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9.2多边形的内角和与外角和

发布时间:2014-02-22 19:23:44  

9.2多边形的内角和与外角和
重庆万州德澳中学初一备课组

复习: 1.什么叫做三角形? 三角形是由三条不在同一直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形。 2.三角形的内角和定理是什么?外角和定理 呢? 三角形的内角和是180? 三角形的外角和是360?

多边形的有关概念

三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾 顺次连结组成的平面图形。 记作

ABC

四边形是由四条不在同一直线上的线段首 尾顺次连结组成的平面图形。 记作 四边形ABCD 五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾 顺次连结组成的平面图形。 记作 五边形ABCDE

1. 一般地,由n条不在同一条直线上的线段首尾 顺次连结组成的平面图形称为n边形,又称为多边形。 凹多边形

凸多边形

2.如果多边形的各边都相等,各内角也都相等, 那么就称它为正多边形. 如:正三角形、正四边形(正方形)、正五 边形等.

3.外角: 多边形内角的一边与另一边的反向延长 线 所组 成的角叫做这个多边形的外角。
对角线 外角

内角

顶点



4.对角线:在多边形中,连接不相邻的两个顶 点的线段叫做多边形的对角线。

问题 1 五边形、六边形分别有多少个内角?多少个 外角? 答 五边形有5个内角,10个(5对)外角; 六边形有6个内角,12个(6对)外角.
问题 n边形有多少个内角?多少个外角?

答 n边形有n个内角,2n个(n对)外角.

?

问题2. (1)四边形从一个顶点可引出几条对 角线,共有几条对角线?
(2).五边形呢?

?

?

(3).n边形从一个顶点可引出几条对角线,共有 几条对角线?为什么?

请问:四边形从一个顶点出发,能引出几条对角线? 1
请问:五边形从一个顶点出发,能引出几条对角线? 2

请问:六边形从一个顶点出发,能引出几条对角线? 3
……

请问:N边形从一个顶点出发,能引出几条对角线? N-3

五边形ABCDE共有几条对角线呢?

五边形ABCDE共有5条对角线。

请大家思考:六边形ABCDEF共有几条对角线呢?

有没有什么 规律呢?

六边形ABCDEF共有9条对角线。

从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线,可 以引(n-3)条,那么n个顶点就有n(n-3)条,但其中 n(n-3) 每一条都重复计算一次,所以n边形一共有 2

条对角线.

?问题3.三角形,四边形,五边 ?形…...n边形的内角和是多少

呢?

多边形的边数

3

4 2

5 3

6 4

7 5

… …

n n-2

分成的三角形个数 1 多边形的内角和

1 ? 180? 2 ? 180? 3 ? 180? 4 ? 180? 5 ? 180? ? 180? ? 360? ? 540? ? 720? ? 900?

… (n ? 2) ? 180?

n边形内角和定理:

n边形的内角和是
(n ? 2) ? 180?

问:在n边形内任取一点P,连结点P与多边 形的每一

个顶点,可得几个三角形? 当n=6时,

讨论:(1)这几个三角形的内角和加起来恰好等于 这个六边形的内角和吗? (2)这几个三角形的内角和相加后与六边形 的内角和有什么关系? (3)你能否根据这样划分多边形的方法来说明 n边形的内角和等于 (n ? 2) ? 180? ? 当n=6时,多边形的内角和为: 6 ? 180? ? 360? ? 6 ?180? ? 2 ? 180? ? (6 ? 2) ? 180?

练习: 在n边形某边上任取一点P,连结点P与多边形的每一 个顶点,可得多少个三角形?你能否根据这样划分多 ? 边形的方法来说明n边形的内角和等于 (n ? 2) ? 180 ? (图中取n=5的情形)

讨论:(1)这几个三角形的内角和加起来恰好等于 这个五边形的内角和吗? (2)这几个三角形的内角和相加后与五边形 的内角和有什么关系? (3)你能否根据这样划分多边形的方法来说明 n边形的内角和等于 (n ? 2) ? 180? ?

