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最新人教版八年级上册第14章《整式的乘法与因式分解》全章学案(共14份)

发布时间:2014-02-14 10:52:51  

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案 14.1.1 同底数幂的乘法

【学习目标】

经历同底数幂乘法的运算性质的探索过程,能熟练运用法则进行计算.

【学习重点】同底数幂乘法法则的探究及应用.

【学习难点】底数互为相反数的幂的乘法,对同底数幂乘法公式结构特征的深层理解. 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本95-96页内容,并完成下列问题) 1. 【探究1】:下面有四个整式,从中任选两个构造乘法运算: a2,a3, a3

?ab,a?ab (1)你能写出哪些算式(只需列式,不需计算)

(2)试着将你写的算式分类,你认为整式的乘法有哪几种类型?

2. 【探究2】:根据乘方的意义计算:

(1)23?22

?( )×( )=( )=2

??

(2)a3

?a2

?( )×( )=( )=a??

(3)5m

?5n

?( )×( )=( )=5(

思考:观察以上计算过程,你能发现什么规律吗?你能用一个式子来表达这个规律吗? 猜想: am·an

=_______(m、n都是正整数). 3. 【探究3】:你能证明上面发现的规律吗?

am?an?( )×( )=( )=a

4. 【探究4】:计算下列各题:

(1)x2

?x5

(2)a?a5

(3)(?1)?(?1)2

?(?1)3 (4)y2n

22

2

?yn?1

二、合作、交流、展示: 1.【交流展示1】: 理解同底数幂的乘法法则 (1)公式: am

·an

=_______(m、n都是正整数).

1

(2)文字叙述:同底数幂相乘,底数 ,指数 . (3)公式推广:am·an ·ap

=_______(m、n、p都是正整数) (4) 【点拨】:指数做降级运算:乘法

2.【交流展示2】:

下面的计算对吗?如果不对,怎样改正?

(1)a3?a3?2a3; (2)a2?a3?a6; (3)a?a6?a6;

(4)34

?(?3)5

?39

; (5)a2?a3?a5; (6)(a?b)4?(a?b)6?(a?b)10

. 3. 【交流展示3】:计算下列各式,结果用幂的形式表示. (1) (?3)4

?(?3)3

?35

; (2)(a?b)2

?(b?a)3

讨论:底数互为相反数的幂的乘法如何计算?

三、巩固与应用 1. 计算:

(1)(?y)4?(?y)3?(?y)7; (2)(b?a)2n?(a?b)2n?1

2.光年是长度单位,1光年是指光经过一年所行的距离.光的速度大约是3?105

km/s,一颗行星与地球之间的距离为100光年,若取一年大约为3?107

秒,则这颗行星与地球之间的距离大约为多少?

3.拓展提高:已知am=2,an=3,求am+n

的值.

四、小结:1.同底数幂的乘法法则: 2.运用法则计算要注意什么问题?. 五、作业:作业本27页.

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.1.2 幂的乘方

【学习目标】

经历幂的乘方的运算性质的探索过程,能熟练运用法则进行计算.

【学习重点】幂的乘方运算性质的探究及应用.

【学习难点】幂的乘方法则的灵活应用,对幂的乘方公式结构特征的深层理解. 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本96-97页内容,并完成下列问题) 1.回顾同底数幂的乘法法则:am

·an

=_______(m、n都是_______). 同底数幂相乘,底数 ,指数 .

2. a4

表示_____个a相乘,用式子表示:a4

=_____

?_____?____?_____ (a4)3表示_________个a4相乘,用式子表示为:(a4)3?______________

(am)n表示______个am相乘,用式子表示为:(am)n?a?m??a?m?..........???.....?a?

m

______个am相乘

3. 根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质填空: (1)(32)3?32?32?32

?3????????

?3

?????

?3??

(2)(a2)3

??

????????a?????????a??????a?? (3)(am)3

??

????????a

????????

?a

?????

?a??

4.通过上面的练习,你的发现了什么计算规律?

猜想:(am)n

?a??

5.你能根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质证明上述猜想吗? 证明:

6.计算: (1)(103)5

; (2)(a4)4

; (3)(am)2

(4)?(x4)3

二、合作、交流、展示:

1.归纳幂的乘方法则:(am

)n

=amn

(m、n都是正整数).

文字叙述:幂的乘方,底数 ,指数 . 【点拨】:

乘法

2.例题1:计算:(1) (107)4

(2)?(a2)3

; (3)(?a3)2

(4)(a2)3

?a5

解: (1)(107)4

=10

?????

?10?? (2)?(a2)3=

(3)(?a3)2= (4)(a2)3

?a5

= 【点拨】:注意符号和运算顺序.

3.例题2: 计算(1)?22(a3)2?(a2)4?(a2)5?(a2)2; (2) (a2)m?(an)3?(am?1)2

?(a3)n?a2.

4.幂的乘方法则的逆用 :a

mn

?(am)n?(an)m

(1)x12

=(x3

)??=(x??

)3

=(x??)??

=(x??)??

; (2)x2m

=(xm

)??=(x??

