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初二数学下学案(2012.8修改)

发布时间:2014-02-25 11:08:29  

致 同 学 们

亲爱的伙伴:

年轮的旋转,带给大地一片新绿.把握青春的脉搏,继续怀着好奇去求知,去探索,以毅力去克服困难,在成功的体验中更加自信地走进新学期的新课本.

这册课本奉献给你的是数学的又一片“新绿”,明天的收获就在你的手中!

“一元一次不等式”将引导你研究数量之间的不等关系.不等式与方程一样,都能有效地刻画现实世界的数量关系,解决一些简单的实际问题.

在探索“分式”的性质及其运算的过程中,你将进一步感受“类比”的思想方法.

从小学数学中的 “反比例关系”到“反比例函数”,将使你对这类数量的变化关系认识得更加深刻,并学会用反比例函数解决一些实际问题 .

“图形的相似”将引导你经历从特殊到一般的过程,探索相似图形的性质,判定两个三角形相似的方法,以及它们的一些应用.

“图形与证明(一)”将帮助你学会用说理的方法证明我们在前面的学习中曾经探索得到的一些结论,从而使我们对这些结论更加确信无疑.

抛掷一枚均匀的硬币,出现正面朝上与反面朝上的可能性相同吗?学习了“认识概率”以后,你将会计算具有等可能性的一类事件发生的概率.

当你学完这册课本,在经历数学学习的艰辛、享受数学学习的愉悦的过程中,你将变得更加自信,更加聪明,乐于探索,善于思考.

这册课本将是你不断成长的又一见证!

1

7.1 生活中的不等式

学习目标

1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义,初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一.

2.会用不等式表示简单的不等关系.

学习重点和难点

重点:理解不等式的意义;会用不等式表示不等关系.

难点:在实际问题中用不等式表示不等关系.

学习过程

一、预习内容

1.举出一个实例,并用方程表示该例中的数量关系.

2.(1)一辆轿车在某公路上行驶速度是a km/h,已知该公路对轿车的限速(不超过)是100 km/h,那么a满足

的关系式为________________;

(2)一只纸箱质量为1kg.当放入一些苹果(每个苹果的质量为0.25kg)后,箱子和苹果的总质量不超过10kg. ①把下列表格补充完整.

②如果纸箱内装了m个苹果,则m满足的关系式为______________.

(3)边长为b m的正方形桌面的面积大于1 m2,那么b满足的关系式为________________;

(4)x(x≠0)的倒数不大于5,那么x满足的关系式为________________.

(5)尝试归纳在(1)—(4)中写出的关系式的共同特点.

3.举出一个具有不等关系的现实生活中的例子,并用符号表示其中的数量关系.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 用不等式表示下列数量之间的关系:

1)某种袋装牛奶中.每100克牛奶含xg蛋白质,yg脂肪,这种牛奶的营养成份含量如下表:

营养成份表:(每100g)

2

(2)一辆48座的客车载有游客x人,到一个站又来2个人,车内仍有空位.

(3)一辆匀速行驶的汽车在10∶20时距离甲地40km,要在11∶00之前驶过甲地,如果汽车速度为xkm/h,

那么x应满足什么条件?(只需列出式子).

(4)某城市某天的最低气温是-2℃,最高气温是6℃,该市这天某一时刻的气温是t℃.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.用不等式表示:

①a 是负数; ②x与5的和大于2;

③ x与a的差小于2; ④x 与y 的差是非负数.

2.理解下列具有“最”字的实例,写出不等式:

①火车提速后,时速v最高可达140km/h;

②某班学生身高h最高为1.74m;

③某班学生家到学校的路程s最远是4km.

3.选择适当的不等号填空:

(1)2__3; (28 __ -3;

(3)-a2__0; (4)若x≠y,则-x _____-y.

4.根据下列数量关系列出不等式:

(1)x的4倍小于3;

(2)y减去1不大于2;

(3)x的2倍与1的和大于x;

(4)a的一半不小于-7;

(5)小丽每天的睡眠时间在8小时以上,昨天她的睡眠时间是t h.

3

7.2 不等式的解集

学习目标

1.会判断一个数是否为不等式的解.

2.正确地将不等式的解集表示在数轴上.

3.经历探索不等式解集的概念、将不等式的解集表示在数轴上的过程,体会数形结合的思想. 学习重点和难点

重点:理解不等式解集的意义.

难点:对不等式解集含义的理解;通过数轴直观地表现出不等式的解集.

学习过程

一、预习内容

1.(1)x+2>5是不等式吗?什么叫做不等式?

(2)什么叫方程的解?

使方程左右两边相等的__________叫做方程的解.

2.(1)当x的值分别取-1、0、2、3、3.5、5、6时,不等式x-3>0和x-4<0能分别成立吗? 填写下表:

(3)不等式x-3>0和x-4<0的解各有多少个?

(4)用自己的语言说一说含有未知数的不等式的解与一元一次方程的解有什么不同?

一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.

(5)不等式x+2>5的解集,可以表示成x>3. x>3表示x取哪些数?

(6)不等式x-3>0和x-4<0的解集分别是什么?

求不等式解集的过程叫做解不等式.

(7)不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来.例如,不等式x-3>0的解集x>3可以用数轴上表示

3的点的右边部分来表示,如图7-1.

这里在数轴上表示3的点的位置画空心圆圈,表示不等式的解集

不包括3这个数.

4 图7-1

(2)你能尝试归纳不等式的解的概念吗?

(8)某个不等式的解集是x≤4, 在数轴上表示如下(图7-2):

这里在数轴上表示4的点的位置画实心圆点,表示不等

式的解集包括4这个数 . 图7-

2

3.如果某个不等式的解集为x≤-2,你能在数轴上表示吗?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 判断下列说法是否正确.

(1)x=-2是不等式x+1<2的解;

(2)不等式x+1<2的解集是x=-1;

(3)当x为任何正数时,都能使不等式x+3>2成立,所以不等式x+3>2的解集是x>0. 例2 在数轴上表示下列不等式的解集:

(1)x<3; (2)x≤4; (3)-1 ≤x<2.

例3 将数轴上x的范围用不等式表示:

(1) ; (2)

(3) ; (4) .

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.两个不等式的解集分别是x<1和x≥1,分别在数轴上将它们表示出来.

2.写出下列各图所表示的不等式的解集:

(1) ;

(2) .

3.求x+2≤5的正整数解.

5 ;

7.3 不等式的性质

学习目标

1.掌握不等式的两条基本性质;

2.熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形.

学习重点和难点

重点:掌握不等式的两条基本性质,尤其是不等式的基本性质2;

难点:正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形.

学习过程

一、预习内容

1.(1)解方程2x+1=0.

(2)在解一元一次方程时,我们主要是利用等式的基本性质对方程进行变形.

等式性质1:等式的两边同时____________________________________,结果仍然是等式;

等式性质2:等式的两边同时____________________________________,结果仍然是等式.

2.(1)如图7-3,电梯里两人身高分别为:a米、b米,且a>b,都升高6米高度后的不等关系:

a+6>b+6;

同理:a-3___ b-3.(填写“<”、“>”号)

图7-

3 图7-4

(2)如图7-4,一个倾斜的天平两边分别放有重物,其质量分别为a和b(显然有a>b),如果在两边盘内

再分别加上相等质量的砝码c,那么盘子会出现什么情况?你能得到有关不等式的什么结论?

(3)将不等式7>4两边都乘以同一个数,比较所得数的大小,用“>”,“<”或“=”填空: 7×3 ______4×3, 7×(-1)______4×(-1),

7×2 ______4×2 , 7×(-2)______4×(-2),

7×1______ 4×1, 7×(-3)______4×(-3),

?? ??

你能得到有关不等式的什么结论?

3.(1)思考:不等式的两边都乘0,结果又怎样?

(2)不等式的性质与等式的性质有什么相同点和不同点?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

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三、例题讲解

例1 设a<b,用“<”或“>”号填空:

(1)a-3 b-3; (2)a-b 0;

ab(3)-4a -4b; (4)- -. 55

例2 根据不等式的性质,把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式.

1(1)2x-4>3; (2)3x-3<x-2; (3)-x+1>-3. 2

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.判断下列语句是否正确:

(1)若m<0,则5m>4m; ( )

(2)若x为有理数,则4x2 >-3x2; ( )

(3)若y为有理数,则4+y2>0; ( )

(4)若3a<-2a,则a<0. ( )

2.根据不等式的性质,把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式.

11(1)-2x<-1; (2) 2x<-1; (3)-2x-4<4x+4; (4)x-2). 23

3.将不等式2x>4x的两边都除以x,得2>4.请问不等式变形错在哪里?

7

7.4 解一元一次不等式(1)

学习目标

1.理解一元一次不等式的概念,能识别一元一次不等式.

2.经历求一元一次不等式的解集的过程,探索一元一次不等式的解法.

3.学会较为简单的一元一次不等式的解法,并能正确地将不等式的解集表示在数轴上,熟知解题步骤. 学习重点和难点

重点:经历求一元一次不等式的解集的过程,探索一元一次不等式的解法.

难点:解一元一次不等式时,移项及化系数为1,不等式两边同除以负数时改变不等号的方向. 学习过程

一、预习内容

1.(1)解方程 70+3x=100.

(2)解一元一次方程有哪些步骤?

2.(1)观察下列不等式

2x-25≥15; x≤875; x<4; 5+3x>240.

这些不等式有哪些共同特点?你能给这类不等式命名吗?

(2)小丽在3月初栽种了一棵小树,小树高70cm,小树成活后每周长高3 cm,估计几周后这棵小树超过100 cm? ①如何用数学式子描述实际问题中的数量关系?

②可否试着类比解一元一次方程的方法解这个不等式?你能说出每一步的依据吗?

③把它的解集用数轴表示出来.

(3)尝试总结解这类不等式的主要步骤.

3.解不等式2x-25≥15.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

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三、例题讲解

例1 下列不等式是一元一次不等式吗?

(1)x+2y>10; (2)x2+x<1; (3)y-2>2y.

例2 解不等式14-2x>16,并把它的解集在数轴上表示出来.

思考:解一元一次不等式需要注意什么?

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:

(1)2+2a>6; (2)5-x<1;

1 (3)4x≤2x+3; (4)-x-1>2. 2

2.铅笔每枝0.5元,练习本每本a元.小丽买了5枝铅笔和2本练习本,总价不超过5元,求a的取值范围.

