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等腰三角形的性质

发布时间:2013-09-25 08:00:40  

●德安中学

何翠芳

动手做一做

看一看

△ABC有什么特点?

C A

B

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角





底角

底角

B
底边

C

等腰三角形中,相等的两边都叫做腰, 另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰 和底边的夹角叫做底角.

小试牛刀
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长 是
10 cm



2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 cm ;
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 19 cm 则它的周长是 。

等腰三角形是轴对称图形吗?
※等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线所在的直线。

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折, 找出其中重合的线段和角.

重合的线段

重合的角

A

AB=AC BD=CD AD=AD

∠B = ∠C.
∠BAD = ∠CAD ∠ADB = ∠ADC
B D C

大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?

猜想与论证
猜想
等腰三角形的两个底角相等。 已知:△ABC中,AB=AC
A

求证:∠B=?C
分析:1.如何证明两个角相等?

B
D

C

2.如何构造两个全等的 三角形?

如何构造两个全等的三角形?

A
证明: 作顶角的平分线AD,
则有∠1=∠2

12

在△ABD和△ACD中 AB=AC C B D ∠1=∠2 AD=AD (公共边) ∴ △ABD≌ △ACD (SAS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD=CD

在△ABD和△ACD中 AB=AC C B D BD=CD AD=AD (公共边) ∴ △ABD≌ △ACD (SSS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB=∠ADC =90o 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC (公共边)B AD=AD

D

C

∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

猜想与论证
猜想 性质1
等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) 已知:△ABC中,AB=AC
A

求证:∠B=?C
分析:1.如何证明两个角相等?

B
D

C

2.如何构造两个全等的 三角形?

小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 75°, 角为_____ 30° __; ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 70°,40°或55°,55° 为___________________; ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 35°,35° 为______ __。

想一想:
刚才的证明除了能得到∠B=∠C 你还能发现什么?
重合的线段 AB=AC 重合的角
A

∠B = ∠C.
∠BAD = ∠CAD
∠ADB =∠ADC =90°
B D C

BD=CD
AD=AD

是真是假
性质2 等腰三角形顶角的平分线平分底边并 且垂直于底边. A

B

C D

等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底 边上的高互相重合

(等腰三角形三线合一)

等腰三角形“三线合一”的性质

用符号语言表示为:
在△ABC中 (1)∵AB=AC,AD⊥BC, 1 2 BD CD ∴∠___=

∠___,____=____; (2)∵AB=AC,AD是中线, BC 1 2 AD ∴∠_=∠_,____⊥____; B

A 12

D

C

(3)∵AB=AC,AD是角平分线, AD ∴____⊥____,____=____。 CD BC BD

例1、如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数。
A

解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD (等边对等角)
D 2x

2x B C

⌒ x

设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,

于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°,

在△ABC中, ∠A=36°, ∠ABC=∠C=72°

谈谈你的收获!

轴对称图形

两个底角相等,简称“等边对等角”

顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高

互相重合,简称“三线合 一”

性质1

:

等腰三角形的两个底角相等

(简称“等边对等角”,前提是在同一 个三角形中。)
等腰三角形的顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合。
:

性质2

(简称“三线合一”,前提是在同一个 等腰三角形中。)

课后思考
如图:△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相 交于点H,且AE=BE。 求证:AH=2BD
证明:∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD 又∵BE是高,∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°

A
⌒ H B D 1 E

∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴ ∠1=∠2 在△AEH和△BEC中 ∠AEH=∠BEC AE=BE ∠1=∠2
你的细心加你的 耐心等于成功!

C



∴△AEH≌△BEC(ASA) ∴AH=BC ∴AH=2BD

一次数学课上,老师布置了一道几何证明题,通 课后思考 过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法,聪明的你 们,能找出几种证明方法呢?试试看吧!

如图,已知△ABC中,AB=AC,F在AC上,在 BA的延长线上截取AE=AF,求证:ED⊥BC
E

A

F

B

D

C

课 外 作 业 :

习题
P56 T1 T2 T4

12.3

下课了!


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