)m

(m为正整数)

三、巩固与应用:

1.判断对错,错误的予以改正:

① (a3)2

=a5

( ) ②(a3)2

=a 9

( ) ③(xn+1)3=x

3n+1

( )

④ a5

+a5

=a10

( ) ⑤a4

·a4

=a16

4

( ) ⑥?36

2

??a?b???????a?b???

?0( )

2.计算:①(-x3)4

; ②?

?x

4?3

; ③( x3)4

·x2

; ④(-x)4

·(-x4)3

·(-x)

⑤(a

2n-2)2

·(a

2m+1)

3

; ⑥a3·a5+a3·(-a5)+(-a2)3+(-a2)4

3. 拓展应用

(1) 如果xm=4,则x

3m

=_____; (2)a2n=3, 求(a3n)4

(3) 已知am

=2,an

=3,求a2m+3n

的值.

四、小结:1.(am)n=amn(m、n都是正整数)的顺用和逆用.

2.(am)n=amn(m、n都是正整数)与am

?an

?a

m?n

(m、n都是正整数)的区别.五、作业:《作业本》第28页.

2

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案 14.1.3 积的乘方

【学习目标】

1. 经历积的乘方的运算性质的探索过程,能熟练运用法则进行计算. 2. 能综合运用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的性质进行计算. 【学习重点】积的乘方法则的探究及应用.

【学习难点】综合运用幂的运算性质进行计算,幂的运算公式的灵活应用. 【学习过程】 一、课前导学:(学生自学课本97页内容,并完成下列问题) 1.回顾同底数幂的乘法法则:am·an

=_______(m、n都是_______). 同底数幂相乘,底数 ,指数 .

2.回顾幂的乘方法则: (am)n= (m、n都是 ) 幂的乘方,底数 ,指数 . 3. 根据乘方的意义填空:

(1)(ab)2

?(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a( )b( ) (2)(ab)3?______________=____________=a( )b( ) 猜想:(ab)n

?是正整数) 4.你能根据乘方的意义证明上述猜想吗? 证明:

5.计算: (1)(ab)4

; (2)(?12

xy)3

; (3)(?3?102)4 (4)(2ab2)3

二、合作、交流、展示:

1.理解积的乘方法则:(ab)n

?是正整数)

文字叙述:积的乘方,等于把积的 分别乘方,再把所得的幂 . 【拓展】:(abc)n

?是正整数) 【逆用】:anbn

?是正整数)

2.例题1:下列计算是否有错,错在那里?请改正. ①?xy

3?

2

?xy6 ②?3xy?2

?3x2y2 ③??7x3?2

?14x6

?7?

3

④??343??2x??

?2x3 ⑤x5?x4?x20 ⑥?x3?2?x9

3.例题2: 计算(1)(?3a3)2

?a3

?(?4a)2

?a7

?(5a3)3

; (2) 2(?x3)2

?x3

?(3x3)3

?(5x)2

?x7

.

【温馨提醒】:运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减. 三、巩固与应用:

1.课本第104页习题第1、2题. 2.下列计算正确的是( ). (A)?ab2?

2

?ab4 (B)??2a2?2

??2a4 (C)??xy?3

?x3y3 (D)?3x2y?3

?27x6y33.与??

?3a

2?3

?2

的值相等的是( )

(A)54a12

(B)243a12

(C)729a12

(D)?729a12

4. 拓展应用

2008

(1) 8

2008

???1?

?8??

(2)??0.25?

2012

???4?

2013

(3) 已知:2m

?5 求:2

3m

和2

3?m

的值.

四、小结:1.幂的三条运算性质:(am)n= (m、n都是正整数),

(am)n= (m、n都是正整数),(ab)n

?是正整数) 2.理解公式特征,灵活运用公式计算.

五、作业:《作业本》第29页.

3

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.1.4(1)单项式乘以单项式

【学习目标】

1.经历单项式与单项式的乘法法的探索过程,能熟练用法则进行运算. 2.培养观察、归纳能力,领会类比、转化思想. 【学习重点】熟练利用单项式乘以单项式的运算法则计算. 【学习难点】单项式╳单项式的运算法则的探索. 【学习过程】

1.回顾幂的运算性质:

(1)aman

=_____(m、n都是正整数)。即:同底数幂相乘,底数。 (2)(am)n

?m、n都是正整数)。即:幂的乘方,底数 ,指数 。 (3)(ab)n?n是正整数)。即:积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。2.① ?

3?105

???

5?10

2

?

=( × )( × ) 【运用了( )律和( )律】 =( ) 【根据同底数幂的乘法法则)】 ②ac5

?bc2

③2a2

b5

?3a3

bc

=( × )( × ) =( × )( × )( × )( )=( ) =

3.提问:通过上面的活动,你是如何计算的?你发现了什么规律?与同伴交流如何进行单项式乘以单项式的运算?

二、合作交流,探索新知: 1.归纳单项式乘以单项式的法则:

单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 2.例题:计算:

(1)?34ab2c?23

a3b;(2)??5a2b???3a?;(3)?2x?3??5xy2?;(4)(?2a2b)3?(?3ab2

)解:(1)?34ab2c?23

a3b (2)??5a2

b???3a?