3.已知函数y=4x-3,当x __________时,y≤0;当x__________时,y≥5.

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7.4 解一元一次不等式(2)

学习目标

1.较熟练的解一元一次不等式;

2.在简单实际问题中建立一元一次不等式模型.

学习重点和难点

重点:一元一次不等式的解法以及将实际问题转化成一元一次不等式的数量关系;

难点:在简单实际问题中建立一元一次不等式模型.

学习过程

一、预习内容

1.(1)只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 ,系数 0,这样的不等式叫做一元一次不等式.

13-x17 (2)解方程:x+. 22

2.(1)小明有1元和5角的硬币共13枚.这些硬币的总币值大于8.5元.小明至少有多少枚1元的硬币?

①设小明有1元的硬币x枚 .根据题意可得不等式:

②解这个不等式:

13-x17 (2)在解不等式-x+时,小明是这样解的: 22

去分母,得-2x+13-x>17,

移项,合并同类项,得-3x>4,

4 系数化为1,得x>- 3

你觉得他解得对吗?说明理由.

(3)你觉得解一元一次不等式和解一元一次方程有何异同?

x+42x+13. ≥-. 23

4.你还有什么问题?

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二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.

(1)

例2 一块长方形的苗圃地,长比宽多4m,周长不超过36m.这块苗圃地的长最多是多少?

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.解下列不等式,并把它们的解集表示在数轴上.

x-2x-2x1xx (1>x; (2)3+ (3)4- 325232

2(x-3)5x-42.求-1的负整数解. 36

△1-x2x-12x-1x+1 (2)1-. 23343.若关于x的不等式x-a<0的正整数解只有1,借助数轴求a的取值范围.

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7.5 用一元一次不等式解决问题

学习目标

1.会用一元一次不等式描述现实生活中的数量之间的不等关系,并解决一些实际问题;

2.初步体会一元一次不等式的应用价值,发展分析问题和解决问题的能力.

学习重点和难点

重点:对实际问题中各数量间关系的理解和分析;

难点:抓住关键字眼,挖掘隐含的数量关系.

学习过程

一、预习内容

1.根据题意列不等式.

(1)小明今年x岁,他的年龄不小于12岁._____________________

(2)一个n边形的内角和超过外角和._________________________

(3)一个三角形三边为2、3、x. ____________________________

(4)王大爷早晨以xkm/时的速度到10km远的公园晨练,早晨六点出发,要在7点前赶到._______________

2.(1)一只纸箱质量为1kg,当放入一些苹果(每个苹果的质量为0.25kg)后,箱子和苹果的总质量不超过10kg.这

只纸箱内最多能装多少个苹果?

(2)列一元一次不等式解决实际问题的方法步骤与什么类似?

(3)小明是这样解决(1)的:

解: 设这只纸箱内最多能装x个苹果 .根据题意,得

0.25x+1≤10.

解这个不等式, 得

x≤36.

答: 这只纸箱内最多能装36个苹果 .

小红说:“小明的解法中,在设未知数这一步有问题.”说说你的想法.

(4)用一元一次不等式解决实际问题需要注意什么?

3.要使三个连续奇数之和不小于100,那么3个奇数中,最小的奇数应当是 .

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

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三、例题讲解

例1 一个工程队原定在8天内至少要挖土400m3,在前两天一共完成了100m3,由于整个工程调整工期,要求

提前两天完成挖土任务.问以后几天内,平均每天至少挖多少土?

例2 按图7-5的搭法,用4根火柴棒可以搭1个正方形,用7根火柴棒可以搭2个正方形,用10根火柴棒

可以搭3个正方形.现有50根火柴棒,照此搭法最多可搭多少个正方形?请用不等式验证.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.一次测验共出5道题,做对1道题得1分,已知26人的平均分超过4.8分,其中3人得4分,最低分3分,

则得5分的有 人.

2.某班学生外出春游时合影留念,1张彩色底片的费用为1元,冲印1张彩照需0.6元.如果每人预定1张彩

照,且每人所花费用不超过0.8元,那么参加合影的学生至少有多少人?

3.甲、乙两队进行足球对抗赛,规定每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.两队一共比赛了10

场,甲队保持不败,得分超过22分.甲队至少胜了多少场?

图7-5

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7.6 一元一次不等式组(1)

学习目标

1.理解一元一次不等式组和它的解集的概念;

2.掌握一元一次不等式组的解法,会用数轴确定一元一次不等式组的解集.

学习重点和难点

重点:由两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解法;

难点:确定两个不等式解集的公共部分.

学习过程

一、预习内容

?x+y=3,1.(1)解方程组? ?x-y=1.

(2)什么叫做二元一次方程组的解?

2.(1)一块长方形的土地的宽是8m,周长小于50m,该土地面积至少是120m2,求长方形的长的取值范围.

①表示这个问题的不等关系有哪些?

②如果设长方形的长是xm,可以得到哪几个不等式?

③类比二元一次方程组的概念,你觉得应该用什么符号把上面得到的几个不等式联结起来?

像这样,由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.

④类比二元一次方程组的解法,你认为如何求上面得到的一元一次不等式组的解集呢?

(2)尝试归纳解一元一次不等式组的方法.

?x<-1,3.解一元一次不等式组? ?x<5.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

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三、例题讲解

?3x-1>2x+1, ①例1 解不等式组: ? ?2x>8. ②

解:解不等式①,得 .

解不等式②, 得 .

在同一数轴上表示不等式①、②的解集, 如图,

例2 解不等式组:

?x-2<2,?2x+1<-1,(1)? (2)? ?2x-1≥1;?3-x≤1.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.解下列不等式组, 并把它们的解集在数轴上表示出来.

?x-1<0,?5x+9>-1,(1)? (2)? ?2x-5<1;?1-x<0;

2??5-x)+2<-2,?2x-8>5x+1,?3x-2<x+2,(3)? (4)? (5)?2 ?11-2x<21-4x;?5x+5≥2x-7;??-3x+5)-1<3.

所以所求不等式组的解集是:

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7.6 一元一次不等式组(2)

学习目标

1.构建一元一次不等式组模型解决实际问题;

2.经历探索用不等式组解决实际问题的过程,体会数学建模的思想.

学习重点和难点

重点:构建一元一次不等式组模型解决实际问题.

难点:在解决“分配”问题时不等关系的正确寻找.

学习过程

一、预习内容

1.(1)解一元一次不等式组的步骤是什么?

(2)快速解下列不等式组:

?x>1,?x<2,?x>-1,?x>2,? ? ? ? ?x>2;?x<1;?x<5;?x<1.

(3)尝试总结不利用数轴,直接判断不等式组中各个不等式的公共解集的方法.

2.(1)一个长方形足球场的宽是65m,如果它的周长大于330m,面积不大于7150 m2.求这个足球场的长的范

围,并判断这个足球场是否可以用于国际足球比赛.(国际比赛的足球场长度为100~110m,宽度为64~75m)

①实际问题的不等关系是什么?

②解决问题.

(2)尝试归纳用一元一次不等式组解决实际问题的步骤是什么?

3.阅读课上,老师将43本书分给各个小组,每组8本,还有剩余;每组9本,却又不够.问有几个小组?

4.你还有什么问题?

二、数学模型(或模型)

三、例题讲解

例1 把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干千克混合,要使总价不超

过400元,且混合糖果不少于15千克,所混合的乙种糖果最多是多少?最少是多少?

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例2 某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8

本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题:

(1)用含x的代数式表示m;

(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.小丽早晨8时骑自行车上学,要在8时20分至8时25分之间到达离家3400m的学校,求小丽骑自行车的

速度范围.

2.如图,某人要用篱笆围一块一面靠墙的长方形土地.如果篱笆长度最多是13m, 长方形土地的长是6m, 面

积至少是12m2.求长方形土地宽度的范围.

3.已知3x+y=2,当x取何值时,-1≤y≤5?

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7.7 一元一次不等式与一元一次方程、一次函数

学习目标

1.了解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系;

2.了解不等式与方程、函数在解决问题过程中的作用.

学习重点和难点

重点:一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.

难点:一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.

学习过程

一、预习内容

1.一根长20 cm的弹簧,一端固定,另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过30 cm的限度内,每挂1 kg质量的物体,弹簧伸长5 cm.如果所挂物体的质量是x kg,弹簧的长度是y cm.

写出y与x之间的函数关系式并画出函数图象.

2.(1)用两种不同的方法求第1题中弹簧所挂物体的最大质量.

(2)画出函数y=-3x+12的图象.

①如果x的值为1,那么y的值为多少?

②你能利用图象求不等式-3x+12>0的解集吗?

③如果x满足2≤x≤6,那么相应的y的值在什么范围内?你能用两种不同的方法解决问题吗?

(3)尝试总结一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系.

3.已知函数y=x-5的图象经过点(2,-3),那么方程x-5=-3是解是___________.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

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三、例题讲解

例1 某学校计划购买若干台电脑,现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一

定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一台按原价收费,其余每台优惠25%;乙商场的优惠条件是:每台优惠20%.

(1)分别写出两家商场的收费y(元)与所买电脑台数x(台)之间的关系式;

(2)到哪家商场购买电脑最合算?

例2 一次函数y=kx+b与坐标轴两个交点分别为A(2,0)和B(0,-3),求不等式kx+b+3≤0的解集.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.已知函数y=-2x+8.当xy>4;当y时,x≤-2.

2.若函数y1=-x+5,y2=3x-3,当x取何值时,y1<y2?

3.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定质量,那么需要购买行李票,行李

票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.根据图象回答下列问题:

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)求旅客最多可免费携带行李的质量;

(3)某旅客所买的行李票的费用为4~15元,求他所带行李的质量的范围.

(第3题)

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第七章 小结与思考

学习目标

1.回顾和整理本章所学知识,用自己喜欢的方式进行总结与归纳,构建本章知识结构框架,使所学知识系统化.

2.进一步巩固和了解不等式的基本性质及不等式的意义,掌握一元一次不等式(组)的基本解法和步骤,并能在数轴上表示它们的解集,感受类比和数形结合的数学思想;

3.回顾用不等式(组)解决简单实际问题的过程,初步掌握数学建模的过程和意识.

