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《第15讲 二次函数与一元二次方程》

发布时间:2014-02-14 19:01:00  

第15讲┃ 二次函数与一元二次方程

第15课时┃考点聚焦

考 点 聚 焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2

+bx+c与x轴
的交点个数 2个 1个

判别式Δ=b2-4ac 的符号 Δ>0 Δ= 0

方程ax2+bx+c =0有无实根的情况 ______________ 两个不相等 实根 _______________ 实根 两个相等

没有

Δ<0

________ 没有 实根

第15课时┃考点聚焦
考点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特 征与a、b、c及判别式b2-4ac的符号之间的关系
项目 字母 a 字母的符号 a>0 a<0 b= 0 b ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号) c= 0 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交

c

c>0 c<0

第15课时┃考点聚焦

项目
字母

字母的符号
b2-4ac=0

图象的特征
与x轴有惟一交点 (顶点) 与x轴有两个不 同交点 与x轴没有交点

b2-4ac

b2-4ac>0 b2-4ac<0

当x=1时,y=a+b+c
特殊 关系 当x=-1时,y=a-b+c 若a+b+c>0,即x=1时,y>0 若a-b+c>0,即x=-1时,y>0

第15讲┃ 考点聚焦

考点3

二次函数图象的平移

第15讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 二次函数与一元二次方程

例1.[2013?苏州] 已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图 象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x +m=0的两实数根是 ) B( A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3

第15讲┃ 归类示例 ? 类型之二 二次函数的图象的平移

例2 [2013·扬州]将抛物线 y=x2+1先向左平移 2个单 位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式 是( B ) A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2

第15讲┃ 归类示例

例3 [2012·广安]如图15-2,把抛物线y=0.5x2平移得到 抛物线m. 抛物线m经过点A(-6,0)和原点(0,0),它的顶点为 P,它的对称轴与抛物线y=0.5x2交于点Q,则图中阴影部分 27 的面积为________ . 2

图15-2

第15课时┃归类探究

解 析

过点 P 作 PM⊥ y 轴于点 M,

∵抛物线平移后经过原点 O 和点 A(- 6, 0), ∴平移后的抛物线对称轴为 x=- 3, 1 得出二次函数关系式为:y= (x+ 3)2+h, 2

第15课时┃归类探究
1 将 (- 6, 0)代入得出:0= (-6+3)2+h, 2

解 析

9 解得 h=- , 2 ∴点
? 9? P 的坐标是?- 3,- ?. 2? ?

根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积,
? 9? 27 ∴ S= 3×?- ?= . 2 ? 2?

故答案为

27 . 2

第15讲┃ 归类示例

变式题 [2013·绵阳改编]已知抛物线:y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点,且与 y 轴交于 A 点,如图 15 - 3,设它 的顶点为B. (1)求m的值; (2)过A

作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:△ABC是 等腰直角三角形; (3) 将此抛物线向下平移 4 个单位后,得到抛物线 C′,且 与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点,求抛物线C′的关 系式和直线EF的关系式.

图15-3

第15讲┃ 归类示例

解:(1)抛物线与x轴只有一个交点,说明Δ=0,∴m=2. (2)证明:∵抛物线的关系式是y=x2-2x+1,∴A(0,1), B(1,0), ∴△AOB是等腰直角三角形,又AC∥OB,∴∠BAC= ∠OBA=45°,A,C是关于对称轴x=1的对称点,∴AB=BC ,∴△ABC是等腰直角三角形.

第15讲┃ 归类示例 ? 类型之三 二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系

例4 [2012·重庆] 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象如图所示, 对称轴x=- .下列结论中,正确的是( D )

A.abc>0 B.a+b=0

C.2b+c>0 D.4a+c<2b

第15课时┃归类探究
探究五、二次函数的图象与性质的综合运用
例5.[2012?连云港] 如图15-4,抛物线y=-x2+bx +c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛 物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形 OCEF为矩形,且OF=2,EF=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)求△ABD的面积; (3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A的对应点为 点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.

图15-4

解 析

所以点 C 的坐标为(0 ,3) ,点 E 的坐标为(2 ,3 ) . 把 x =0 ,y =3 ;x =2 ,y =3 分别代入 y =-x 2 +bx +c , 3 =c , c =3 , 得 解之得 3 =- 4 + 2 b +c , b =2 . 所以抛物线所对应的函数关系式为 y =-x 2 +2 x +3 . (2) 因为 y =- x 2 + 2 x + 3 =- (x -1 ) 2 + 4 ,所以抛物线的 顶点坐标为(1 ,4 ) . 所以△A BD 中 A B 边上的高为 4 . 令 y =0 ,得-x 2 +2 x +3 = 0 ,解之得 x 1 =-1 ,x 2 =3 , 所以 A B = 3 -( -1 ) =4 , 1 于是△A BD 的面积为 ×4 ×4 =8 . 2
( 3 ) △A OC 绕点 C 逆时针旋转 9 0 °, CO 落在 CE 所在的直线上, 又由 ( 2 ) 可知 OA =1 ,所以点 A 的对应点 G 的坐标为 ( 3 ,2 ) . 当 x = 3 时, y =-3 2 + 2 ×3 +3 = 0 ≠2 , 所以点 G 不在该抛物线 上.

因为四边形 OCEF 为矩形,OF =2 ,EF =3 , 第15讲┃ (1) 归类示例


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