=( × )( × )( × )( ) =

= =

(3)?2x?3

?

?5xy

2

? (4)(?2a2

b)

3

?(?3ab2)

= =

= =

【点拨】:单项式乘法运算步骤及注意事项

三、巩固与应用

1.判断对错,错误的予以改正:

①3a3

?2a2

?6a6

( ) ②3a4

?5a3

?8a7

( ) ③?2ab2

?

???3ab???a2

b3

( )

④3x2?4x2?12x2( )⑤(?3a3b2)2?(?2a2b3)3=?9a9b4?(?6a6b9)?54a54b36

( ) 2.计算:

(1)3x2·5x3; (2)4y·(-2xy2); (3)(?2a)3

?(?3a)2

; (4)(?32ab)?(?2a)?(?2

3

a2b2);

(5)(?1ab2c)2?(?1

ab3c2)3?(?12a3b); (6)5a3b?(?3b)2?(?ab)?(?6ab)223

【点拨】:(1)单乘单法则适用于三个及以上的单项式相乘;

(2)混合运算顺序:先乘方,再乘除,后加减 3. 拓展应用

(1) 计算:3(x?y)2

?

?(x?y)2?3

?(y?x)3?2

(2)计算: (?

522xy)?(3xy2?2xy?43

y) 四、小结:1.单项式乘法运算步骤及注意事项

2.熟记:(am)n=amn(m、n是正整数)、am

an

?am?n

(m、n是正整数)、?ab?n

?an

bn

(n是正整数) 五、作业:《全效》第72-73页。

4

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.1.4(2)单项式乘以多项式

【学习目标】

1.经历单项式与多项式的乘法法则的探索过程,能熟练用法则进行运算. 2.培养观察、归纳能力,领会类比、转化思想. 【学习重点】熟练利用单项式乘以单项式的运算法则计算. 【学习难点】计算时的符号问题,混合运算. 【学习过程】

1.回顾单项式乘以单项式法则:

单项式与单项式想乘,把他们的 、 分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则 作为积的一个因式。 计算:①??5x??3x

2

? ②??3x???x? ③??1??2

??3xy???5

xy

??

④?5m2??

???13mn??

??

2.回顾去括号法则:

括号前是“+”号:___________ ____________________ 括号前是“—”号:____________________________________

3.问题 我们来回顾引言中提出的问题:为了扩大绿地的面积,要把街心花园的一块长p 米,宽b 米的长方形绿地,向两边分别加宽a 米和c 米,你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积?

分析:一种方法是先求大长方形的长和宽,再求它的面积,即总

面积为:________________

另一种方法是先分别求三个长方形的,再求它们的和,即总面积为:________________

所以: = 根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗? (一) 总结结论

单项式与多项式相乘:就是用单项式去乘多项式的__ ___,再把所得的积__ _。 即:p(a?b?c)? ______________

【点拨】利用__________将单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与_______相乘的问题。 利用乘法分配律计算:①a(5a?2b) ②2x?x3

?3x?1?

③6mn?2m?3n?1?

解:原式= × - × = 二、合作交流,探索新知:

例1: 2a2(3a2

?5b) (2ab2?2ab)?1

3

2

ab (?4x2)(3x?1)

例2:化简(1)x2

(x?1)?2x(x2

?2x?3);(2)x(1x?1)?3x(32

2

x2?2)

例3:解不等式:2x(x?1)?(3x?2)x?2x2

?x2

?1

三、巩固与应用

1.下列计算对吗?若不对,应该怎样改?

(1) 3(aa-1)=3a2;(2)

2x(2x-y)=2x3-2x2;(3)( -3x2

)(x-y)=-3x3-3x2y;(4)( -5a)

(a2-b)=-5a3+5ab.2.若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4,则m-n的值为______ 3.下列各式计算正确的是( )

(A)?2x2?3xy?1????1x2???x4?3x3y?1x2 (B)??x?x?x2

?1??x2

?x3

?1

?2

?

22

?

?

(C)??5xn?1?1xy?2

???2xy??5xny?x2y2 (D)?5xy??x2

?1??5x2

y2

?5x2

y2

?4

2

?

2

??

4.计算:①

(a3b)2(a2b)3

②(-52xy)(23xy2?2xy?422722

3

y) ③(-3xy)(5xy)?6x(2xy?2y)

5.先化简再求值,已知a?2,b?3,求3ab(a2b?ab2?ab)?ab2(2a2

?3ab?2a)的值

四、小结:(1)本节课学习了哪些主要内容?

(2)在运用单项式与多项式相乘的法则时,你认为应该注意哪些问题? (3)探索单项式与多项式相乘的法则的过程,体现了哪些思想方法? 五、作业:《全效》第74-75页。

5

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.1.4(3)多项式乘以多项式

【学习目标】

1.让学生理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算. 2.经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,培养学生计算能力. 3. 发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯 【学习重点】多项式与多项式的乘法法则的概括与运用. 【学习难点】熟练进行多项式与多项式的乘法运算. 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本100-101页内容,并完成下列内容) 1、回顾旧知识 (1)3a2

?