学习重点和难点

重点:掌握一元一次不等式(组)的基本解法和步骤,会用一元一次不等式(组)解决简单实际问题. 难点:一元一次不等式(组)解决实际问题和函数、方程与不等式的综合运用.

学习过程

一、预习内容

1.你能用一张图把本章的知识结构归纳出来吗?展示你所画的结构图.

2.解决下列问题:

(1)等式的基本性质有哪几条?不等式的基本性质有哪几条?二者有何类似的地方,有何不同之处?

(2)举例说明解一元一次方程与解一元一次不等式有什么相同与不同的地方?

(3)判断下列不等式解的过程是否正确,若不正确,指出错误原因并加以改正:

①由-3x≤6得x≤-2;

2②由2x>-5得x 5

③由-x>0得x<-1.

(4)不等式3x≤7的正整数解是 .

x-2x(5)解不等式 ≥4 ,并把解集在数轴上表示出来. 32

20

?3x-6>4-x,(6)解不等式组?并写出这个不等式组的整数解. ?x-1≥4x-10,

二、例题讲解

例1 已知某一山区海拔每上升100米,气温下降0.6°C,现测出山脚下的平均气温是23°C.

(1)某处山坡的平均气温是17°C,求这处山坡的高度;

(2)某种杜鹃花适宜生长在平均气温为17~20°C的山区,求适宜种植这种杜鹃花的山坡高度的范围.

例2 某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划用这两种原料生产A,B两种产品共50件,已知生产

一件A种产品,需要甲种原料9kg,乙种原料3kg,可获利润700元;生产一件B种产品,需要甲种原料4kg,乙种原料10kg,可获利润1200元.

(1)按要求安排A,B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来.

(2)设生产A,B两种产品获总利润为W(元),采用哪个方案获总利润最大?最大利润是多少?

21

例3 当a取什么值时,方程x-(2x-a)=2的解是正数?

例4 已知2-a和3-2a的值的符号相反,求a的取值范围.

?x>1,例5 已知不等式组?如果这个不等式组无解,求a的取值范围. ?x<a,

三、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

四、反馈练习

?2x+1≤3,1.不等式组?的解集在数轴上表示正确的是 ( ) ?x>-3

A.

B.

C.

D.

2.不等式2x<4x-6的解集为

3.解不等式

2x-15x+1 - ≤1,并把它的解集在数轴上表示出来. 32

?6-2x>0,4.解不等式组?3并写出这个不等式组的整数解. ?2x>x+1,

22

5.某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分:一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元),另一部

分费用与参加比赛的人数x(人)成正比.当x=20时,y=1600;当x=30时,y=2000.

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)如果承办此次比赛的组委会共筹集到经费6250元,那么这次比赛最多可邀请多少名运动员参赛?

6.一个三角形的3边长分别是xcm、(x+1)cm、(x+2)cm,它的周长不超过39cm.求x的取值范围.

7.某班学生24人到某农场学农,被安排在农场招待所住宿,他们想全部住在一楼.如果每间住5人,那么一

楼住不满;如果每间住4人,那么一楼不够住.问该招待所一楼共有几间房间?

8.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A,B两种不同规格

的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元.

(1)设运送这批货的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的函数关系式;

(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和

乙种货物35吨,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?

(3)在上述方案中,哪个方案运费最省?最少运费多少元?

23

8.1 分式

学习目标

1.了解分式的概念,会判断一个代数式是否是分式.

2.能用分式表示简单问题中数量之间的关系,能解释简单分式的实际背景或几何意义.

3.能分析出一个简单分式有、无意义的条件.

4.会根据已知条件求分式的值.

学习重点和难点

重点:分式的概念,掌握分式有意义的条件.

难点:掌握分式有无意义的条件.

学习过程

一、预习内容

1.(1)你还记得什么是整数和整式吗?你能写出几个整数和整式吗?

(2)你知道什么是分数吗?

两个数相除可以把它们的商表示成分数的形式.例如:1÷2、-5÷4可以分别表示为分数 、 .其中,分数的分子和分母都是整数.

2.(1)用含有分数线“——”的代数式分别表示下列情景中的数量关系:

①一块长方形玻璃板的面积为2 m2,如果宽为a m,那么长是m.

②小丽用n元人民币买了m袋瓜子,那么每袋瓜子的价格是 元.

③两块面积分别为a公顷、b公顷的棉田,产棉花分别为m kg、n kg.这两块棉田平均每公顷产棉花 g.

(2)第2题中3个式子的共同点是: ;

它们与分数的相同之处是: ;

不同之处是: .

(3)给上述类型的代数式命名.

3.请写出两个和2(1)中的3个式子具有共同特征的式子:

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 下列各式中哪些是分式?

y-8xb1b2①; ; ③ ④a+b; ⑤ ⑥. 22a422πx+x-1

a例2 试解释分式所表示的实际意义. b-1

24

用具体的数值代替分式中的字母, 按照分式中的运算关系计算, 所得的结果就是分式的值.

a-32例3 求分式的值:(1)a=3;(2)a=-. 5a+2

思考:何时分式的值为0?

x-2例4 当x取什么值时,分式 (1)无意义;(2)有意义;(3)值为零? 2x-3

思考:何时分式有意义?何时分式无意义?

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

2x+2xyy3x1.下列各式:,3x+, ). x2x3π+2

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

AA2.(1)若分式B ;(2)若分式B ; BB

A(3)若分式的值为零,则A ,且B . B

3.当x取什么值时,下列分式有意义?

(1)

a-34.(1)当a取什么值时,分式 a+1

x2-4(2)当x取何值时,分式的值为零? x-2

2x-12x+13x-1; (3) ; (2)x6x-7x-4

25

8.2 分式的基本性质(1)

学习目标

1.通过分数类比学习,掌握分式的基本性质.

2.会运用分式的基本性质进行相关的分式变形.

3.在探索分式基本性质的过程中,渗透类比思想,培养推理能力.

学习重点和难点

重点:分式的基本性质的理解和掌握.

难点:分式基本性质的简单运用.

学习过程

一、预习内容

1.你记得分数的基本性质吗?

1( )42(1)填空:==; 246( )

(2)分数的基本性质是: .

2.与分数对比,分式有类似的性质吗?

有一列匀速行驶的火车,如果t h行驶s km, 2t h行驶2s km、3t h行驶3s km、?、nt h行驶ns km,

s2s3sns那么这列火车的速度可以分别表示为、、km/h、?、. t2t3tnt

(1)这些分式的值相等吗?

(2)分式也有类似分数的性质吗?

(3)猜想分式的基本性质,并用数学式子表示结论.

3.填空:

(1)2b( )b( ) ; (2 2aaaab

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 填空并说明理由:

12a+b22( )aab(1) (2)= b( )a+b 2a+2b

例2 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.

12x+y230.3a+0.5b(1); (2). 120.2a-bx-y23

26

例3 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号:

(1)

思考:分式的分子、分母的符号和分式本身的符号间有何关系?

例4 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母的最高次项的系数是正数:

-y2+yx(1); (2). 1-xy+y

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.填空:

(a-b)2( )a2-b2a-ba13a( )(1); (2)= (3)= (4) 2ab( )4b 4bca-b a+ba+b( )

2.选择:

(1)把分式2xx和y都扩大为原来的5倍,那么这个分式的值( ). 2x-3y-5b-x2m (2) (3) 3y-6a-n

15A.扩大为原来的5倍 B.不变 C.缩小到原来的 D.扩大为原来的倍 52

(2)使等式77x=自左到右变形成立的条件是( ). x+2x+2x

A.x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠-2

3.判断正误并改正:

①-a+ba+bxy-1y-1==1 ( ); ② ( ); a+b-(a+b)xz-1z-1

-3a3am2m2÷mm③ ( ); ④== ( ). na-b-a-bn÷nn

4.不改变分式的值,使下列分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “-” 号:

-2x2x-1-x2+2x-1-x-1① ③; ④. -3y-x+1x-2-x-3x+1

27

8.2 分式的基本性质(2)

学习目标

1.理解并掌握分式约分的概念及约分的方法.

2.理解最简分式的定义.

3.能熟练的进行约分.

学习重点和难点

重点:约分的方法和步骤.

难点:将一个分式化成最简分式.

学习过程

一、预习内容

1.下列等式的右边是怎样从左边得到的?

a-bab-b2x4x2(1) (2)=(b≠0). xyyaab

2.(1)你记得如何进行分数的约分吗?

26①请把下列分数约分:=_____,_____. 48

②分数的约分就是利用分数的基本性质,把分子和分母同时除以它们的 .

xy2

(2)类似地,分式 6xy

(3)尝试总结分式约分的步骤.

3.填空:(并说明理由)

(1)

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 约分:

(a+b)336ab3c(1); (2). 6abc(a+b)(a-b)

3a+3ba+b2b( )accx1 ; (2) ; (3 (4 2a a9ca( )6xy( )( )

28

例2 约分:

ma+mb-mca2-4ab+4b2

(1) ; (2) a+b-ca-4b

思考:约分要注意些什么?约分的一般步骤是怎样的?

例3 约分:

-36xy2z38-ma2-4a+4 (1); (2); (3). 6yzm-16a-4

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

12b2c5(x+y)2a2+b24a2-b2a-b1.下列分式、、中,最简分式的个数是( ). 4ay+x3(a+b)2a-bb-a

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.判断正误,并说明原因:

(1)am+2a+ma0;( ) (2);( ) 2+amb+mb

x2+y22a+3b1+3b (3)=x+y;( ) (4)1+b;( ) 6a3x+y

(a-b)2(-a-b)2

(5)1;( ) (6)= a+b.( ) (b-a)a+b

3.约分:

2a(a-1)18(b-a)23a2b(1); (2); (3) 6ab8ab(1-a)24(a-b)

a2-2a+1a4-1(x+y)2-10(x+y)+25(4) (5); (6) 1-a a+2a+1(x+y)-25

29

8.2 分式的基本性质(3)

学习目标

1.了解分式通分的意义,能熟练地进行分式的通分,理解最简公分母的意义.

2.用分数的基本性质对分式的基本性质进行类比,得出分式通分的基本方法.

3.经历探索分式通分的过程,体会数学中的类比的数学思想方法及其运用.

学习重点和难点

重点:分式通分的方法和步骤.

难点:确定各分式的最简公分母.

学习过程

一、预习内容

1.你记得如何进行分数的通分吗?

