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_解直角三角形课件1整理

发布时间:2014-02-14 19:01:06  

如图设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角 为A,过B点向垂直中心线引垂线,垂足为点C(如图),在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m. 根据以上条件,你能求出塔身中心
5.2

线与垂直中心线的夹角吗?

BC 5.2 ? sin A ? ? , AB 54.5

54.5

??A ? 5.5?

复习
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:

锐角a 30° 三角函数 sin a cos a tan a
1 2 3 2
3 3

45°
2 2

60°
3 2

2 2

1 2

1

3

对于sinα与tanα,角度越大,函数值也越大;(带正) 对于cosα,角度越大,函数值越小。

A

在直角三角形中,我们把两个锐角、三条 边称为直角三角形的五个元素. 图中∠A,∠B,a,b,c即为直角三角形 的五个元素.
(1)三边之间的关系 (2)两锐角之间的关系 (3)边角之间的关系

b

c

a ?b ? c
2 2

2

C (勾股定理)

a

B

∠A+∠B=90°

a sin A ? cos B ? , c

b cos A ? sin B ? , c

a tan A ? , b

b tan B ? , a

思考:利用上面这些关系,必须已知几个元素,才能求得 其余元素呢?

探究
在图中的Rt△ABC中, (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? B 能 6 α =75° A C

?A ? ?B ? 90 ? ?B ? 90 ? ?A ? 90 ? 75
? ? ?

BC sin A ? ? BC ? AB? sin A ? 6 ? sin 75? AB AC cos A ? ? AC ? AB?cos A ? 6 ? cos 75? AB

?

探究
在图中的Rt△ABC中,
(2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? B 能 6

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? BC ? AB2 ? AC 2 ? 62 ? 2.42 ? 5.5

AC 2.4 cos A ? ? cos A ? ? 0.4 ? ?A ? 66? AB 6

α A 2.4

C

A ? B ? 90? ? B ? 90? ? A ? 90? ? 66? ? 24?

解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程.

事实上,在直角三角形的六个元素中,
除直角外,如果再知道两个元素(其 中至少有一个是边),这个三角形就 可以确定下来,这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素.

A c

b

C

a

B

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
(1)三边之间的关系

a ?b ? c
2 2

2(勾股定理)

A c

(2)两锐角之间的关系 (3)边角之间的关系

∠A+∠B=90°

b

C

a

B

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

?B的对边 b sin B ? ? 斜边 c

cos A ?

?A的邻边 b ? 斜边 c

?B的邻边 a cos B ? ? 斜边 c

?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

?B的对边 b tan B ? ? ?B的邻边 a

AC ? 2 , BC ? 6, 例1 . 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,
解这个直角三角形. 解:∵在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2 ∴AB= AC 2 ? BC 2 ? ( 2 ) 2 ? ( 6 ) 2 ? 2 2
AC

2 1 ? ? ∵sinB= AB 2 2 2
A

2
C

2 2

30°
6

B

∴∠B=30° ∴∠A=60° ∴AB= 2 2 , ∠A=60°, ∠B=30°

例2 如图,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形 (精确到0.1) 解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55° A c B 35° a b 20 C

b ? tan B ? a
b 20 20 ?a ? ? ? ? 28.6 ? tan B tan 35 0.70

b ? sin B ? c
b 20 20 ?c ? ? ? ? 35.1 ? sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗?

练习
在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (1)a = 30 , b = 20 ;

解:根据勾股定理

B
c

C ? a 2 ? b2 ? 302 ? 202 ? 10 13

a=30

a 30 3 tan A ? ? ? ? 1.5 b 20 2

A

b=20 C

?A ? 56.3

?

?B ? 90? ? ?A ? 90? ? 56.3? ? 33.7?

在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (2) ∠B=72°,c = 14.

解:

A

b sin B ? c

c=14
?

b a C

b ? c? sin B ? 14 ? sin 72 ? 13.3
a cos B ? c

B

a ? c?cos B ? 14 ? cos 72 ? 4.34
?

?A ? 90 ? 72 ? 18
? ?

?

2. 在Rt△ABC中, ∠C=90°, a=35,b=28, 解这个直角 三角形.(角的度数精确到1度,c的长 结果保留两位有效数 字)

温 馨 1.数形结合有利于分析问题; 提 示 2.选择关系式时,尽量应用原始数据,使计 算更加精确; 3.解直角三角形时,应求出所有未知元素。

议一议
在直角三角形中, (1)已知a,b,怎样求∠A的度数? (2) 已知a,c,怎样求∠A的度数? (3)已知b,c,怎样求∠A的度数?
?

A c

b

你能总结一下已知两边解直角三角形的 方法吗?与同伴交流。
(1)利用勾股定理求第三边。

C

a

B

(2) 利用已知两边的比值所对应的三角函数值,求相应的锐角。

(3)由直角三角形的两锐角互余求另一锐角。

1. 在Rt?ABC中,?C ? 90?, 根据下列条件解直角三角形

(2) a ? 4 3, b ? 4
C

b? 4

a?4 3

A

c

B

2.如图,在Rt?ABC中,?C ? 90 ?,AC ? 6,?A的平分 线AD ? 4 3,求AB,BC的长
C
6 1

D
4 3

cos ?1 ?

6 4 3

?

3 ? ?1 ? 30 0 2

A

2

B

?B ? 30 0

AC AB ? ? 12 sin ?B

例3 .如图,△ABC中, ∠B=45°, ∠C=30°, AB=2,求AC的长. 解:过A作AD⊥BC于D,
A
2

2

∵ 在Rt △ABD中,∠B=45°,AB=2, AD sinB = AB
30°

B

45°

D

C

∴AD= AB×sinB

2 ∵在Rt△ACD中,∠C=30°

= 2×sin45°= 2 ?

2 ? 2

∴AC=2AD= 2 2

温 馨 提 示

解直角三角形的知识在生活和生产中有广 泛的应用,如在测量高度、距离、角度, 确定方案时都常用到解直角三角形。解这 类题关键是把实际问题转化为数学问题, 常通过作辅助线构造直角三角形来解.

解直角三角形:直角三角形中, 由已知元素求未知元素的过程
∠A+ ∠ B=90° 斜边c

归纳小结
B
∠A的对边a

a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函数 关系式

a b sin A

? ,sin B ? c c b a cos A ? , cos A ? c c a b tan A ? , tan B ? b a
由锐角求三角函数值

A

┌ ∠A的邻边b C

计算器 由三角函数值求锐角


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