2

3

bc? 4y3?(?2xy2z2)? 单项式乘以单项式法则:

单项式与单项式相乘,把他们的 、 分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则 作为积的一个因式。

(2)3x(5x?2y?0.5)? (4a?b2

?z)(?2b)?单项式乘以多项式的运算法则:

用单项式去乘多项式的__ ___,再把所得的积__ _。 2、探究一:

问题:为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长a米,宽m米的长方形绿地增长b米,加宽n米,求扩地以后的面积是多少?

提问:用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?

方法一:这块花园现在长_____米,宽_____米,因而面积为__________平方米. 方法二:这块花园现在是由四小块组成,它们的面积分别表示为:___ 、____、__ __、_____,

故这块绿地的面积为______ ____.

所以有___________ =___________________ .

3、 探究二

①引导观察:等式的左边(a+b)(m+n),把(m+n)看成一个整体,转化为单项式与多项式相乘,请

同学们试着做一做.

(a+b)(m+n)=( )×( )+( )×( )

= + + +

②【归纳法则】:

多项式与多项式相乘:先用一个多项式的_ ___乘另一个多项式的__ _,再把所得的积__ __. 4、 简单计算

①?x?2??x?3? ②?3x?1??2x?1?

二、合作交流,探索新知:

例1、计算: (3x?1)(x?2) (x-8y)(x-y)

(x?y)(x2-xy?y2) (x?2y)(x2?2xy?3y2)

例2、先化简,再求值:(x-2)(x+3)-(x+1)(x-1),其中x=

45

三、巩固与应用

1、①(x+2)(x+3); ③(x+2)(x-2); ④(x-5)(x-6); ⑤(x+5)(x+5); ⑥(x-5)(x-5)

2、解方程 (3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)

3、解不等式:(x?2)(x?3)?x(x?1)?22 四、小结

(1)本节课学习了哪些主要内容?

(2)在运用多项式与多项式相乘的法则时,你认为应该注意哪些问题?

(3)举例说明在探索多项式与多项式相乘的法则的过程中,体现了什么思想方法? 五、作业:《全效》第76-77页。

6

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.1.5 整式的除法

【学习目标】

1、同底数幂的除法的运算法则及其应用,理解同底数幂的除法的运算算理,.

2、单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及其应用.

3.经历探索除法运算法则的过程,获得成功的体验,?积累丰富的数学经验发展有条理的

思考及表达能力渗透数学公式的简洁美与和谐美.

【学习重点】准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则、单项式除以单项式、多项式除以单项

式的运算法则进行整式的除法计算

【学习难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则;

熟练运用除法法则进行除法运算。 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本102-104页内容,并完成下列问题) 1.写出同底数幂的乘法运算法则:_________________________. 2.填空: (1)( )·28=216 (2)( )·a3=a6 (3)( )·am=am+3 (4)216÷28=( ) (5)a6÷a3=( ) (6)am+3÷am=( ) 猜想:am÷an= (a≠0,m,n都是正整数,并且m>n) 证明: ∵

3.我们知道,当a≠0时,am÷am=1

又∵am÷am = a( )= a( )

∴当a≠0时,a0=1

4. 计算: 8a2÷2a﹦ ; 5x3y÷3xy﹦; ﹣12 a4b÷6 a3﹦ ; 【结论】单项式相除,把 与 分别相除作为商的因式,对于只在被除式中

含有的字母,则连同 作为商的因式

5.计算:

(1)(3a+6)÷3= ;(2)(a2+ab)÷a= ;(3)(4x2y+2xy2

)÷2xy= . 【结论】多项式除以单项式,先把这个多项式的 除以这个单项式,再把所得的商 . 【方法思想】:把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式 二、合作、交流、展示:

1.同底数幂的除法的运算法则:am÷an= (a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)

文字叙述:同底数幂相除, 2.规定: a0=1(其中a≠0)

文字叙述:任何不等于的数的0次幂都等于

【想一想】:底数a为何要满足条件a≠0 3.例题: 例1.计算:

(1)x5÷x (2)(ab)5÷(ab)2 (3) (1-a)10÷(a-1)7

例2.计算:(1)28x4y2÷7x3y (2)-5a5b3c÷15a4b (3)5(2a+b)5÷(2a+b)3

例3.计算:(1)(12a3-6a2+3a)÷3a; (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y);

三、巩固与应用:

1.下列运算正确的是( )

A. (-a)6÷(-a)2=-a3 B. x6÷x2=x3 C. (-a)7÷a5=a2. D. (-x)8÷(-x)6=x2. 2.若(2x+1)0=1 则( ) A . x≥-

12 B. x≠-12 C. x≤-12 D.x≠-12

3.请举出商是-2x3 的两个单项式(均含有字母x)相除的例子: .

4.计算:

⑴ 2ab2÷3ab (2) -49x4y2÷(-7x3y) (3)(6×108)÷(3×105)

(4)(-ab)5÷(-ab) 2 (5)(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3

5.计算:(1)(15 a3b-10ab2+ab)÷5ab (2)??

(?3xy)2x3?2x2(3xy2)3

1?

y?