12①请把下列分数通分: 和 .. 23

②写出11与最小公分母: . 90150

11的公分母. 2xy6xy2.(1)尝试找出分式

(2)小明说:“我觉得分式

公分母更简单?

11的公分母是12x3y3”,把你确定的公分母与他的相比,你觉得谁确定的与2xy6xy(3)你觉得应当怎样找到若干个分式比较简单的公分母?说一说你的步骤.

(4)①分式

②约分后得到的分式

③如果把“异分母分式化为同分母分式”这样的变形叫做分式的通分,你能说明应当怎样进行分式的通分吗?

3.尝试将分式

二、数学概念(或模型)

12 x-3xx-92x3y4xy、有什么共同点?试将它们分别化为最简分式. 6xy6xy6xy112 、3xy2xy3xy

30

三、例题讲解

例1 通分:

bab2a3b(1) ,- ; (2), 3a2ca-bb-a

例2 通分:

11xy(1) , ; (2, m-92m+6xy-yxy+x

例3 通分:

1111(1) , ; (2) ; ababx-yx+xy

(3)

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.填空:

(1)分式

(2)分式

(3)分式

2.通分:

2121(1) ; (2) aab3abc

(3)

(5)2352 , ; (4) a-b2a-2b2(x-1)3(1-x)1123 , ; (6),m+nmn-mn4-9m9m-12m+4121,,的最简公分母是 abbcacx+2-2xxy ; (4 ,(x-4)(x-3)(4-x)(3-x)(x+y)(x-y)(y +x)( y-x)145 ; ,2xy3xz4xzx+1x-1x,的最简公分母是 . x2x+6x-9 31

8.3 分式的加减运算

学习目标

1.知道分式加、减的一般步骤,能熟练进行分式的加减运算.

2.探索分式加减运算的计算法则,进一步渗透类比思想、化归思想.

学习重点和难点

重点:异分母分式的加减运算.

难点:正确进行分式的通分.

学习过程

一、 预习内容

1.通分:

(1)

(2)11 . ,3ab2bc11. . x-2x4-x2.(1)你记得如何进行分数的加减法吗?

计算:1513+= . 1212210

同分母的分数相加减, 不变,把 相加减;异分母的分数相加减,先 ,再加减.分数加减运算的结果要注意些什么? .

(2)类似地,你会进行分式的加减法吗?

bcbc①当分式的分母相同时,尝试计算:_______________;- . aaaa

bc11②当分式的分母不同时,尝试计算: ;- . aba+ba-b

(3)尝试总结分式加减运算的法则.

3.根据你总结的法则,尝试计算

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 计算:

a-22a-313(1); (2)- aaa+1a+1

bab. a+ba-b 32

例2 计算:

a+1a-125(1) ; (2)- xxa-1a+1

21例3 计算:- x-42x-4

例4 计算:

(1)

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.计算:

b-11b2ca2b2

(1)- ; (2; (3)-; 4aaa-ba-b(a-b)(b-a)

x-12b214(4)a-b+ ; (5++. a+b2-xx-42+x

2.学完分式运算后,老师出了一道题“化简:x+32-x+.” x+2x-414a2 (2)-a-1. 2-aa-4a-1

(x+3)(x-2)x-2x2+x-6-x-2x2-8小明的做法是:原式== x-4x-4x-4x-4

小亮的做法是:原式=(x+3)(x-2)+(2-x)= x2+x-6+2-x=x2-4; 小芳的做法是:原式=x+3x-2x+3x+3-11=-1. x+2(x+2)(x-2)x+2x+2x+2其中正确的是( ).

A.小明; B.小亮; C.小芳;

D.没有正确的.

33

8.4 分式的乘除运算(1)

学习目标

1.理解并掌握分式的乘除运算法则,运用法则进行运算,能解决一些与分式有关的实际问题.

2.经历探索分式的乘除运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性,渗透类比转化的思想. 学习重点和难点

重点:掌握分式的乘除运算.

难点:分子、分母为多项式的分式乘除法运算.

学习过程

一、预习内容

1.你记得如何进行分数的乘除法吗?

213115(1)计算: ;× ;÷= . 53531212

(2)分数乘以分数, 与 相乘作为分子, 与 相乘作为分母;

除以一个分数等于乘以 .

2.你会进行分式的乘除法吗?

bcbc(1)当分母是单项式时,尝试计算:·=_______;÷________. aaaa

(2)当分母是多项式时,尝试计算:a+ba-b11·__________. __________;a-b (a+b)a+ba-b(3)你能总结怎样进行分式的乘、除运算的一般步骤吗?

3.计算:

4ac9b24ac9b2

(1); (2)÷ 3b2ac3b2ac

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

a2-412aba+b2例1 计算:(1) ; (2)(). 8ab3a-64c

a2-6a+912-4ay21例2 计算:(1)÷; (2)÷. 6x3x1+4a+4a2a+1

34

1a2-a+42a-116-a例3 计算:(1)(a-4); (2)÷. a-3a-3aa-8a+162

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.填空:

2x-y24y(1)÷= ; (2)= ; xyxyxy-2x

a2-4a+123(3)(· . )= ; (4)-3xa+2a+1a+2

2.选择:

(1)下列各式计算正确的是( ).

a2-2ab+b2x2+2xy+y21A.a-b B.= b-a(x+y)x+y

x32x511C.()= D.yy-x+yx-y

(2)下列各式的计算过程及结果都正确的是( ).

y1y34x14x1A.x=·3x=y B.8xy÷= 5x35x5y8xyy2yC.x+yx+yx+yx2bxxy1y D.÷=·(x-y)= 2ay2a2b2abxx-xyx-yx(x-y)

x4-y4y-x(3)当x=2005,y=1949时,代数式的值为( ). ·x-2xy+yx+yA.49 B.-49 C.3954 D.-3954

a2-4b2a2a2ab3.计算: (1)(-) ÷(-); (2) ; bb4aba+2b

2x-4x-2x-yx2y2-x4

(3); (4. x+3xx+6x+9x+xy xy-x

35

8.4 分式的乘除运算(2)

学习目标

1.会进行分式混合运算.

2.明确分式混合运算的顺序.

学习重点和难点

重点:正确进行分式混合运算.

难点:约分过程中要掌握好符号的变化.

学习过程

一、预习内容

1.你记得如何进行分数的加、减、乘、除混合运算吗?

111122122(1)计算:= ;×- ;(-=. 233233233

(2)分数的混合运算,先 ,后 ,如果有括号,先进行 .

2.你会进行分式的加、减、乘、除混合运算吗?

1(1)尝试计算:a÷b·. b

a+ba-b(2)尝试计算:1 a-b (a+b)

(3)你能总结怎样进行分式的加、减、乘、除混合运算吗?

-3ax-3ab26a53.计算:(1)÷(x+2-). ÷(-); (2)ba-abx-2x-2

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

a2+ab-ac(a-b)2-c2a2-(b-c)2

例1 ·a=1,b=-2,c=-3. a-ab2ab+a+ba-b

36

a-1a2-1例2 计算:1-. aa+2a

例3 有一道题“先化简,再求值:(x-24x1+)÷其中x=-3 ”,小玲做题时把“x=-”错抄成x+2x-4x-4

“x=3 ”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事?

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

x11.化简x÷,其结果为__________. yx

1-a2

2.化简-,其结果为__________. a-1

3.计算:

(1)(1+

x+2x-1x-4x-3x2+2x+11(3)(-÷; (4)- . xx-2xx-4x+4x-1x-1x-6x+9

4.先化简代数式(

a+11a ÷a的值代入求值. a-1a-2a+1a-11112-1); (2)÷(1-); 2xa-1a 37

8.5 分式方程(1)

学习目标

1.知道分式方程的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程.

2.经历“实际问题-建立分式方程模型”的过程,能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用,发展分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想.

学习重点和难点

重点:会解可化为一元一次方程的分式方程.

难点:将实际问题中的等量关系用分式方程表示.

学习过程

一、预习内容

1.写出一个一元一次方程,说明什么样的方程是一元一次方程.

2.(1)甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加工1件,已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服

装所用时间相同.甲每天加工多少服装?

如果设甲每天加工x件服装,那么乙每天加工 件服装,根据题意,可以列出方程: .

(2)一个两位数的个位数字是4,如果把个位数字与十位数字对调,那么所得的两位数与原两位数的比值是

7.原两位数的十位数字是几? 4

如果设原两位数的十位数字是x,那么原两位数可表示为 ,新的两位数可表示为 ,根据题意,可以列出方程: .

(3)某校学生到距离学校15km的山坡上植树,一部分学生骑自行车出发40min后,另一部分学生乘汽车出

发,结果全体学生同时到达.已知汽车的速度是自行车的速度的3倍,求自行车速度.

如果设自行车的速度为xkm/h,那么汽车的速度为 km/h,根据题意,可列出方程: .

(4)上面所得到的三个方程有什么共同特点?与我们在七年级学过的一元一次方程或二元一次方程有什么区

别?

(5)请写出两个和上述3个方程具有共同特征的方程.

(6)你记得如何解一元一次方程吗?

①解方程:x+1x=. . 2420

②解一元一次方程的主要步骤是: .

(7)尝试解方程:

3.分式方程1-x1-=1的两边同乘以(x-2),约去分母得( ). x-22-x2420 x+1x

A. 1+(1-x)=x-2 B. 1-(1-x)=x-2

C. 1-(1-x)=1 D. 1+(1-x)=1

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

38

三、例题讲解

例1 下列方程中,哪些是分式方程,哪些不是分式方程?为什么?

例2 解方程:

1-x321(1)=0; (2)-3= xx-2x-22-x

△y-25xx-21-1; ②; ③=3; ④x-2. 34xy+1y+2x-1x-13例3 解方程:-1-. x+2x-42-x

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.解方程:

3x-5x+157113(1)= (22+; (3)+= . xx-2x-22-x2x-422-x

△2.从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600 km的普通公路,另一条是全长480 km的高速公路.某客车在

高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.

39

8.5 分式方程(2)

学习目标

1.经历探索分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程.

2.了解分式方程产生增根的原因,会检验根的合理性.

3.经历“求解-解释解的合理性”的过程,发展分析问题、解决问题的能力,培养应用意识. 学习重点和难点

重点:会判断所求得的根是否是分式方程的增根.

