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中考复习垂径定理、圆周角与圆心角

发布时间:2014-02-20 18:56:18  

中考复习圆心角、圆周角垂径定理

一、知识点

1、旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.

在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.

2、轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

3、圆是轴对称图形,经过圆心的每一条 都是它的对称轴。(因为直径是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成:“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。)

4、、垂径定理:垂直于弦的直径弦所对的弧。(这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质是过“圆心”。)

5与圆有关的角 (1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.

6. 圆周角的性质: ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.

1.(泸州市2008年)如图1,正方形ABCD是⊙O的内接正方形,点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点,则∠BPC的度数是( )

???? A

C.75 D.90

A

2. 如图,在⊙中,弦半径OA,AC与OB相交于M,∠C=20°,则∠AMB的度数为( )

A.30° B.60° C.50° D.40

3. 在⊙O中,弦AB把⊙O分为度数比为1∶5的两条弧,则?AB所对的圆心角的度数为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° ?

??CD?∠AED=80°,∠ACD的度数为4. 如图,弦AC、BD相交于点E,?AB?BC

( )

A.30° B.25° C.20° D.15°

5. 如图,在⊙O中,弦EF∥直径AB,若弧AE的度数为50,则弧BF的度数

为 ,弧EF的度数为 ,∠EOF= ,∠EFO= .

6. 如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BCD=130°,

则∠BOD的度数是__________.

7. 一条弧所对的圆周角为80°,它所对的圆心角是____度.

8. 如图,在⊙O中,AB是直径,弦CD//AB,AC的度数为20°,

则圆周角∠CPD的度数为_________.

9、如图,在?ABC中,AB为?O的直径,?B?60,?C?70,

则?BOD的度数是_____________度. ???C C A O D B ?P

10、如图,在⊙O中,CD过圆心O,且CD⊥AB于D,过C点任意作一条弦CF交⊙O于F,交AB于E。

2求证:CB=CF·CE

11、(2009年株洲市)如图,点A、B、C是?O上的三点,AB//OC.

(1)求证:AC平分?OAB.

(2)过点O作OE?AB于点E,交AC于点P. 若

AB?2?AOE?30?,求PE的长.

12、(2010湖北荆门)如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点. (1)求证:AC·CD=PC·BC;

(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;

(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求出这个最大面积S。

A

第23题图

巩固练习

一、选择题:

1、下列命题中正确的是( )

A、平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦;

C、若两段弧的度数相等,则它们是等弧; D、弦的垂线平分弦所对的弧。

2、如图,⊙O中弦AB⊥CD于E,AE=2,EB=6,ED=3,则⊙O的半径为。

3、在半径为5cm的⊙O中,有一点P满足OP=3 cm,则过P的整数弦有

4、已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12 cm,CD=16 cm, 则AB和CD的距离是( )

A、2cm B、14cm C、2cm或14cm D、2cm或12cm

5、圆内一弦与直径相交成300的角,且分直径为1 cm和5 cm两段,则此弦长为 。 AE

?OBC

第2题图 6、如图,如果⊙O的半径为2

,弦AB= )

A.1

C.1

2

7、(2010福建省南平)如图,⊙O的直径AB长为6,弦AC长为2,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求四边形ADBC的面积.

C

A O

B

8、(2009柳州)如图,AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.

(1)求证:CF?BF;

(2)若AD?2,⊙O的半径为3,求BC的长.

(3)若CD ﹦6, AC ﹦8,则⊙O的半径为 ,CE的长是 .

9、(2009年广州市)如图,在⊙O中,∠ACB=∠BDC=60°,AC=23cm,

(1)求∠BAC的度数; (2)求⊙O的周长

10、D是△ABC中BC边上中点,且AD⊥BC延长AD交其外接圆于E。(1)求证AB2=AD·AE。

变式思考(1):若△ABC是等边三角形,D是△ABC中BC边上任一点(如图2)①结论AB2=AD·AE还成立吗?②若△ABC外接圆半径为6,你能求出AD·AE的值来吗?

变式思考(2):D若与B,C重合情况又如何?

变式思考(3):若D为BC的延长线上任一点(如图3)。

①结论AB2=AD·AE还成立吗?

②若△ABC外接圆半径为6,你能求出AD·AE的值来吗?

AA

A

图1B图3图2

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