??9x4y22?

6.化简求值:已知x?2y?2008,求?(3x?2y)(3x?2y)?(x?2y)(5x?2y)??8x的值

四、小结:1.同底数幂的除法公式;单项式除以单项式的法则; 多项式除以单项式的法则

2. 多项式除以单项式中所含的数学思想

五、作业:《课本》第105页. 第6题

7

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.2.1 平方差公式

【学习目标】

1、会推导平方差公式,能够运用平方差公式进行简单计算.

2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,使学生逐渐掌握平方差公式,发展学生的符号感和推理能力

3、通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.

【学习重点】平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了. 【学习难点】理解平方差公式的结构特征,熟练运用平方差公式的进行整式运算. 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本107-108页内容,并完成下列问题) 1.多项式与多项式相乘的运算法则:(a?b)(p?q)?

2.探究:计算 (1)(x+1)(x-1)= (2)(m+2)(m-2)= (3)(2x+1)(2x-1)= (4)(x+5y)(x-5y)= 仔细观察上述等式左、右两边的特点,你有发现什么规律? 等式左边是 ,等式右边是 猜想:(a+b)(a-b)= 证明你的猜想:∵(a+b)(a-b)= = ∴(a+b)(a-b)= 3.计算:(1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y) 【分析】在⑴中,要把3x和2分别看成公式中的a和b, 即:

(2)(b?2a)?2a?b?= = = . ⑶(?x?2y)(?x?2y)= = .

4.判断对错,并对错误进行改正。

⑴(x+2)(x-2)= x2-2 ⑵ (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 二、合作、交流、展示:

1.平方差公式: (a、b既可以表示数,也可以表示多项式)

文字叙述: 2.你能根据下图解释平方差公式吗?

请试一试?

3.例题: 例题1:计算:(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

注意:只有符合公式条件的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按乘法法则进行。 例题2计算:

⑴、??a?1??1?a? ⑵、?a?b??a?b??

a2

?b

2

? ⑶、(a+1)(a-1)( a2 +1)( a4+1)

三、巩固与应用:

1.填空:①10015?994

?; ②?3a?2b??__?2b??9a2?4b2

2.(m2 - n2

5

)-(m-n)(m+n) 等于( ):

A 、-2n2 B、 0 C、2m2 D、2m2- 2n2

3.运用平方差公式计算:

(1)(3+2a)(-3+2a) (2)(?x?2y)(?2y?x) (3)、??1?2xy?3m?

??

??3m?0.5xy? (4)[x+(y+3)]

[x-(y+3)]

4.先化简再求值:(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y), 其中x=8,y=-8.

5 拓展应用: (1)解方程: (x?1)(x?3)?8x?(x?5)(x?5)?4

变式: 解不等式: (x?1)(x?3)?8x?(x?5)(x?5)?4 (2)若x2?y2?100,x?y??25,则x?y? . (3)计算: (2?1)(22

?1)(24

?1)(28

?1)(216

?1)?1

四、小结:1.平方差公式:

2. 平方差公式的特点是什么?

五、作业:《课本》第112页. 第1题

8

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.2.2 完全平方公式(一)

【学习目标】

1、会推导完全平方公式,能够运用完全平方公式进行简单计算.

2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,使学生逐渐掌握完全平方公式,发展学生的符号感和推理能力

3、通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.

【学习重点】完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释,灵活应用. 【学习难点】理解完全平方公式的结构特,并能灵活应用公式进行计算. 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本109-110页内容,并完成下列问题) 1.探究:计算

(1)?x?1?2

=?x?1?(x?1) (2)?m?2?2

=?m?2??m?2?(3)?x?1?2

=?x?1?(x?1)=(4)?x?y?2

=?x?y?(x?y))仔细观察上述等式左、右两边的特点,你有发现什么规律?

等式左边是 ,等式右边是 猜想:?a?b?2

= ;

?a?b?2=

证明你的猜想:

?a?b?2?(a?b)(a?b)??a?b?2??a?b??a?b??3.判断对错,并对错误进行改正.

⑴?x?2?2= x2

?4

⑵?3a?1?2

=3a2

?3a?1 (3)(a?12211

2

)=a?2a?4

二、合作、交流、展示:

1.完全平方公式: (a、b既可以表示数,也可以表示多项式)

文字叙述: 2.你能根据下图解释完全平方公式吗?请试一试?

由图(1)可得: 由图(2)可: 3.例题:

例题1:运用完全平方公式计算:

(1)?4m?n?2 (2)(2y-1)2 (3)??x?2y?2

(4)1022 (5)992

2

思考:?a?b?2

与??a?b?2

相等吗??a?b?2

与?b?a?2

相等吗??a?b?2

与a2?b2

相等吗?

例题1运用乘法公式计算:

(1).?a?b?c?2

(2).?(x?2)(x?2)?2

(3).?a?b?c??a?b?c?

例题2.先化简,再求值:?2a?b?2

??2a?b??2a?b?,其中a?