难点:分式方程产生增根的原因.

学习过程

一、预习内容

1.解方程:(1)

2.(1)上题中方程(1)与方程(2)的求解步骤有差异吗?

(2)这两个方程都有解吗?在这里,x=2是方程(2)的根吗?为什么?

如果由变形后的方程求得的根不适合原方程, 那么这种根叫做原方程的增根.

(3)分式方程产生增根的原因是什么?你认为在解分式方程的过程中,那一步变形可能引起增根?

(4)因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须 .

(5)想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤?

3.若分式方程x-41+7= . x-33-x5x-44x+1031=0 ; (2)=-1. x+1x-1x-23x-6

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 解下列方程:

(1)

x-2x+230201653=; (2)-=; (3)=. xx+1x+2x-2x-4x(x+1)x(x-1)

40

例2 解下列方程:

(1)

m-4x例3 若方程-=0有增根,则增根只能是x=_________,求出此时m的值. x-1x-1

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.解下列方程:

(1)

2.若方程

3.轮船顺流航行120km所用的时间,是逆流航行50km所用时间的2倍.如果水流速度为2km/h,求轮船在静

水中的速度.

xk2=k的值. x-3x-31-x751= (2)3= x-2xx-22-xx-8x511-; (2)-=8. 2x-55-2xx-77-x

41

8.5 分式方程(3)

学习目标

1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,列出分式方程解决简单的实际问题,并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.

2.通过经历“实际问题-建立方程-求解并解释”的过程,体验解决问题的基本策略,发展应用意识和解决问题的技能.

学习重点和难点

重点:用分式方程方程解决实际问题.

难点:正确分析实际问题中的等量关系.

学习过程

一、预习内容

1.如何列一元一次方程解决实际问题?

(1)解决如下问题:

某单位将沿街的一部分房屋出租,第一年每间房屋的租金是8000元,第二年为8500元.已知所有房屋

的租金第二年比第一年多0.6万元,分别求这两年所有出租房屋的租金.

(2)列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么?

2.如何列分式方程解决实际问题?

(1)尝试解决如下问题:

某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为

9.6万元,第二年为10.2万元.分别求这两年每间房屋的租金.

3.甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同.已知两人每天共做140个零件,若设甲每天做x个零件,则可列方程 ( ).

A.360480360480360480360480= B= C.+=140 D.-140 xxxxxx140-x140-x(2)与第1题中的(1)对比,有什么区别与联系?你能尝试说出列分式方程解决实际问题的主要步骤吗?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 为迎接市中学生田径运动会,计划由某校八年级(1)班的3个小组制作240面彩旗,后因一个小组另有

任务,改由另外两个小组完成制作彩旗的任务.这样,这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面彩旗.如果这3个小组的人数相等,那么每个小组有多少名学生?

42

例2 甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元.已知乙公司比甲公司人均多捐20元,且甲公司的

人数比乙公司的人数多20%.问甲、乙两公司各有多少人?(你有不同的方法吗?)

例3 小明买软面笔记本共用去12元,小丽买硬面笔记本共用去21元.已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵

1.2元,小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗?

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种960棵树.由于青年志愿者的支援,每日比原计划

1多种,结果提前4天完成任务,原计划每天种多少棵树? 3

12.某市从今年1月1日起调整居民的用水价格,每立方米水费上涨.小丽家去年12月份的水费是15元,而3

今年7月份的水费则是30元,已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格.

43

第八章 小结与思考

学习目标

1.回顾和整理本章所学知识,用自己喜欢的方式进行总结的归纳,构建本章知识结构框架,使所学知识系统化.

2.进一步巩固和了解分式及分式方程的概念、分式的基本性质,掌握分式的加、减、乘、除运算的法则,掌握分式方程的解法;

3.回顾用分式方程解决简单实际问题的过程,初步掌握数学建模的过程和意识.

学习重点和难点

重点:巩固本章知识点,理清知识结构及相互关联.

难点:分式方程解决实际问题是本章的难点.

学习过程

一、预习内容

1.你能用一张图把本章的知识结构归纳出来吗?展示你所画的结构图.

2.解决下列问题:

(1)举例说明分式、分式方程的概念,说一说它们的联系和区别.

单项式? 整式 ??(2)整式和分式统称为有理式,即有理式??多项式 . ?分式

(3)解分式方程时,为什么必须检验?如何检验?

(4)x取什么数时,下列分式有意义?x取什么数时,下列分式的值为0?

① x+2x-2; ②. 2x+1x+1

(5)计算:

a2-44a2b+8aba26a③ ④÷ 2aba+4a+4a+3a-9

44 a-cc-b2mm; ② -; a-b b-am-4m-2

(6)计算:

x2-1a-111①(1)·; ②(a). xaax-1

(7)某工程队要修路a m,原计划平均每天修b m,因天气原因,实际每天平均少修c m(c<b).实际完成工

程将比原计划推迟多少天?

(8)解下列方程:

(9)甲做160个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等,已知每小时甲、乙两人共做35个零件.甲、

乙两人每小时各做多少个零件?

二、例题讲解

3-a51例1 (a+2-,其中a=-. 22a-4a-2

1-x23x23= ; ②=1- ③2= x+2x-22x-11-2x4-xx-4

45

例2 某中学组织学生到离学校15km的东山游玩,先遣队与大队同时出发,先遣队的速度是大队速度的1.2 倍,

结果先遣队比大队早到0.5h.先遣队和大队的速度各是多少?

例3 小张从甲地到乙地的速度是a,从乙地返回甲地时,速度是b(a≠b),小李从甲地到乙地,又从乙地到

甲地,速度一直是

例4 编一个分式方程,使得它有一个增根为1.

三、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

四、反馈练习

11111x1.下列各式x+y, , , , 中,分式的个数有( ) 322xy5+axA.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是( )

A. 1111B. C. D.xx-2x+1x+2a+b,谁用的时间短? 2

46

3.如果把分式xy中的x和y都扩大2倍,那么分式的值( ) x+y

1A.扩大为原来的4倍 B.扩大为原来的2倍 C.不变 D.缩小为原来的倍 2

4.某厂加工720件衣服,若每天做48件,正好按时完成,若要求提前5天交货,设每天应多做x件,则x应

满足的方程为 ( )

A.720720720720720720720720=5 B. +5=C.-5 D-5 4848x48x+48x+4848x+48

5.计算:

2x25y10y312(1)·; (2) -; 3y6x21xa-2a-4

2x-6x-3x2

(3)÷; (4)-x-1 . x-2x-4x+4x-1

x3-x21-x2

6.先化简- x-xx+1

7.解方程:

(1)

x-12x2x1-1; (2) +=4. 2x-43x-62x-1 1-2x

47

8.某市为治理污水,需要铺设一段全长3000米的污水输送管道,为了尽量减少施工对城市交通造成的影响,实

际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成了任务,实际每天铺设多长管道?

△9.甲、乙两人到同一家粮油店买油,两次油的价格有变化,两人购买的方式也不同,甲每次买5千克油,乙

每次只买5元的油,设前后两次的油价分别为a元/千克与b元/千克(a≠b).请问甲、乙两人所购油的平均单价是多少?哪一个较低?写出你的计算过程.

48

9.1 反比例函数

学习目标

1.理解反比例函数的概念,能判断两个变量之间的关系是否是函数关系,进而识别反比例函数.能根据已知条件确定反比例函数的表达式.

2.经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程,体会反比例函数来源于实际问题.

3.经历反比例函数的形成过程,体会函数是描述变量间对应关系的重要数学模型.通过学习反比例函数,培养合作交流和探索的能力.

学习重点和难点

重点:理解反比例函数的意义.确定反比例函数的关系式.

难点:反比例函数关系式的确定和根据已知条件来确定反比例函数的关系式.

学习过程

一、预习内容

1.什么是一次函数,正比例函数?他们的一般形式是怎么样的?

2.(1)在速度v,时间t与路程s之间满足s=vt:

①如果速度v一定(即v是常量)时,路程s随时间t的增大而增大,路程s与时间t就成正比例关系.且对于时间t的每一个值,路程s都有唯一的一个值与它对应,它又是函数关系.因此,如果速度v一定时,路程s是时间t的正比例函数.

②如果时间t一定时,那么路程s与速度v又是什么关系呢?

③如果路程s一定时,那么速度v和时间t又是什么关系呢?是函数关系吗?

(2)汽车从南京出发开往上海(全程约300km), 全程所用时间t(h)随速度v(km/h)的变化而变化 .

①你能用含有v的代数式表示t吗?

②利用①的关系式完成下表:

随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化?

③时间t是速度v的函数吗? 为什么?

(3)用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系:

①一个面积为6400m2的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化,则a与b的关系式为____________; ②某银行为资助某社会福利厂,提供了20万元的无息贷款,该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化,则y与x的关系式为_____________;

③实数m与n的积为-200,m 随n的变化而变化,则m与n的关系式为_____________;

④一名工人加工80个零件的时间y(h)随该工人每小时能加工零件个数x(个/小时)的变化而变化, 则y与x的关系式为_____________.

(4)上一题中得到的四个函数关系式,有什么共同的特征?

49

(5)你能仿照正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的形式,表示上述函数的一般形式吗?

3.你还能举出类似的实例吗?(至少举出2个例子)

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 下列关系中的y是x的反比例函数吗?如果是,比例系数k是多少?

41x2-(1)y= ;(2)y=- ;(3)y=1-x;(4)xy=1;(5)y=;(6)y=3x1;(7)y=. x2x2x

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.下列关系中的y是x的反比例函数吗?如果是,比例系数k是多少?

122x(1)y=-; (2)xy+2=0; (3)y (4)xy=0; (5)y=-. x3x3

2.列出下列函数关系式,并指出它们是分别什么函数.

(1)火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,则火车与合肥的距离S(千米)

与行驶的时间t(时)之间的函数关系式 ,是_________函数;

(2)某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤x吨,共烧了y天,则y与x之间的函数关系式为,

是_________函数.

3.已知函数y=xm

4.若y=(k+1)xk

-2-7是正比例函数,则m=_______;若它是反比例函数,则m=_________. 是反比例函数,求此反比例函数的关系式.

50

9.2 反比例函数的图象性质(1)

学习目标

1.进一步熟悉作函数图象的步骤,会作反比例函数的图象.

