : C

注:解此题运用了数 组合数的方法。

3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD 交于点M、N两点,EF=18cm,MN=8cm,则AB的长等于( )

(A)10cm (B)13cm (C)20cm (D)26cm
分析:设,AB=a. DC=b因为EF为梯 形的中位线,所以
E

D

C F M N

a?b EF ? ,得:a ? b ? 36 A 2 连结CN并延长交AB于H,可证MN为?CAH的

H

B

中位线,且HB ? DC ? b AH a ? b 所以:MN ? ? , 得:a ? b ? 16 . 2 2 ?a ? b ? 36 答案: D 解? ,得:a ? 26 cm ?a ? b ? 16

注:解此题运用了梯 形中位线性质,

梯形 问题转化为三角形问 题的方法,记住两个结 论。

4.如图在△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,M,N分别 是AB,AC边的中点,F,E是BC边上的点,且EF=5cm,
注:解此题运用了相似 三角形面积比等于相似 B 比的平方。
M A N C F

则阴影部分的面积为

30cm2

分析:首先△ABC的面积 可求:作AD⊥BC于D,
AD ? S ?ABC AB 2 ? BD 2 ? 13 2 ? 52 ? 12 1 ? ? 10 ? 12 ? 60 2

O

D E

连结MN,MN为三角形的 中位线,所以MN∥BC, △AMN∽ △ACB

设ME与NF交于O可证
S ?MON ? S ?OEF ? 2S?MON ? S?AMN

S ?AMN

1 ? S ?ABC 4

1 ? S阴影 ? 2S ?AMN ? ? 60 ? 30cm2 2

5.已知如图,△ABC中,D是AB中点,F在BC延长线上, A 连结DF交AC于E. 求证:CF∶BF=CE∶AE.
证明:(证法一)过C作CG∥AB交DF于G,则:
D

CF CG ? BF BD
∵ BD ? DA CF CG ? ? BF DA
B

H

E

G
F

C

证法二:过C作CH∥FD交AB于H,则

CG CE ∵ ? DA EA CF CE ? ? BF AE

∵ BD ? DA ?

CF DH ? BF DB
CF DH ? BF DA



DH CE ? DA EA CF CE ? ? BF AE

注:解此题运用了平行线中8字型,A字型中的比例,此题还有四种证法

6.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,将AB十 等分,P1, P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9为分点,分别连结C与各分 点,请你在图中找出一对相似三角形,并说明理由.
解:△BCP1∽△ BCP6 证明:∵∠C=90°,AC=8,BC=6
C

? AB ? AC 2 ? BC 2 ? 82 ? 6 2 ? 10
在△BCP1和△BCP6中 ∵∠B= ∠B BC2=36,
A P1 P2 P3 P P P6 P7 P8 P9 B 4 5

BP1· BP6=9×4=36
∴BC2= BP1· BP6

∴△BCP1∽△ BCP6 注:次题灵活运用了相似三角形的 判定

BP6 BC ? BC BP 1

练习三. 1.如图,DE∥BC,AD∶DB= 2 ∶3 ,则ΔADE 与 ΔABC 的周长之比为 ;面积之比为
D B

A


E C

2.如图在△ABC中,AB=AC,∠A=90°AB=10,

(1)画出△ABC的内接正方形DEFG,使EF在BC边上. A
(2)求出EF的长.

B

C

3,如图已知,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,将矩形对折 使点C与点A重合,EF为折痕,求EF的长.
A E D

B

F

C

祝大家学习愉快!


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