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最新人教版角平分线的性质(第二课时)

发布时间:2013-09-25 08:00:39  

1、画一角的角的平分线.
2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述: ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE
A D 1 2 E B P C

O

?

反过来,到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢?

已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的平分线上.
O

B E Q C

D
A

已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的平分线上.
证明: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB(已知), ∴ ∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义) 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO=QO(公共边) QD=QE(已知) ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO(HL) ∴ ∠ QOD=∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

判定:到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为:

∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE ∴点Q在∠AOB的平分线上. 性质:角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明:过点P作PD⊥AB于D, PE⊥BC于E,PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,
B A ND P M F

∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E

C

如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 平分线相交于点F,求证:点F到三边 AB、BC、AC所在直线的距离相等。
证明: 过点F作FG⊥AE于G, 还可以证明点 FH⊥AD于H,FM⊥BC于M G F在∠DAE的 ∵点F在∠BCE的平分线上, 平分线上. FG⊥AE, FM⊥BC M ∴FG=FM 又∵点F在∠CBD的平分线上, H FH⊥AD, FM⊥BC ∴FM=FH ∴FG=FH=FM ∴点F到三边AB、BC、AC所在直线的距离相等。

利用结论,解决问题
练一练 1、如图,为了促进当 地旅游发展,某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?

拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处

分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。

如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F,且BE=CF。 求证:AD是△ABC的角平分线。
证明:∵D是BC的中点
A

∴DB=DC(中点的定义) 又∵DE⊥AB,DF⊥AC(已知) ∴在Rt△DEB和Rt△DFC中 BE=CF(已知) E DB=DC(已证) B ∴ Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)
∴DE=DF(全等三角形对应边相等) ∵ DE⊥AB,DF⊥A

C,DE=DF ∴ AD是△ABC的角平分线

F D C

到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为:

∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C

D
F E B N

A

1.角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判 定定理是证明角相等、线段相等的新途径.


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