2.经历画反比例函数图象的过程,渗透数形结合的思想,培养勇于探索的科学精神. 学习重点和难点

重点:能做出反比例函数的图象.

难点:理解画反比例函数图象与画一次函数图象的区别.

学习过程

一、预习内容

1.(1)举例说明反比例函数的概念.确定反比例函数需要什么条件?

(2)画函数图象的一般步骤:(1)_______(2) _________(3)___________;

2.(1)回顾研究一次函数性质的过程,你认为要研究反比例函数的性质,我们需要如何进行?

6 (2)直接从反比例函数y=的关系式中,你能得到它具有哪些性质?说说你的想法. x

6(3)在画反比例函数y= 的图象之前,你能知道它的图象在哪些象限吗?说说你的想法. x

6(4)在坐标系中画出反比例函数y=的图象. x

①列表:(你认为需要找到多少对对应值?)

②描点:

③连线.

(5)与其他同学画的图象相比,你画的图象有何不一致的地方,能说出谁是正确的吗?

(6)你发现所画图象有何特点?

3.你能尝试总结该函数有何性质?与2.(2)相比,你开始时的猜想是正确的吗?

4.你还有什么问题?

51

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

6例1 在坐标系中画出反比例函数y=-的图象.它的图象有哪些特征? x

66交流: 反比例函数y= 与y=-的图象有什么共同特征?有什么不同的特征? xx

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.在平面直角坐标系中,分别画出下列函数的图象:

11 (1)y=; (2)y=-. xx

52

9.2 反比例函数的图象与性质(2)

学习目标

1.巩固反比例函数的图象与性质.运用其与对应的函数关系或之间的内在联系及其几何意义解决有关问题.

2.根据所给反比例函数与一次函数的图象解决一些简单的综合问题.

学习重点和难点

重点:理解和掌握反比例函数的性质.

难点:掌握确定反比例函数关系式的方法.

学习过程

一、预习内容

1.(1)反比例函数的图象是_____________.

(2)在下列函数中任选两个函数,分别画出它们的图象:

4433①y= ;②y=- ;③y= ;④y=-. xxxx

2.(1)观察你所画的图象,完成下列表格:

k(2)结合你昨天画的图象,结合下面的三个问题,尝试总结反比例函数y= (k≠0)的性质. x

①每个函数的图象分别在哪几个象限?

②在每一个象限内,随着x的增大,y是怎样变化的?

③反比例函数的图象与x轴有交点吗?与y轴有交点吗?为什么?

43.已知(x1,y1)、(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两个点,若x1<x2<0,比较y1与y2的大小. x

4.你还有什么问题?

53

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

21103例1 反比例函数①y= 、 ②y=、 ③7y=-、 ④y=的图象中: x3xx100x

(1)在第一、三象限的是__________,在第二、四象限的是__________;

(2)在其所在的每一个象限内,y随x增大而增大的是___________________.

k例2 已知反比例函数y=的图象经过点A(2,-4). x

(1)求k的值.

(2)这个函数的图象在哪几个象限?在每一个象限内,y随x的增大怎样变化?

(3)画出函数的图象;

1(4)点B(,-16)、C(-3,5)在函数的图象上吗? 2

想一想:对于这个函数图象上的任意一点Q,找出点Q关于原点O的对称点Q',点 Q'在这个图象上吗?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.填空:

5(1)函数y=的图象在第_____象限,y 随 x 的增大而_____. x

(2)函数y=3m-2的图象在第二、四象限,则m的取值范围是 ____. x

1(3)对于函数y=,当 x<0时,这部分图象在第_____象限,y 随x的增大而_____. 2x

k2.函数y=y=ax的图象的一个交点A的坐标是(-1,-3). x

(1)求这两个函数的关系式;

(2)你能求出两个图象的另一个交点B的坐标吗?怎样求?

54

9.2 反比例函数的图象与性质(3)

学习目标

k1.巩固反比例函数y=k的几何意义. x

2.根据所给反比例函数与一次函数的知识解决一些综合问题.

学习重点和难点

重点:理解和掌握反比例函数的性质.

k难点:理解反比例函数y=k的几何意义. x

学习过程

一、预习内容

1.(1)举例说明什么是反比例函数?

(2)反比例函数有哪些性质?

62.(1)如图是反比例函数y= x

①在双曲线上取一点A(2,3),过点A向x轴和y轴分别

作垂线段,与x轴和y轴围成一个矩形,求该矩形的面积.

②再在双曲线上取两点B(6,1)、C(-3,-2),过点B、

C向x轴和y轴分别作垂线段,与x轴和y轴分别围成一个矩

形,求这两个矩形的面积.

③如果在双曲线上任取一点P(a,b),过点P向x轴和y轴分别作垂线段,与x轴和y轴围成一个矩形,求该矩形的面积.

④你发现了什么?

k(2)反比例函数y=k>0)的图象上任取一点P(a,b),过点P向x轴和y轴分别作垂线段,与x轴和yx

轴围成一个矩形,求该矩形的面积.

k(3)反比例函数y=k<0)的图象上任取一点P(a,b),过点P向x轴和y轴分别作垂线段,与x轴和yx

轴围成一个矩形,求该矩形的面积.

(4)尝试把(2)和(3)归纳,说出你的发现.

k3.A是反比例函数y=k>0)的图象上的一点,过点A向x轴作垂线,垂足为B,△AOB的面积是4,则该x

反比例函数的关系式为 .

4.你还有什么问题? 55 C A B

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

k例1 点(-2,y1)(-1,y2)(1,y3)在反比例函数y=(k<0)的图象上,比较y1、y2、y3的大小. x

2a例2 已知反比例函数y1=-y2=kx+2的图象都过点P(a,2a). x

(1)求a与k的值;

(2)在同一坐标系中画出这两个函数的图象;

(3)若两函数图象的另一个交点是Q(0.5,4),利用图象指出:当x为何值时,y1﹥y2?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

k1.已知反比例函数y=y=mx+b的图象交于P(-2,1)和Q(1,n)两点. x

(1)求反比例函数的关系式;

(2)求n的值;

(3)求一次函数y=mx+b的关系式.

k2.正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=3, x

(1)求k的值;

(2)根据反比例函数的图象,当-3<x<-1时,求y的取值范围;

(3)当-3<y<-1时,求x的取值范围;

56

9.3 反比例函数的应用

学习目标

1.能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.

2.经历分析实际问题中的数量关系,建立数学模型,进而了解解决问题的过程,提高运用数学知识解决实际问题的能力.

3.在解决实际问题的过程中,体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型. 学习重点和难点

重点:用反比例函数的知识分析、解决实际问题.

难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数关系式.

学习过程

一、预习内容

1.举出一个可以得到反比例函数模型的实例.

2.(1)某公司计划新建一个容积为50立方米的圆柱形池子:

①池子的底面积S(平方米)与池子的深度h(米)之间的函数关系式是什么?

②如果池子的深度为2米,那么池子的占地面积是多少?

(2)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器

的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积v

(单位:m2)的反比例函数,它的图象如图3所示,当v=10 m3时,求

气体的密度.

(3)比较第(1)题和第(2)题,在得到反比例函数模型时有何不同?

(4)矩形的面积为6cm2,它的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系用图象表示为( ). (第(2)题)

(5)解决了第(4)题,你认为从实际问题中得到反比例函数模型的图象应该注意什么?

3.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米,则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是_____________.

4.你还有什么问题?

57

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑,打印成文.

(1)如果小明以每分种120字的速度录入,他需要多少时间才能完成录入任务?

(2)录入文字的速度v(字/min)与完成录入的时间t(min)有怎样的函数关系?

(3)小明希望能在3h内完成录入任务,那么他每分钟至少应录入多少个字?

例2 某自来水公司计划新建一个容积为4×104m3的长方形蓄水池.

(1)蓄水池的底部面积S(m2)与其深度h(m)有怎样的函数关系?

(2)如果蓄水池的深度设计为5m,那么蓄水池的底面积应为多少平方米?

(3)由于绿化以及辅助用地的需要,经过实地测量,蓄水池的长与宽最多只能设计为100m和60m,那

么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求?(保留两位小数)

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.A、B两地相距300km,汽车以x km/h的速度从A地到B地需y h,写出y与x的函数关系式.如果汽车的速

度不超过100km/h, 那么从A地到B地乘汽车至少需要多少时间?

2.例2中的新建蓄水池工程需要运送的土石方总量为4×104m3,某运输公司承担了该项工程运送土石方的任

务.

(1)运输公司平均每天的工作量v(m3/天)与完成运送任务所需要的时间t(天)之间有怎样的函数关系?

(2)运输公司共派出20辆卡车,每辆卡车每天可运土石方100 m3, 则需要多少天才能完成该任务?

(3)工程进行到8天后, 由于进度需要,剩下的运输任务必须提前4天完成, 那么公司至少需要再增派多

少辆同样的卡车才能按时完成任务?

58

第九章 小结与思考

学习目标

1.巩固反比例函数概念.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.进一步理解并掌握反比例函数的图象及其性质,并能解决实际问题.

2.经历分析实际问题中的数量关系,建立数学模型从而解决问题的过程,提高运用数学知识解决实际问题的能力.

3.在解决实际问题的过程中,进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型. 学习重点和难点

重点:反比例函数的图象、性质,以及用反比例函数的知识分析、解决实际问题.

难点:用反比例函数相关知识解决实际问题.

学习过程

一、预习内容

1.你能用一张图把本章的知识结构归纳出来吗?展示你所画的结构图.

2.解决下列问题:

(1)举例说明正比例函数、反比例函数的概念,说一说它们的联系和区别.

(2)反比例函数的图象及其性质:

k反比例函数y=的图象是_______________,当k>0时,函数图象分布在第________象限,在每一个象限x

内y随着x的增大而___________;当k<0时,函数图象分布在第__________象限,在每一个象限内y随着x的增大而______________.

(3)已知,y= (2-m)xm4是反比例函数,则m=______.此函数图象在第_______________象限. -

k(4)正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y(k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. x

k(5)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是反比例函数y (k≠0)图象上的两点,且x1<x2<0时,y1<y2 ,则k________. x

(6)反比例函数y=3-2mx<0时,y随x的增大而减小,则满足上述条件的x

正整数m有________.

k(7)如图,面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数y=x

三点在坐标轴上,则k= .

