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《第18讲 三角形和多边形》

发布时间:2014-02-14 19:01:10  

第18讲┃

三角形和多边形

第18讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 三角形概念及其基本元素

定义

由不在同一 ________直线上的三条线段首尾 顺次连接而成的图形叫三角形

三 个顶点, 三 条边,____ 三角形有____ 基本元素 三 个内角 ____

第18讲┃ 考点聚焦 考点2 三角形的分类

1.按角分:

直角三角形 ? ? 三角形? ?锐角三角形 斜三角形 ? ? ? ?钝角三角形

2.按边分:

不等边三角形 ? ? ? 三角形? ?底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 ? ? ?等边三角形 ? ?

第18讲┃ 考点聚焦 考点3 三角形中的重要线段 交点位置 三角形的三条中线的交点在三角形的______ 内 部 三角形的三条角平分线的交点在三角形的 ______ 内 部 ______ 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内 部;____ 三角形的三条高的交点是直角顶点; 直角 ______ 三角形的三条高所在直线的交点在三 钝角 角形的外部

重要线段 中线 角平分线



第18讲┃ 考点聚焦 考点4 三角形的中位线 中点 的线段叫三角 连接三角形两边的______ 形的中位线 平行 于第三边,并且 三角形的中位线______ 一半 等于它的______ (1)一个三角形有三条中位线.(2)三角 形的中位线分得三角形两部分的面积比 为1∶3

定义

定理

总结

第18讲┃ 考点聚焦 考点5 三角形的三边关系

定理 推理 三角形的 稳定性

大于第三边 三角形的两边之和____ 三角形的两边之差小于 ____第三边 三条线段组成三角形后,形状无 法改变是稳定性的体现

第18讲┃ 考点聚焦 考点6 定理 三角形的内角和定理及推理 三角形的内角和等于________ 180° 1.三角形的一个外角等于和它________________ 不相邻的两个内角的和 推论 2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 ______的内角 3.直角三角形的两个锐角________ 互余 360° 4.三角形的外角和为________ 拓展 在任意一个三角形中,最多有三个锐角,最少有两 个锐角;最多有一个钝角,最多有一个直角

第18讲┃ 考点聚焦 考点7 多边形

在同一平面内,不在同一直线上的一 首尾顺次 相接组成的图形叫 多边形的定义 些线段__________ 做多边形 -2)·180° n边形内角和(n ____________ 内角和 任意多边形的外角和为360° 外角和 多边形 的性质 多边形 对角线 不稳定 性 拓展
n(n-3) n边形共有______ 条对角线 2

n边形具有不稳定性(n>3) 3 n边形的内角中最多有________ 个是 锐角

第18讲┃ 考点聚焦

定义
正多 边形 对称性

相等 ,各条边 各个角________ 相等 的多边形叫正多边形 ________

轴 正多边形都是________ 对称图 形,边数为偶数的正多边形是 中心对称图形

第18讲┃ 考点聚焦 考点8 平面图形的镶嵌




形状 、______ 大小 完全相同的一种或几 用______ 平面图形 进行拼接,彼此之间不 种____________ 留空隙、不重叠地铺成一片,就是平面 镶嵌 图形的________

平面镶嵌 的条件

在同一顶点的几个角的和等于360°

第18讲┃ 考点聚焦

(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况: 六 个正三角形或________ ________ 四 个正四边形或 ________ 个正六边形 三 (2)用两种正多边形镶嵌 ①用正三角形和正四边形镶嵌:三个正三角形和 常见 两 个正四边形; ________ 形式 四 个正 ②用正三角形和正六边形镶嵌:用________ 一 个正六边形或者用________ 两 个 三角形和________ 两 个正六边形; 正三角形和________ 一 个正 ③用正四边形和正八边形镶嵌:用________ 两 四边形和________ 个正八边形可以镶嵌

第18讲┃ 考点聚焦

常见形式

(3)用三种不同的正多边形镶嵌 用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌,设 用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形,则 有60m+90n+120k=360,整理得 2m +3n+4k=12 ,因为m、n、k为整数,所以m ______________ =______ ,k=________ ,即用 1 ,n=________ 2 1 ________ 两 块正方形,________ 一 块正三角形和 ________ 块正六边形可以镶嵌 一 能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点 的几个角的和等于360°

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第18讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 三角形三边的关系

例1 [2013·徐州]若三角形的两边长分别为6 cm、9 cm, 则其第三边的长可能为( C ) A.2 cm B.3 cm C.7 cm D.16 cm 变式题 [2013·长沙]现有3 cm,4 cm,7 cm,9 cm长的 四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成 B ( 的三角形的个数是 ) A.1 B.2 C.3 D.4

第18讲┃ 归类示例 ? 类型之二 三角形的重要线段的应用

例2 [2011· 淮安]如图18-1,在△ABC中, D,E分别 是边AB、AC的中点,BC=8,则DE=__________ 。 4

图18-1

第18讲┃ 归类示例 ? 类型之三 三角形内角与外角的应用

例3 [2012·乐山]如图18-2,∠ACD是△ABC的外角, ∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平 分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分 线与∠An-1CD的平分线交于点An. 设∠A=θ. θ θ 则(1)∠A1=________ ; (2)∠An=________. 2 2n

图18-2

第18讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据角平分线的定义可得∠A1BC =∠ABC,∠A1CD=∠ACD,再根据三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可 得∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+ ∠A1,整理即可得解; (2)与(1)同理求出∠A2,可以发现后一个角 等于前一个角的,根据此规律再结合脚码即 可得解.

第18讲┃ 归类示例
∵ A1 B是∠ ABC的平分线, A2 B是∠ A1 BC的平分线, 1

1 ∴∠ A1 BC= ∠ ABC,∠ A1 CD= ∠ ACD. 2 2 又∵∠ ACD=∠ A+∠ ABC,∠ A1 CD=∠ A1 BC+∠ A1, 1 ∴ (∠ A+∠ ABC)=∠ A1 BC+∠ A1, 2 1 ∴∠ A1= ∠ A. 2 ∵∠ A= θ, θ ∴∠ A1= ; 2 θ 1 1 1 (2)同理可得∠ A2= ∠ A1= · θ = 2 , 2 2 2 2 θ 所以∠ An= n . 2

第18讲┃ 归类示例

变式题 [2013·黄冈]如图18-3,如图18-3,△ABC的 外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P, 50° 若∠BPC=40°,则∠CAP=________.

图18-3

第18讲┃ 归类示例
[解析 ] 过P作 PD⊥BC,PE⊥ AB,PF⊥ AC,垂足分别为D、

E、 F.因为PB是∠ ABC的平分线,所以PE=PD,同理:PD=PF, 所以PE= PF,所以 AP是∠EAC的平分线.利用三角形的外角和内 1 角和定理,得∠BPC= ∠ BAC,∴∠BAC=2×40°=80°. 2 1 1 所以∠CAP= (180°-∠BAC)= (180°-80° )=50°. 2 2

第18讲┃ 归类示例 ? 类型之四 多边形的内角和与外角和

例4 [2013·无锡]若一个多边形的内角和为1080°,则 这个多边形的边数为C ( ) A.6 B.7 C.8 D. 9

变式题[2013·淮安] 若一个多边形的内角和小于其外角和, 则这个多边形的边数是( A ) A.3 B.4 C.5 D.6


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