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黄冈中学初中数学二次函数知识点汇总[1]

发布时间:2013-09-24 16:30:26  

1.定义:一般地,如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y?ax2的性质

(1)抛物线y?ax的顶点是坐标原点,对称轴是y轴. 2

(2)函数y?ax的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax(a?0). 22

3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成:y?a?x?h??k的形式,其中22

b4ac?b2

h??,k?. 2a4a

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①y?ax;②y?ax?k;③y?a?x?h?;④222

y?a?x?h??k;⑤y?ax2?bx?c. 2

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向:当a?0时,开口向上;当a?0时,开口向下;

②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地,y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.

b?4ac?b2?8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:y?ax?bx?c?a?x?,∴顶点是??2a?4a?22

b4ac?b2b(?),对称轴是直线x??. 2a4a2a

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,得到顶点为(h,k),2

对称轴是直线x?h.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分

1

线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.

9.抛物线y?ax?bx?c中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小,这与y?ax中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线 222

x??

③bb,故:①b?0时,对称轴为y轴;②?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;a2ab?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. a

2 (3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

当x?0时,y?c,∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0,c): ①c?0,抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴;③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

2b?0. a11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式:y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.

(2)顶点式:y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 22

(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y?a?x?x1??x?x2?. (此公式的优点就是求二次项系数a)

12.直线与抛物线的交点

2

(1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0, c).

(2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程2222

ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切;

③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵

坐标为k,则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点,由方22

程组 y?kx?ny?ax??c

2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点;③方程组无解时?l与G没有交点.

0?,B?x2,0?, (6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1,2

由于x1、x2是方程ax?bx?c?0的两个根,故 2

一次函数与反比例函数

考点一、平面直角坐标系 (3分)

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。

其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

3

为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当a?b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 (3分)

1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第二象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第三象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第四象限?x?0,y?0

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上?y?0,x为任意实数

点P(x,y)在y轴上?x?0,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上?x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于y

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于x

(3)点P(x,y)到原点的距离等于x?y

考点三、函数及其相关概念 (3~8分)

1、变量与常量

在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。

一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对22

4

应,那么就说x是自变量,y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

(1)解析法

两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。

(3)图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点

(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点四、正比例函数和一次函数 (3~10分)

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地,如果y?kx?b(k,b是常数,k?0),那么y叫做x的一次函数。

特别地,当一次函数y?kx?b中的b为0时,y?kx(k为常数,k?0)。这时,y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数y?kx?b的图像是经过点(0,b)的直线;

5

4、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数y?kx有下列性质:

(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;

(2

)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质,,一般地,一次函数y?kx?b有下列性质:

(1)当k>0时,y随x的增大而增大

(2)当k<0时,y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y?kx(k?0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y?kx?b(k?0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 考点五、反比例函数 (3~10分)

1、反比例函数的概念

k?1(k是常数,k?0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y?kxx

的形式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。 一般地,函数y?

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0,函数y?0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

6

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?

k

中,只有一个待定系数,因此只需要x

一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k

(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形x

k

PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。 ?y?,?xy?k,S?k。

x

如下图,过反比例函数y?

二次函数

考点一、二次函数的概念和图像 (3~8分) 1、二次函数的概念

一般地,如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x 的二次函数。

2

y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x??

b

对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征:

①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法:

(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点:

当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。

7

2

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式 (10~16分)

二次函数的解析式有三种形式:

(1)一般式:y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0) (2)顶点式:y?a(x?h)?k(a,h,k是常数,a?0)

(3)当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时,即对应二次好方程ax2?bx?c?0有实根x1和x2

存在时,根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2),二次函数y?ax?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点,则不能这样表示。

考点三、二次函数的最值 (10分)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大

2

2

2

2

2

4ac?b2b值(或最小值),即当x??时,y最值?。

4a2a

如果自变量的取值范围是x1?x?x2,那么,首先要看?