(8)老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质,甲:函

数图象不经过第三象限;乙:函数图象经过第一象限;丙:y随x的增大而减小;丁:当x<2时,y>0.已知这四人叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数_______________.

(第(7)题)

59

3(9)已知函数y=-x<0),那么( ) x

A.函数图象在第一象限内,且y随x的增大而减小

B.函数图象在第一象限内,且y随x的增大而增大

C.函数图象在第二象限内,且y随x的增大而减小

D.函数图象在第二象限内,且y随x的增大而增大

(10)已知y-2与x成反比例,且当x=2时,y=4,求y与x之间的函数关系式.

二、例题讲解

m例1 如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 y的图象交于A(-2,1)、B(1,a)两点. x

(1)分别求出这两个函数的关系式; ?y=kx+b,

(2)观察图象,直接写出关于x、y的方程组?m的解. y=?x

(3)当x满足什么条件时,反比例函数值大于一次函数的值.

60

例2 已知某预防流感的药物燃烧时,教室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药

物燃烧后,y与x成反比例,其图象如图所示.观测到药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg,请根据题中提供的信息,解答下列问题:

(1)药物燃烧时和药物燃烧后,分别求出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围.

(2)研究表明,当空气中的每立方米含药量低于1.6 mg时,学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需

要经过多少分钟后,学生才能回到教室?

(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气

中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?

三、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

四、反馈练习

k1.已知函数y=kx的图象经过点(2,-6),则函数y=_________,此反比例函数在每个象限x

内,y随x的增大而________.

2.已知函数y=3k-6在每个象限内,y随x的减小而减小,则k的取值范围是_______. x

13.点 A(a,b)、B(a-1,c)均在反比例函数y=的图象上,若a<0,则b_____c. x

4.已知反比例函数的图象经过点(2,3)、(3,m)、(n,-1),则m=_____ ,n=_______.

61

m2+15.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在y=上,且x1<x2<0<x3;比较y1 、 y2、 y3的大小x

是___________ .

26.如图,已知点A、B是反比例函数y=AC⊥x轴于x点C,BD⊥y轴于点D,AC与BD相交于点E,设S△ADE=S1,S△EBC=S2,那么

). A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.S1与S2大小不能比较

17.在平面直角坐标系中, 函数y=3x与y=的图象大致是( ). x

k8.已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B,与双曲线y2=x<0)分别交于点C、D,且C点的坐x

标为(-1,2).

(1)分别求出直线AB与双曲线的关系式

(2)若D点的纵坐标为1,求出点D的坐标;

(3)利用图象直接写出当x的值在什么范围内时y1>y2?

9.码头工人往一艘轮船上装载货物.装完货物所需时间y(min)与装载速度x(t/min)之间的函数关系如图:

(1)这批货物的质量是多少?

(2)写出y与x之间的函数关系式;

(3)轮船到达目的地后开始卸货, 如果以5t/min的速度卸货, 需

要多少时间才能卸完货物?

62

10.1 图上距离与实际距离

学习目标

1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段.

2、理解并掌握比例的性质.

学习重点和难点

重点:比例的性质.

难点:比例的性质的应用.

学习过程

一、预习内容

1.比例的基本性质是什么?

(1)若a∶b=c∶d,则______=______;

( )( )(2)若ad=bc(b≠0,d≠0)则 =. ( )( )

2.(1)两条线段长度的比叫做这两条线段的比.

(2)在一幅江苏地图上,扬州与南京的距离AB=1.25cm,实际上扬州与南京的距离A'B'约为100km,请根

据上述条件回答下列问题:

①线段AB与A'B'的比是____________;

②地图的比例尺是多少?

③在计算过程中应注意什么?

(3)在4条线段中,如果两条线段的比等于另两条线段的比,那么称这4条线段成比例 .

(4)已知线段a=2 cm,b=4 cm,c=5cm,d=10 cm,它们是成比例线段吗?为什么?

(5)比例的重要性质:

a+b(__+__)ac①若 = ,则 ,你会说明理由吗? bdbd

(__-__)c-dac②若 = ,则 =,你会说明理由吗? bdbd

ab (6)在比例式 = 中,我们把b叫做a和c的比例中项. bc

3.两条线段的长度分别为2cm和8cm,则它们的比例中项为.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 在比例尺为1:150000的地图上,测得A、B两地间的图上距离为16 cm,求A、B两地间实际距离.

63

x+yx-yx

例2 (1)已知2x=5y,求① ;② ;③ .

yyy

(2)已知线段c是a、b的比例中项,且a=4,b=9,求c.

例3 已知△ABC和△A'B'C'中,

例4 如图10-1,在△ABC中,

ADAE

=,AB=12,AE=6,EC=4, DBEC

B

图10-1

A

ABBCCA1 =,且△ABC的周长为15cm,求△A'B'C'的周长. A'B'B'C'C'A'2

DBEC

(1)求AD的长;(2)试说明= 成立.

ABAC

四、总结反思 1、说说你的收获 2、你还有什么问题? 五、反馈练习

E C

1.在比例尺是1∶40000的工程示意图上,于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线的长度约为54.3cm,

它的实际长度约为( )

A.0.2172km B.2.172km C.21.72km D.217.2km 2.下列各组长度的线段是否成比例?

(1)4cm, 6cm, 8cm, 10cm (2)4cm, 6cm, 8cm, 12cm (3)11cm,22cm,33cm,66cm (4)2cm, 4cm, 4cm, 8cm

3.已知线段a=4cm,b=9cm,则它们的比例中项c=________cm.

ADAE3ABEC

4.如图,已知(1)(2)

BDEC2BDAC

B

(第4题) A

E C

64

10.2 黄金分割

学习目标

1、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段,了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.

2、会找出一条线段的黄金分割点,找出一个图形中的黄金分割点.

学习重点和难点

重点:黄金分割的概念.

难点:理解黄金分割的意义.

学习过程

一、预习内容

1.什么是两条线段的比?什么是成比例线段?

2.(1)芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感,请量出图中线段AB、AC的长度,

并求出线段AB与AC的比值;

AC的比值;

ABBC(3)如图,点B把线段AC分成两条线段AB和BC,如果=,那么称ACAB (2)上海东方明珠电视设计巧妙,整个塔体的挺拔秀丽,请量出图中线段AB、AC的长度,并求出线段AB与

线段AC被点B黄金分割,点B叫做线段AC的黄金分割点,AB与AC的比叫做黄金比,AB∶AC=≈0.618.

3.如图10-2的五角星中,点C是AB的黄金分割点,AB=1,求AC的长.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

图10-2 5-1 2 65

三、例题讲解

例1 若线段AB=4cm,点C是线段AB的一个黄金分割点,则AC的长约为多长?

例2 画图:

1.作顶角为36°的等腰三角形ABC;

2.分别量出底边BC与腰AB的长度;

3.作∠B的平分线,交AC于点D,量出△BCD的底边CD的长度.

分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值(精确到0.001),此时比值是多少?

思考(1)你能利用你的发现作出一条线段的黄金分割点吗?

(2)五边形ABCDE的5条边相等,5个内角也相等,图中的点F、G、H、M、

N分别是哪些线段的黄金分割点?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.一条线段的黄金分割点有

2.如图,点C是AB的黄金分割点(AC>BC),那么BC的值约是 . ABA C B 3.据有关实验测定,当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时,人体感到最舒适.这个气温约为____ ℃.(精

确到1℃)

4.如图,点C是AB的黄金分割点(AC>BC),AB=4,则AC 2 =________.

(结果保留根号)

5.古希腊时期的巴台农神庙的正面是一个黄金矩形.若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于

_________.(结果保留根号)

A C B

66

10.3 相似图形

学习目标

1.了解形状相同的图形是相似的图形,能在诸多图形中找出相似图形.

2.理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念.

学习重点和难点

重点:相似三角形的概念.

难点:相似比的概念.

学习过程

一、预习内容

1、你还记得全等图形的概念吗?什么是全等三角形,全等三角形有什么性质?

能够完全 的图形叫做全等图形. 全等图形的形状和大小都 . 能够完全_______的两个三角形是全等三角形.全等三角形的对应角 ,对应边 .

2.(1) 观察右面各组图形, 说说它们有什么共同

的特点?

(2)你还能举出具有上述特点的图形吗?

像这样,形状相同的图形是相似图形.

(3)如图10-3, 度量放大镜中的三角形与原三角形对应的边和角, 你发现

了什么?

3.下列图形中不一定是相似图形的是 ( )

A.两个等边三角形 B.两个等腰直角三角形

C.两个长方形 D.两个正方形

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 如图10-4,D、E、F分别是△ABC三边的中点,△DEF与△ABC相似吗?为什么?

67 B D 图10-4 C E A 图10-3

例2 如图10-5,△ABC∽△A'B'C',求∠α的大小和A'C'的长.

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.观察下面的各组图形,其中相似的图形有(填序号).

(1)

(2

(3)

(4) (5

2.已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于( )

A.50° B.95° C.35° D.25°

3.若△ABC∽△A'B'C',且AB=2,则△ABC与△A'B'C'相似比是 ,△A'B'C'与△ABC的相似比是 . A'B'图10-5

4.已知:如图,△ADE∽△ABC,从中选择你喜欢的1个图形,写出对应相等的角和对应边的比例式,并说说

你是怎么想的?

5.如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC中点.

(1)△ADE与△ABC相似吗?为什么?

(2)取BC的中点F,分别连接DF、EF,你有什么新的发现吗?与大家交流.

E C D E D E 68

10.4 探索三角形相似的条件(1)

学习目标

1.了解三角形相似的条件1的说理方法并会应用,掌握例2的结论;

2.加深对“特殊——一般”数学思想的认识和理解.

学习重点和难点

重点:三角形相似的条件1的探索与应用.

难点:三角形相似的条件1的应用.

学习过程

一、预习内容

1.(1)判断两个三角形全等需要几个条件?

(2)说明相似三角形与全等三角形的关系.

2.(1)从相似三角形与全等三角形的关系中,你能猜想需要几个条件就能判断两个三角形相似?

(2)①如图,如果∠A=∠A',∠B=∠B', A'B'=AB,那么(1)(2)两个三角形全等吗?为什么?

③如果∠A=∠A'',∠B=∠B'', A''B''=3AB,那么所得的两个三角形相似吗?请在草稿纸上实际操作检验.