13,b??12

三、巩固与应用:

1.下列等式成立的是( ) A 、(2a-b)2=4a2-b2 B、(2a-b)2=4a2+4ab+b2 C、(2a-b)2=4a2-2ab+b2 D、(2a-b)2=4a2-4ab+b2

2.要使25a2+1成为完全平方式,应加上的整式是 (写出一个即可) 3.若x2+ a x+4=(x+2)2则a=_______. 4.运用完全平方公式计算: ⑴ (x+7)2

⑵(4x-3y)2

⑶(-2x+5y)2

⑷(-3

x-2)2 134

⑸ (-2a-2b)23

5.先化简(2x-1)2+(x+2)(x-2)-4x(x-1),再求值,x=3

四、小结:1.完全平方公式:

2. 完全平方公式的特点是什么?

五、作业:《课本》第112页. 第2、3、4题

9

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.2.2完全平方公式(2)

【学习目标】

1.添括号法则.

2.利用添括号法则灵活应用完全平方公式.

3.利用去括号法则得到添括号法则,培养学生的逆向思维能力. 4.进一步熟悉乘法公式,体会公式中字母的含义.

5. 鼓励学生算法多样化,培养学生多方位思考问题的习惯,提高合作交流意识和创新精神. 【学习重点】理解添括号法则,进一步熟悉乘法公式的合理利用.

【学习难点】在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的. 【学习过程】

一、课前导学:(自学课本第111页,完成下列问题) 1、平方差公式: ;

完全平方公式: ; ; 平方差及完全平方差公式的特点和区别: 2、去括号法则:去括号时,

如果括号前是正号,去掉括号后,______ ________________; 如果括号前是负号,去掉括号后,________________ _______________. 也就是说,遇“___”不变,遇“____”都变. 3、先去括号,再计算

(1)4+(5-2) (2)4-(5-2) (3)a+(b+c) (4)a-(b-c)

4、 反过来,(1)4+5-2=4+(5 2) (2)a-b-c=a-(b c) 添括号法则是:

添括号时,如果括号前面是正号, ;?

如果括号前面是负号, .

也就是:遇“ ___”不变,遇“___”都变.

5、在等号右边的括号内填上适当的项,并用去括号法则检验。 (1)a+b-c=a+( ) (2)a-b+c=a-( ) (3)a-b-c=a-( ) (4)a+b+c=a-( ) 6、判断下列运算是否正确. (1)2a-b-

c2=2a-(b-c

2

) (2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b) (3)2x-3y+2=-(2x+3y-2) (4)a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)

【归纳】:添括号法则是去括号法则反过来得到的,无论是添括号,还是去括号,运算前后代数

式的值都保持不变,?所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确.

二、合作、交流、展示: 例1:运用乘法公式计算:

(1)[(x+y)+z]2 (2)(a+b+c)2

例2:运用乘法公式计算: (1)[(a+2b)-5][5+(a+2b)] (2)(x+2y-3)(x-2y+3)

三、巩固与应用 1、选择题:

(1)-a+b应等于( )

A +(a+b) B +(-a+b) C -(-a-b) D -(a+b) (2)下列添括号正确的是( )

A 9a+6b-c=9a+(6b+c) B 9a+6b-c=9a-(6b+c) C 9a+6b-c=9a+(6b-c) D 9a+6b-c=9a-(6b+c) 2、在括号里填上适当的项:

(1)a+2b-c=a+(_______) (2)a-b-c+d=a-(_________) (3)(a+b-c)(a-b+c)=[a+(____)][a-(______)]。 3、运用乘法公式计算: (1)(a-2b+c)2 (2)(-x-2y-3z)(-x+2y-3z)

四、小结:1、知识要点:

2、思想方法:

五、作业:《全效学习》相应练习。

10

赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.3.1因式分解与提公因式法

【学习目标】

1.理解因式分解的含义,能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2. 熟练运用提取公因式法分解因式。

【学习重点】理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。

【学习难点】理解因式分解与整式乘法的关系,熟练运用提取公因式法分解因式。 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本114-115页内容,并完成下列问题)

1.用简便方法计算:×××。

2. 类比猜想 : m × a + m× b +m ×c 利用学过的整式乘法验证你的猜想。

3.填空:(1)x2?x?x( ); (2)x2

?1?(x?1)( )。

【归纳】:因式分解的定义:把一个 化成几个 的 的形式。 4.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是

A.a(x-y)=ax-ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D.x3-x=x(x+1)(x-1)

5. 公因式的定义:多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式,我们称之为6.提公因式法定义:

利用ma+mb+mc=m(a+b+ c)分解因式的方法叫提公因式法。 7. 把下列各式分解因式:

(1)8m2n+2mn (2)-3x2-9xy+x

二、合作、交流、展示:

1. 讨论因式分解与整式乘法的关系:

x2?1 ????????因式分解?????因式分解

?整式乘法

? (x?1)(x?1) 积 ????整式乘法

?

和差 2.例1:下列各式从左到右的变形,哪个是因式分解。

(1)4a(a+2b)=4a2

+8ab;

(2)6ax-3ax2

=3ax(2-x);

(3)a2

-4=(a+2)(a-2); (4)x2

-3x+2=x(x-3)+2.

