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等腰三角形(二)教学设计

发布时间:2014-02-17 18:10:13  

第一章 三角形的证明

1. 等腰三角形(二)

一、学生知识状况分析

在八年级上册第七章《平行线的证明》,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,习得了一些基本的证明方法和基本规范,积累了一定的证明经验;在七年级下,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题;而前一课时,学生刚刚证明了等腰三角形的性质,这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。

二、教学任务分析

本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理,进一步研究等腰三角形的一些特殊性质,探索等边三角形的性质。为此,确定本节课的教学目标如下:

1.知识目标:

①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段,进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式,体会证明的必要性;

2.能力目标:

①经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;

②在命题的变式中,发展学生提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学生的学习能力和思维能力,提高学生学习的主体性;

③在图形的观察中,揭示等腰三角形的本质:对称性,发展学生的几何直觉;

3.情感与价值观要求

①鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.

②体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性.

4.教学重、难点

重点:经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程,能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.

三、教学过程分析

1

本节课设计了六个教学环节:第一环节:提出问题,引入新课;第二环节:自主探究;第三环节:经典例题 变式练习;第四环节:拓展延伸、探索等边三角形性质; 第五环节: 随堂练习 及时巩固 ;第六环节:探讨收获 课时小结。

第一环节:提出问题,引入新课

活动内容:在回忆上节课等腰三角形性质的基础上,提出问题:

在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?

活动目的:回顾性质,既为后续研究判定提供了基础;同时,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于提高学生提出问题的能力。

第二环节:自主探究

活动内容:在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等),观察其中有哪些相等的线段,并尝试给出证明。

活动目的:让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,并进行证明,从中进一步体会证明过程,感受证明方法的多样性。

活动效果与注意事项:活动中,教师应注意给予适度的引导,如可以渐次提出问题:

你可能得到哪些相等的线段?

你如何验证你的猜测?

你能证明你的猜测吗?试作图,写出已知、求证和证明过程;

还可以有哪些证明方法?

通过学生的自主探究和同伴的交流,学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出:

等腰三角形两个底角的平分线相等;

等腰三角形腰上的高相等;

等腰三角形腰上的中线相等.

并对这些命题给予多样的证明。

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”,学生得到了下面的证明方法:

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的角平分线.

求证:BD=CE.

2

E

证法1:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

11∵∠1=∠ABC,∠2= ∠ABC, 22

∴∠1=∠2.

在△BDC和△CEB中,

∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2.

∴△BDC≌△CEB(ASA).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

证法2:证明:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB.

又∵∠3=∠4.

在△ABC和△ACE中,

∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A.

∴△ABD≌△ACE(ASA).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).

在证明过程中,学生思路一般还较为清楚,但毕竟严格证明表述经验尚显不足,因此,教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求,因此,注意请学生板书其中部分证明过程,借助课件展示部分证明过程;可能部分学生还有一些困难,注意对有困难的学生给予帮助和指导。

第三环节:经典例题 变式练习

活动内容:提请学生思考,除了角平分线、中线、高等特殊的线段外,还可以有哪些线段相等?并在学生思考的基础上,研究课本“议一议”:

在课本图1—4的等腰三角形ABC中,

11(1)如果∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论? 34

1111(2)如果AD= AC,AE=,那么BD=CE吗?如果AD=,AE= AB呢?由此你得到什么2233

结论?

活动目的:提高学生变式能力、问题拓广能力,发展学生学习的自主性。

3

活动注意事项与效果:教学中应注意对学生的引导,因为学生先前这样的经验比较少,可能学生一时不知如何研究问题,教师可以引导学生思考:把底角二等份的线段相等.如果是三等份、四等份??结果如何呢?从而引出“议一议”。

由于课堂时间有限,如果学生全部解决上述问题,时间不够,可以在引导学生提出上述这些问题的基础上,让学生证明其中部分问题,而将其余问题作为课外作业,延伸到课外;当然,也可以对不同的学生提出不同的要求,如普通学生仅仅证明其中部分问题,而要求部分学优生解决所有的问题,甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题,你是如何想到这些问题的”。

在学生解决问题的基础上,教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。

下面是学生的课堂表现:

1[生]在等腰三角形ABC中,如果∠ABD=∠ABC,那么BD=CE.这和证明等腰三角形两底3

角的角平分线相等类似.证明如下:

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

11又∵∠ABD=∠ABC, ∴∠ACE=∠ACB, 33

∴∠ABD=∠ACE.

在△BDC和△CEB中,

∵∠ABD=∠ACE,BC=CB,∠ACB=∠ABC,

∴△BDC≌△CEB(ASA).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

11[生]如果在△ABC中,AB=AC, ∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠∠ACB,那么BD=CE也是成立44

的.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE,△BDC与△CEB全等的条件就能满足,也就能得到BD=CE.由此我们可以发现:

11在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ ∠ABC,∠ACE= ∠ACB,就一定有BD=CE成立. nn

[生]也可以更直接地说:在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ACE,那么BD=CE.

[师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来.(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问,请小组代表发言.

4

1111[生]在△ABC中,AB=AC,如果AD=,AE=,那么BD=CE;如果AD=,AE=,2233

11那么BD=CE.由此我们得到了一个更一般的结论:在△ABC中,AB=AC,AD=,AE= AB,nn

那么BD=CE.证明如下:

∵AB=AC.

11又∵AD=,AE=, nn

∴AD=AE.

在△ADB和△AEC中,

AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,

∴△ADB≌△AEC(SAS).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).

[生]一般结论也可更简洁地叙述为:在△ABC中,如果AB=AC,AD=AE,那么BD=CE.

[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论,这是我们研究数学问题常用的一种思想方法,它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究,我们可以发现等腰三角形中,相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的.

第四环节:拓展延伸,探索等边三角形性质

活动内容:提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质:等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知:如图,ΔABC中,AB=BC=AC.

求证:∠A=∠B=∠C=60°.

证明:在ΔABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).

同理:∠C=∠A,∴∠A=∠B=∠C(等量代换).

又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠A=∠B=∠C=60°. 活动效果:学生一般都能得到这些定理的证明,能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程:

第五环节: 随堂练习 及时巩固

5

活动内容:在探索得到了等边三角形的性质的基础上,让学生独立完成以下练习。

1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.

求证:AE=CD

C 活动意图:在巩固等边三角形的性质的同时,进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤,规范证明的书写格式。

第六环节:探讨收获 课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段,并由特殊结论归纳出一般结论,

四、教学反思

本节课关注了问题的变式与拓广,实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程,因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力,但也应注意根据学生的情况进行适度的调整,因为学生先前这样的经验较少,因而对一些班级学生而言,完成全部这些教学任务,可能时间偏紧,为此,教学中可以适当减少一些内容,将部分内容延伸到课外,当然,也可以设计为两个课时,将研究过程进一步展开。

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