b

是否在自变量取值范围x1?x?x2内,2a

4ac?b2b

若在此范围内,则当x=?时,y最值?;若不在此范围内,则需要考虑函数在x1?x?x2范

4a2a

围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x?x2时,y最大?ax2?bx2?c,当x?x1时,y最小?ax1?bx1?c;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x?x1时,y最大?ax1?bx1?c,当x?x2时,y最小?ax2?bx2?c。

2

2

2

2

8

2

2、二次函数y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0)中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上,,, a<0时,抛物线开口向下

b与对称轴有关:对称轴为x=?

b

2a

(0,c) c表示抛物线与y轴的交点坐标:

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的??b?4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?>0时,图像与x轴有两个交点; 当?=0时,图像与x轴有一个交点; 当?<0时,图像与x轴没有交点。 中考点击 考点分析:

2

9

特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后;X轴上y为0,x为0在Y轴。

对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号;原点

对称最好记,横纵坐标变符号。

自变量的取值范围:分式分母不为零,偶次根下负不行;零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行。 函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式,则用下面后的口诀“同左上加,异右下减”。

一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一

直线;两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远。

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点,它们确定图象现;开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。

反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。

正比例函数是直线,图象一定过圆点,k的正负是关键,决定直线的象限,负k经过二四限,x增大

y在减,上下平移k不变,由引得到一次线,向上加b向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数是关键。

反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k落在一三限,x增大y在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

二次函数抛物线,选定需要三个点,a的正负开口判,c的大小y轴看,△的符号最简便,x轴上数交点,a、b同号轴左边抛物线平移a不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。

1. 一元一次不等式解题的一般步骤:

去分母、去括号,移项时候要变号;

同类项、合并好,再把系数来除掉;

两边除(以)负数时,不等号改向别忘了。

2. 特殊点坐标特征:

坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;

(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后;

X轴上y为0,x为0在Y轴。

3. 平行某轴的直线:

平行某轴的直线,点的坐标有讲究,

直线平行X轴,纵坐标相等横不同;

直线平行于Y轴,点的横坐标仍照旧。

4. 对称点坐标:

对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,

X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号;

原点对称最好记,横纵坐标变符号。

10

5. 自变量的取值范围:

分式分母不为零,偶次根下负不行;

零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行。

6. 函数图像的移动规律:

若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b,

二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式,

则用下面后的口诀:

“左右平移在括号,上下平移在末稍,

左正右负须牢记,上正下负错不了”。

7. 一次函数图像与性质口诀:

一次函数是直线,图像经过仨象限;

正比例函数更简单,经过原点一直线;

两个系数k与b,作用之大莫小看,

k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,

k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;

k的绝对值越大,线离横轴就越远。

8. 二次函数图像与性质口诀:

二次函数抛物线,图象对称是关键;

开口、顶点和交点,它们确定图象限;

开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联;顶点位置先找见,Y轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。

9. 反比例函数图像与性质口诀:

反比例函数有特点,双曲线相背离的远;

k为正,图在一、三(象)限;k为负,图在二、四(象)限;

图在一、三函数减,两个分支分别减;图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。

函数学习口决:正比例函数是直线,图象一定过原点,k的正负是关键,决定直线的象限,负k经过二四限,x增大y在减,上下平移k不变,由引得到一次线,向上加b向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数是关键;

反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k落在一三限,x增大y在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线x、y的顺序可交换;

二次函数抛物线,选定需要三个点,a的正负开口判,c的大小y轴看,△的符号最简便,x轴上数交点,a、b同号轴左边抛物线平移a不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。

10. 求定义域:

求定义域有讲究,四项原则须留意。

负数不能开平方,分母为零无意义。

指是分数底正数,数零没有零次幂。

限制条件不唯一,满足多个不等式。

11

求定义域要过关,四项原则须注意。 负数不能开平方,分母为零无意义。 分数指数底正数,数零没有零次幂。 限制条件不唯一,不等式组求解集。

11. 解一元一次不等式:

先去分母再括号,移项合并同类项。 系数化“1”有讲究,同乘除负要变向。 先去分母再括号,移项别忘要变号。 同类各项去合并,系数化“1”注意了。 同乘除正无防碍,同乘除负也变号。

12. 解一元一次不等式组:

大于头来小于尾,大小不一中间找。 大大小小没有解,四种情况全来了。 同向取两边,异向取中间。

中间无元素,无解便出现。

幼儿园小鬼当家,(同小相对取较小) 敬老院以老为荣,(同大就要取较大) 军营里没老没少。(大小小大就是它) 大大小小解集空。(小小大大哪有哇)

13. 解一元二次不等式: 首先化成一般式,构造函数第二站。 判别式值若非负,曲线横轴有交点。 a正开口它向上,大于零则取两边。 代数式若小于零,解集交点数之间。 方程若无实数根,口上大零解为全。 小于零将没有解,开口向下正相反。 13.1 用公式法解一元二次方程 要用公式解方程,首先化成一般式。 调整系数随其后,使其成为最简比。 确定参数abc,计算方程判别式。 判别式值与零比,有无实根便得知。 有实根可套公式,没有实根要告之。

14. 用常规配方法解一元二次方程:

左未右已先分离,二系化“1”是其次。 一系折半再平方,两边同加没问题。 左边分解右合并,直接开方去解题。 该种解法叫配方,解方程时多练习。

15. 用间接配方法解一元二次方程:

已知未知先分离,因式分解是其次。 调整系数等互反,和差积套恒等式。

12

完全平方等常数,间接配方显优势

【注】 恒等式

16. 解一元二次方程: 方程没有一次项,直接开方最理想。 如果缺少常数项,因式分解没商量。 b、c相等都为零,等根是零不要忘。 b、c同时不为零,因式分解或配方, 也可直接套公式,因题而异择良方。

17. 正比例函数的鉴别: 判断正比例函数,检验当分两步走。 一量表示另一量, 有没有。

若有再去看取值,全体实数都需要。 区分正比例函数,衡量可分两步走。 一量表示另一量, 是与否。

若有还要看取值,全体实数都要有。

18. 正比例函数的图象与性质:

正比函数图直线,经过 和原点。 K正一三负二四,变化趋势记心间。 K正左低右边高,同大同小向爬山。 K负左高右边低,一大另小下山峦。

19. 一次函数:

一次函数图直线,经过 点。

K正左低右边高,越走越高向爬山。 K负左高右边低,越来越低很明显。

K称斜率b截距,截距为零变正函。 20. 反比例函数:

反比函数双曲线,经过 点。

K正一三负二四,两轴是它渐近线。 K正左高右边低,一三象限滑下山。 K负左低右边高,二四象限如爬山。

21. 二次函数: 二次方程零换y,二次函数便出现。 全体实数定义域,图像叫做抛物线。 抛物线有对称轴,两边单调正相反。 A定开口及大小,线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。 如果要画抛物线,平移也可去描点, 提取配方定顶点,两条途径再挑选。 列表描点后连线,平移规律记心间。 左加右减括号内,号外上加下要减。

13

二次方程零换y,就得到二次函数。

图像叫做抛物线,定义域全体实数。 A定开口及大小,开口向上是正数。

绝对值大开口小,开口向下A负数。

抛物线有对称轴,增减特性可看图。

线轴交点叫顶点,顶点纵标最值出。

如果要画抛物线,描点平移两条路。

提取配方定顶点,平移描点皆成图。

列表描点后连线,三点大致定全图。

若要平移也不难,先画基础抛物线,

顶点移到新位置,开口大小随基础。

【注】基础抛物线

22. 列方程解应用题:

列方程解应用题,审设列解双检答。

审题弄清已未知,设元直间两办法。

列表画图造方程,解方程时守章法。

检验准且合题意,问求同一才作答。

23. 两点间距离公式:

同轴两点求距离,大减小数就为之。

与轴等距两个点,间距求法亦如此。

平面任意两个点,横纵标差先求值。

差方相加开平方,距离公式要牢记。

二次函数知识点:1.二次函数的概念:一般地,形如y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征:

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⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:y?ax2的性质:

结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

总结:

2. y?ax2?c的性质:

结论:上加下减。同左上加,异右下减 总结:

15

3. y?a?x?h?2的性质:

结论:左加右减。同左上加,异右下减 总结:

4. y?a?x?h?2?k的性质:

总结:

1. 平移步骤:

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k?; ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k,确定其顶点坐标?h,

k?处,具体平移方法如下:

⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变,将其顶点平移到?h,

2向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.

概括成八个字“

同左上加,异右下减”.

2

2三、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较 2请将y?2x?4x?5利用配方的形式配成顶点式。请将y?ax2?bx?c配成y?a?x?h??k。

总结:

从解析式上看,y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前

b?4ac?b2b4ac?b2?者,即y?a?x???,其中h??,. k?2a4a2a4a??22

四、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y

c?、以及?0,c?关于对称轴对称的点?2h,c?、与x轴的交点?x1,0?,?x2,0?(若与x轴的交点?0,

轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

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五、二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为x??,顶点坐标为???. 2a4a2a??

当x??bbb时,y随x的增大而减小;当x??时,y随x的增大而增大;当x??时,y有最2a2a2a

4ac?b2

小值. 4a

?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时,抛物线开口向下,对称轴为x??,顶点坐标为??.当时,yx???2a4a2a2a??

4ac?b2bb随x的增大而增大;当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y有最大值. 4a2a2a

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0);

2. 顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k为常数,a?0);

3. 两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,

只有抛物线与x轴有交点,即b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中,a作为二次项系数,显然a?0.

⑴ 当a?0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; ⑵ 当a?0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.

总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.

⑴ 在a?0的前提下,

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当b?0时,?

当b?0时,?b?0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;ab同号2ab?0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2a同左上加

当b?0时,?b?0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.a,b异号2a异右下减

异右下减 ⑵ 在a?0的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b?0时,?

当b?0时,?b?0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;a,b异号2ab?0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2a

当b?0时,?b?0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.ab同号2a同左上加

总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.

总结: 同左上加 异右下减

3. 常数项c

⑴ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当c?0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

二、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x轴对称

x?bx?关于cx轴对称后,得到的解析式是y??a2x?bx?;c y?a2

y?a?x?h??k关于x轴对称后,得到的解析式是y??a?x?h??k;

19 22

2. 关于y轴对称

y?a2x?bx?关于cy轴对称后,得到的解析式是y?a2x?bx?;c

y?a?x?h??k关于y轴对称后,得到的解析式是y?a?x?h??k; 22

3. 关于原点对称

y?a2x?bx?关于原点对称后,得到的解析式是cy??a2x?bx?;c

ky??a?x??h?;k y?a?x??h?关于原点对称后,得到的解析式是22

4. 关于顶点对称

b2

y?ax?bx?关于顶点对称后,得到的解析式是cy??ax?bx?; 2a22

y?a?x?h??k关于顶点对称后,得到的解析式是y??a?x?h??k. 22

5. 关于点?m,n?对称

y?a?x?h??k关于点?m,n?对称后,得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k 22

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数:

0?,B?x2,0?(x1?x2),其中的x1,x2是一元二次① 当??b2?4ac?0时,图象与x轴交于两点A?x1,

方程ax?bx?c?0?a?

0?的两根.这两点间的距离AB?x2?x1? 2

② 当??0时,图象与x轴只有一个交点;

③ 当??0时,图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y?0;

2' 当a?0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y?0.

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符

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号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的

一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数;下面以a?0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:图像参考:

y=-2x2

21

y=3(x+4)2

y=3x2

2

y=-2(x-3)2

22

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