(5)36a2b?3a?12ab (6)bx?a?x(b?a

x

)

3.如何找公因式:

(1)3x2?x3每项都含有 , 是这个多项式的公因式。 (2)8a3b2?12ab3c每项都含有

找公因式三字诀“大同低”:系数的最大公因数,相同字母(或式子)的最低次幂。 4:例2:把8a3b2?12ab3c分解因式。 【变式】:把?8a2b?12ab2?4ab分解因式。

【温馨提醒】:多项式首项为负时,必须先提出“-”号。

5.例3:把2a(b+c)-3(b+c)分解因式。

【变式】:把12(a?b)2?18(b?a)3

分解因式。

三、巩固与应用

1.下面从左到右的变形是分解因式的是( )

A. 6x2

y?3xy?2x B. a2

?b2

?1?(a?b)(a?b)?1

C. a2

?ab?a(a?b) D. (x?3)(x?3)?x2

?9 2.多项式6xyz?3x2

y?9xy2

各项的公因式是( )

A . xy B. 3x2y2 C. 3xy2

D. 3xy 3.课本115页练习1、2、3 4.分解因式:

(1)24a2b?36ab2; (2) ?3a3?6a2

?3a (3) 4a(1?b)2

?2(b?1)2

5.拓展(选做):把ac?bc?ad?bd分解因式;

四、小结:因式分解的定义及其与整式乘法的互逆关系;公因式找法;运用提公因式法分解因式。五、作业:《作业本》第39页。

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赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

14.3.2(1)用平方差公式分解因式

【学习目标】

1. 会用平方差公式分解因式,掌握因式分解的一般步骤。 2. 培养逆向思维能力,领会整体、转化思想。

【学习重点】熟练运用平方差公式分解因式。

【学习难点】理解平方差公式中字母的广泛含义,灵活运用公式分解因式。 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本第116页内容,并完成下列问题) 1.因式分解定义:把一个 化成几个 的 的形式。 2. 计算:

(1)(a?b)(a?b)=; ⑵(m?2)(m?2)= ;⑶(2x?1)(2x?1)= 3.利用上题结果分解因式:

(1)a2?b2(2)m2?4(3)4x2

?1。4. 因式分解的平方差公式:a2

?b2

? . 5. 把下列各式因式分解:

a2

?b2

=(a + b) ( a — b)

? ? ? ? ? ?

(1)4x2

-9 =?

?2-??2=( __+ ___ )

( ___ — ___ ) a2 — b2

=( a + b ) ( a — b )

? ? ? ? ? ?

(2) ?x?y?2

??x?y?2

=[______+_______][______—______]6.分解因式:9a2

?4b2

??

?2???

2

?( + )( - )

二、合作、交流、展示:

1.平方差公式:a2

?b2

?(a?b)(a?b)

思考:(1)公式左边和右边各有什么特征?(2)公式中的字母a、b可以表示什么?

(3)语言叙述:两个数的 ,等于这两个数的 与这两个数的 的 。 2.判断下列各式哪些可以用平方差公式分解因式?

①x2

?y2

②x2

?y2

③?x2

?y2

④?x2?y2

3.你能把下列的数或式写成幂的形式吗?

(1)4x2

?( )2; (2)x2

y2

?( )2; (3)0.25m2

?( )2; (4)

9m2

?( )2; (5)36a4?( )2; (6)25a2b4?( )216

。 4.例1 分解因式:(1) x4?y4

(2)a3b?ab

【点拨】:(1)分解因式要分解到每个多项式因式不能再分解为止; (2)分解因式首先要考虑提公因式。 5.例2 分解因式:9(a?b)2

?4(a?b)2

三、巩固与应用

1.下列各式中,能用平方差分解因式的是( )

A.x2

?4y2

B.x2?2 C.?x2

?4y2

D.?x2

?4y2

2. 下列分解因式是否正确:

(1)?x2?y2?(x?y)(x?y) (2)?4a2?9b2

?(?2a?3b)(?2a?3b) (3)25?4a2?(5?4a)(5?4a) (4)a4?81?(a2?9)(a2

?9) 3.分解因式: (1)a2?125

b2

; (2)0.09a2?0.04b2; (3)x2y?4y;(4) ?a4?16

(5) 16(a?2b)2

?(a?b)2

4.在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形,求余下的纸片的面积。

5.已知a2?b2??1,a?b?

1

2

,求a?b的值。 6.拓展(选做)248

?1可以被60—70之间的两个整数整除,求这两个数。 四、小结:(1)因式分解步骤:一提二套三查;(2)平方差公式的应用。 五、作业:《作业本》第40页。

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赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案 设计:李明

14.3.2(2)用完全平方公式分解因式

【学习目标】

1.理解完全平方式的特征,能运用完全平方公式分解因式。 2. 能综合运用提公因式法与公式法分解因式。 【学习重点】熟练运用完全平方公式分解因式。

【学习难点】理解完全平方公式中字母的广泛含义,综合运用所学方法分解因式。 【学习过程】

一、课前导学:(学生自学课本117-118页内容,并完成下列问题) 1.因式分解定义:把一个 化成几个 的 的形式。 注意:因式分解与整式乘法是互逆关系。 2. 计算:

(1)(a?b)2= (2)(a?b)2= (3)(x?3)2= (4)(2a?3)2= 。

3.利用上题结果分解因式:

(1)a2?2ab?b2= ; (2)a2?2ab?b2

= ;

(3)x2?6x?9= ; (4)4a2?12a?9= 。

4.完全平方式: 形如 的式子叫做完全平方式。

5.因式分解的完全平方公式:a2?2ab?b2? ,a2?2ab?b2

? . 6. 用完全平方公式分解因式:

a2

+ 2·a·b + b2

=(a?b)2

16x2?24x?9??

