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《第20讲 等腰三角形》

发布时间:2014-02-14 19:01:27  

第20讲┃

等腰三角形

第20讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1
定义

等腰三角形的概念与性质
两边 有 ____相等的三角形是等腰三角形.相等的两 边叫腰,第三边为底

轴对 称性
性质 定理1 定理2

一 等腰三角形是轴对称图形,有____ 条对称轴 等腰三角形的两个底角相等(简称为: __________) 等边对等角

等腰三角形顶角的平分线、底边上 的________ 和底边上的高互相重合, 中线 简称“三线合一”

第20讲┃ 考点聚焦

(1)等腰三角形两腰上的高相等

(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶 角的一半

拓展

(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之 和等于一腰上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距 离之差等于一腰上的高

第20讲┃ 考点聚焦 考点2 等腰三角形的判定

定理

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角 所对的边也相等(简写成:等角对等边 ___________)

(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是 等腰三角形
拓展 (2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的 三角形是等腰三角形

(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合 的三角形是等腰三角形

第20讲┃ 考点聚焦 考点3 等边三角形 三边相等的三角形是等边三角形 相等 ,并且每一个 等边三角形的各角都______ 角都等于______ 60° 等边三角形是轴对称图形,有______ 3 条对 称轴 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等 边三角形

定义

性质

第20讲┃ 考点聚焦 考点4 线段的垂直平分线 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这 条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 相等 距离________ 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线 段的____________ 垂直平分线 上 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点 ________的所有点的集合 距离相等

定义

性质

判定 实质 构成

第20讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 等腰三角形的性质的运用

例1 [2013·镇江] 如图20-1,在四边形ABCD中, AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F ,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF. (1)求证:△ADE≌△BFE; (2)连接EG,判断EG与DF的位置关系, 并说明理由.

图20-1

第20讲┃ 归类示例

解: (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠BFE,∠DAE=∠FBE. ∵E是AB的中点, ∴AE=BE. ∴△ADE≌△BFE. (2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF. ∵∠GDF=∠ADF, 又∵∠ADE=∠BFE, ∴∠GDF=∠BFE, ∴GD=GF. 由(1)得,DE=EF, ∴EG⊥DF.

第20讲┃ 归类

示例 ? 类型之二 等腰三角形判定

例2 [2013· 扬州 ]已知:如图20-2,锐角△ABC的两条 高BD、CE相交于点O,且OB=OC. (1)求证:△ABC是等腰三角形; (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.

图20-2

第20讲┃ 归类示例 [解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明 ∠DCB=∠EBC;(2)连接AO,通过HL证明 △ADO≌△AEO,从而得到∠DAO=∠EAO, 利用角平分线上的点到两边的距离相等, 证明结论. 解:(1)证明:∵OB=OC,∴∠OBC= ∠OCB. ∵BD、CE是两条高,∴∠BDC=∠CEB= 90°. 又∵BC=CB,∴△BDC≌△CEB (AAS). ∴∠DBC=∠ECB, ∴AB=AC. ∴△ABC是等腰三角形.

第20讲┃ 归类示例

(2)点O是在∠BAC的平分线上. 连接AO. ∵△BDC≌△CEB,∴DC=EB. ∵OB=OC,∴ OD=OE. 又∵∠BDC=∠CEB=90°,AO=AO, ∴△ADO≌△AEO(HL). ∴∠DAO=∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上.

第20讲┃ 归类示例 ? 类型之三 等腰三角形的多解问题

例3 [2013·广安]已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D, 且AD=0.5 BC,则△ABC底角的度数为( C ) A.45° B.75° C.45°或75° D.60°

第20讲┃ 归类示例 ? 类型之四 等边三角形的判定与性质

例4 [2013· 绍兴] 在等边三角形ABC中,点E在AB上, 点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图。试确定线 段AE与DB的大小关系,并说明理由.

第20讲┃ 归类示例 小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论 当点E为AB的中点时,如图20-4①,确定线段 AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: = AE________DB( 填“>”“<”或“=”)

① 图20-4



第20讲┃ 归类示例

(2)特例启发,解答题目 解:题目中,AE与DB的大小关系是: AE________ = DB(填“>”“<”或“=”).理由如下 :如图20-4②,过点E作EF∥BC,交AC于点F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D 在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1, AE=2,求CD的长(请你直接写出结果). (3)1或3.

第20讲┃ 归类示例 方法一:等边三角形ABC中, ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°, AB=BC=AC. ∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC, ∴△AEF是等边三角形,∴AE=AF=EF, ∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF. 又∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°, ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°, 且ED=EC, ∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠FCE. 又∵∠DBE=∠EFC=120°, ∴△DBE≌△EFC, ∴DB=EF, ∴AE=BD.

第20讲┃ 归类示例 方法二:在等边三角形ABC中, ∠ABC=∠ACB=60°,∠ABD=120°. ∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠ACE, ED=EC, ∴∠EDB=∠ECB, ∴∠BED=∠ACE. ∵FE∥BC, ∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC, ∴△AEF是正三角形,∠EFC=180°-∠ACB=120°

=∠ABD. ∴△EFC≌△DBE, ∴DB=EF, 而由△AEF是正三角形可得EF=AE. ∴AE=DB.

第20讲┃ 归类示例

等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于 60° 的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者 构造全等.


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