问:以上三种求多边形内角和的方法有什么共同之处?

把多边形划分成若干个三角形,再利用三角形的 内角和为 180? 求出多边形的内角和

例1、求八边形的内角和的度数。
解: 八边形的内角和度数为:

(n ? 2) ? 180? ? (8 ? 2) ? 180?

? 1080?
练习: 已知一个多边形的内角和是 2340? , 则这个多边 15 形是 十五 边形 .
(n ? 2) ? 180? ? 2340?

n ? 15

从与三角形的每个内角相邻的两个外角中分别取一

个相加,得到的和称为三角形的外角和。

从与多边形的每个内角相邻的两个外角中分别取一
个相加,得到的和称为多边形的外角和。

问题4:多边形的外角和是多少呢?

4 5 6 7 … 多边形的边数 3 多边形的内角 3 ? 180? 4 ? 180? 5 ? 180? 6 ? 180? 7 ? 180? … ? 与外角的总和 ? 540 ? 720? ? 900? ? 1080? ? 1260?
? 180 多边形的内角和 ? 多边形的外角和 360

n
n ? 180?

360? 360?

540? 360?

720? 360?
?

900? 360?

… (n ? 2) ? 180? …
360?

任意多边形的外角和都为: 360
多边形的外角和与边数无关。

问题5.正n边形的内角的度数与外角的度数:

正n边形的每个内角的度数为:

( n ? 2) ? 180? n
正n边形的每个外角的度数为:

360 n

?

练习:
? 1440 (1)十边形的内角和是

,外角和是

360

?

;如果十边形的各个内角都相等,那

么它的一个内角是

144

?

.

(2)在一个多边形中,它的内角最多可以有几 个是锐角? 3个

? 1440 ? (10-2) ?10 180?

小结: 1. n边形的内角和定理是什么? ? ( n ? 2) ? 180 n边形的内角和为 2.推导多边形内角和定理时所用的方法是什么? 把多边形划分成若干个三角形,再利用三角形的 内角和为 180? 求出多边

形的内角和 3.多边形的外角和定理是什么? ? 任意多边形的外角和都为:360 4.多边形的内角与其相邻外角的和是多少? 180 n(n ? 3) 5.多边形的对角线共有 2
?

6.多边形的内角与外角在计算中的相互转化。

例题赏析
[例1]一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍,它是几边形?
解:设这个多边形是n边形,则它的内角和是

(n-2)· 180°,外角和等于360°, 所以:(n-2)· 180=3×360 解得:n=8

答:这个多边形是八边形.

例题赏析
[例2]一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍,它是几边形?
解:设这个多边形是n边形,则它的内角和是

(n-2)· 180°,外角和等于360°, 所以:(n-2)· 180=3×360 解得:n=8

答:这个多边形是八边形.

例3 一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°,求 这个正多边形的边数. 分析 正多边形的各个内角都相等,那么各个外角也都 相等,而多边形的外角和是360°. 解

设一个外角为x°,则内角为(x+36)° 因为多边形的内角与相邻的外角互补; 所以 x+x+36=180 解得 x=72 360÷72=5 答 这个多边形的五边形.

?

例5.已知过m边形的一个顶点有7条对角线,n边 形没有对角线,p边形有p条对角线,求 ( m ? p )
n

?

?

的值.

解:因为,过m边形的一个顶点有7条对角线,所以 m-3=7,故m=10 因为n没有对角线,所以n=3 因为p边形有p 条对角线所以
所以(m? p) ? (10?5) ? 125.
n 3

p( p ? 3) ?p 2

故p=5

思考:
1、求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F的值
A

B
C D

F
E

思考:
2、求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D + ∠E+ ∠F + ∠G+ ∠H的值
B C

A
H

D
E

G

F

思考:
3、求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F的值
A D C E

B

F

思考:
4、求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D + ∠E+ ∠F + ∠G的值
A E D G C B F


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