?

2

?2??????

2

???

2

a2-2·a·b+ b2= (a?b)2

4a2?2ab?1

4

b2??

?

2

?2??

???????2

????

2

7.分解因式:9a2

?12ab?4b2

???

2

?2?????????2

?( )2

二、合作、交流、展示:

1.完全平方式:形如a2±2ab+b2

的式子叫做完全平方式。

文字叙述:首平方,尾平方,积的两倍在中央。(只有积的两倍可能为负号)

2.因式分解的完全平方公式:

a2?2ab?b2?(a?b)2,a2?2ab?b2?(a?b)2

文字叙述:两个数的 加上(或减去)这两个数的积的 ,等于这两个数的 ( )的平方。

3.例题1 分解因式:(1) a2?6ab?9b2 (2) ?x2?4xy?4y2

思考: ?x2

?4xy?4y2

、 x2?4xy?4y2 、?x2?4xy?4y2

哪个能用完全平方公式分解?

5.例题2 分解因式: (1) (a?b)2

?12(a?b)?36 (2) 3ax2

?6axy?3ay2

【点拨】1.理解公式中字母的广泛含义,领会整体思想。(2)分解因式首先考虑提公因式。 三、巩固与应用

1.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( )

A.x2

?4y2

; B.x2

?2xy?4y2; C.?x2?4x?4; D.(x?y)2

?10(y?x)?25

2. 若x2

?kx?16是完全平方式,则k的值为。

变式:若4x2

?1加上一个单项式后是完全平方式,则加上的单项式为 3.课本第119页练习1、2题。 4. 分解因式(选做):

(1)(x2

?1)2

?4x2

(2)(x2

?1)2

?6(x2

?1)?9 (3)a2?2ab?b2

?4

5.拓展(选做):整式x2

?4x?y2

?6y?14的最小值为。

四、小结:

(1)理解完全平方式及完全平方公式的特征;

(2)因式分解步骤:先提(公因式),后套(公式),注意分解到每个因式不能再分解为止。 五、作业:《作业本》第41页。

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赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案

第14章《整式的乘除与因式分解》复习

【学习目标】

1、记住整式乘除的运算法则; 2、平方差公式和完全平方公式; 3、掌握因式分解的方法和法则。 【学习重点】乘法公式及运算法则.

【学习难点】会运用法则进行整式乘除运算,会对一个多项式进行因式分解。【学习过程】 一.本章知识脉络: 整式乘法

乘法公式

整式除法

二、课前导学

(一)单项式乘单项式

(1)(5x3)?(?2x2y),(2)(?3ab)2?(?4b3)

(3)(?am)2b?(?a3b2n),

(4)(?2a2bc3)?(?34c5)?(1

3

ab23c)

单项式乘单项式法则: (二)单项式乘多项式 (1)(?2a)?(x?2y?3c), (2)(x?2)(y?3)?(x?1)(y?2)

(3)(x?y)(?2x?

1

2

y)单项式乘多项式法则: (三)乘法公式应用

(1)(?6x?y)(?6x?y)

(2)(x?4y)(x?9y)

(3)(3x?7y)(?3x?7y)

乘法公式: (四)整式的除法

(1)(?1

4a6b4c)?((2a3c)

(2)6(a?b)5

?[13

(a?b)2] (3)(5x2y3?4x3y2?6x)?(6x)

(4)1x3my2n?x2m?1y2?3

x2m?1y3)?(?0.5x2m?1y2

34

)整式的除法法则:

三、合作、交流、展示

例1、计算 (1)0.25

2010

?(?4)2011?0.1252012?(?8)2013 ; (2)5022?4982

例2、已知a,b,c为△ABC的三条边的长,试分别判断△ABC的形状.

(1) b2?2ab?c2

?2ac; (2)

a2?2b2?c2?2b(a?c)?0;

四、巩固与运用 1.若a

m

?2,an?3,则a2m?n?___________,am?2n =____________;

2.若

(ax?b)(x?2)?x2

?4,则ab=_________________. 23.若

a-2+b-2b+1=0,则a=

,b=

a?

1a?3a2?1

4.已知

,则

a2的值是 ; 5.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为( ) A. –3 B. 3 C. 0 D. 1

6.简便方法计算(1) 98×102-992

(2) 992

?198?1

7.矩形的周长是28cm,两边长为x,y,若x3?x2y?xy2?y3

?0,求矩形的面积.四、小结:1、知识要点: 2、思想方法:

五、作业:教材第124—125页复习题14。

14

15

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