④猜想:如果∠A=∠A'',∠B=∠B'', A''B''=kAB,那么所得的两个三角形还相似吗?

⑤通过以上的探索你有什么发现?

3.已知△ABC与△A'B'C'中,∠B=∠B'=75°,∠C=50°,∠A'=55°,这两个三角形相似吗?为什么?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 如图10-5,已知△ABC和△A'B'C'中,∠A=50°,

∠B=∠B'=60°,∠C'=70°.

△ABC与△A'B'C'相似吗?为什么?

(1) (3)

(2) ②如图,如果∠A=∠A'',∠B=∠B'', A''B''=2AB,那么(1)(3)两个三角形相似吗?请实际操作检验. 图10-5

69

例2 已知:如图10-6,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.△ADE与△ABC相似吗?为什么?

E

图10-6

如图 10-7, 点A、B、D与点A、C、E分别在一条直线上, 如果DE∥BC, 那么△ADE与△ABC相似吗? 为什么?

四、总结反思 1、说说你的收获; 2、你还有什么问题? 五、反馈练习

1.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是 ( )

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对

B

F

(第1题)

C

(第2题)

(第3题)

E E C

图10-7

E

E

D

2.如图所示,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°,

那么△ABC∽△AED吗?请你说明理由.

3.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥DC,试说明△ABD∽△DCB.

4.如图,BC∥ED,BD、CE相交于点A.求AB、AC的长.

(第4题)

70

10.4 探索三角形相似的条件(2)

学习目标

1.探索三角形相似的条件2,会用三角形相似的条件2解决有关问题

2.经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程,发展合情推理和有条理的表达能力. 学习重点和难点

重点:三角形相似的条件2的探索与应用.

难点:三角形相似的条件2的发现与应用.

学习过程

一、预习内容

1.判定两三角形相似的方法有哪些?

2.(1)如图,在△ABC与△A'B'C'中,∠A=∠A', ABAC2, A'B'A'C'

测量∠B与∠B'的大小,由此能判断△ABC与△A'B'C'相似

吗?为什么?

(2)在△ABC与△A'B'C'中,如果∠A=∠A',

画,量一量.

(3)总结你的发现.

3.阅读:“在△ABC与△A'B'C'中,如果∠A=∠A',

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B' .要使△ABC∽△A'B'C',需要添加什么条件?

ABAC,那么△ABC与△A'B'C'相似”的说明过程. A'B'A'C'ABAC=k,那么△ABC与△A'B'C'相似吗?在草稿纸上画一A'B'A'C'

71

例2 如图,在△ABC中,AB=4cm,AC=2cm,

(1)在AB上取一点D,当AD= cm时,△ACD∽△ABC;

(2)在AC的延长线上取一点E,当CE= cm时,

△AEB∽△ABC,此时,BE与DC有怎样的位置关系?为什么?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.下列条件能判定△ABC与△A'B'C'相似的有 ( )

(1)∠A=45°,AB=12,AC=15,∠A'=45°,A'B'=16,A'C'=20;

(2)∠A=47°,AB=1.5,AC=2,∠B'=47°,A'B'=2.8,B'C'=2.1;

(3)∠A=47°,AB=2,AC=3,∠B'=47°,A'B'=4,B'C'=6.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.如图,在△ABC中,D在AB上,要说明△ACD∽△ABC相似,已经具备了条件件是 ,或 .

3.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2, 这两个三角形相似吗?为什么?

4.如图,P是正方形 ABCD 的边BC上一点,且 BP=3PC,Q是CD的中点.

△ADQ 与△QCP 相似吗? 为什么?

B (第2题)

C (第3题)

A

(第4题)

72

10.4 探索三角形相似的条件(3)

学习目标

1.探索三角形相似的条件3,会用三角形相似的条件3解决有关问题

2.经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程,发展合情推理和有条理的表达能力. 学习重点和难点

重点:三角形相似的条件3的探索与应用.

难点:三角形相似的条件3的发现与灵活应用.

学习过程

一、预习内容

1.两个全等的三角形一定相似吗?如果相似,相似比是多少?两个相似三角形一定全等吗?

2.(1)对照判定两个三角形全等的方法,猜想判定两个三角形相似还可能有什么方法?

(2)画出图形,验证你的猜想是否正确.(说出如何画图,如何验证!)

△(3)仔细阅读上一节的“预习内容”的第3题的阅读,尝试说明你的猜想是正确的.

(4)总结你的发现.

3.两个等腰三角形中,如果一腰和底对应成比例,那么这两个三角形相似吗?为什么?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.

(1)∠A=100°,AB=5cm,AC=7.5cm,∠A'=100°,A'B'=8cm,A'C'=12cm;

(2) AB=4cm,BC=6cm,AC=8 cm,A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'=24cm.

73

ABBCCA例2 . BDBEED

(1)说明∠ABD=∠EBC;(2)说明△BAD∽△BCE.

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.下列各组三角形中,两个三角形能够相似的是( )

A.△ABC中,AB=8,AC=4, ∠A=85°,△A'B'C'中,A'B'=16,B'C'=8,∠A'=80°

B.△ABC中,AB=18,BC=20,CA=35,△A'B'C'中,A'B'=36,B'C'=40,C'A'=70

C.△ABC和△A'B'C'中,有ABBC=C=∠C’. A'B'B'C'E 图10-8 C D.△ABC中,∠A=42°,∠B=118°,△A'B'C'中,∠A'=118°,∠B'=15°

2. 一个三角形3边的长分别为6 cm、9 cm、7.5 cm, 另一个三角形3边的长分别为12 cm、10 cm、8 cm.这

两个三角形相似吗?为什么?

3.一个钢筋三角架长分别为20 cm、50 cm、60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30 cm

和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的载法有 种.

74

10.4 探索三角形相似的条件(4)

学习目标:

1.掌握应用三角形相似的条件1、2、3解决有关问题.

学习重点和难点

重点:掌握三角形相似的条件并能灵活应用.

难点:三角形相似的条件的运用.

学习过程

一、预习内容

1.我们学习了几种判定三角形相似的方法?

2.(1)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B',请你补充一个条件ABC∽△A'B'C'.

(2)如图,DE与△ABC的边AB,AC分别相交于D,E两点,且DE∥BC.若DE

2=2cm,BC=3cm,EC=,则AC=________cm. 3

(3)判定两个三角形相似的基本思路是:

①若已知一对等角,则可找_________,或找______________________________;

②若已知两边对应成比例,则找___________,或找___________________________.

(4)如果两个三角形有一角对应相等,且这角的一条邻边和一条对边对应成比例,那么这两个三角形相似吗?

为什么?(提示:说明理由时,可从三角形全等的判定中没有“边边角”来思考.)

3.下列说法不正确的是( )

A.两对应角相等的三角形是相似三角形 B.一角对应相等且两边对应成比例的三角形是相似三角形

C.三边对应成比例的三角形是相似三角形 D.三边对应相等的两个三角形是相似三角形

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高.

(1)图中有哪几对相似三角形?请把它们表示出来,并说明理由;

(2)AC是哪两条线段的比例中项?为什么?

B E C A

75

例2 如图,在正方形ABCD中,点M、N分别在AB、BC上,AB=4,AM=1,BN=0.75

(1)△ADM与△BMN相似吗?为什么?

(2)求∠DMN的度数.

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,

若AB=10cm,AC=6cm,求AD的长.

2.△ABC中,AB=9,AC=6,点D在AB上,且AD=3,点E在AC上,连接DE,如果△ABC与以A、D、

E为顶点的三角形相似,求AE的长.

3.如图,在△PAB中,点C、D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,试说明:△APC∽△PBD.

M

N B C D C A

76

10.5 相似三角形的性质(1)

学习目标

1.探索相似三角形、相似多边形的性质,会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关问题.

2.通过实践与探索,得到相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系,运用类比的方法得出相似多边形的周长比及面积比与相似比的关系.

3.经历“探索—发现—猜想”,通过实际问题的研究,提高分析问题、解决问题的能力.

学习重点和难点

重点:相似三角形(多边形)的周长比及面积比与相似比的关系.

难点:相似三角形(多边形)的面积比等于相似比的平方.

学习过程

一、预习内容

1.相似三角形的对应边和对应角具有哪些性质?

2.你知道相似三角形还具有哪些性质呢?

(1)①△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么两个相似三角形的周长有什么关系呢?请说明理由.

②两个相似多边形的周长有什么关系呢?

(2)①如图△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高.那么这两个相似三角形

的面积有什么关系呢?请说明理由.

②两个相似多边形的面积有什么关系呢?

3.两个相似多边形面积的比为9∶16,其中较小的多边形的周长为36cm.求另一个多边形的周长.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

77

三、例题讲解

例1 在比例尺为1∶500的地图上,测得一个三角形地块ABC的周长为12cm,面积为6cm2.

求这个地块的实际周长和面积.

例2 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,对角线相交于点O,CD=4,AB=12.

S△CODS△COD

求:(1)S△AOB2)S△AOD的值.

四、总结反思

1、说说你的收获

2、你还有什么问题?

五、反馈练习 A B

1.已知两个相似三角形的最短边分别是9cm和6cm,若它们的周长和是60cm,面积差是25cm2,则这两个三

角形的周长和面积分别是多少?

2.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD∶DB=3∶2. 求四边形DBCE与△ADE的

面积的比.

78

10.5 相似三角形的性质(2)

学习目标

1.运用类比的思想方法,通过实践探索得出相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的性质;

2.会运用相似三角形对应高的性质解决有关问题;

3.经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程,发展合情推理和有条理的表达能力.

学习重点和难点

重点:探索和掌握相似三角形对应线段的性质.

难点:利用相似三角形对应高的性质解决问题.

学习过程

一、预习内容

1.简述相似多边形的性质.

2.(1)①如图,在上一节的“预习内容(2)①”中,已知△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,AD、A'D'分别是

△ABC、△A'B'C'的高,我们得到了关于AD、A'D'的什么结论?

②总结两个相似三角形的对应高有何性质?

(2)如图所示,已知△ABC∽△A'B'C',且AB︰A'B'=3︰2,若BD与B'D'分别是△ABC与△A'B'C'的对应中线. ①你发现还有哪些三角形相似?说明理由.

②BD︰B'D'的值是多少? A A'

D D'

B C B' C'

③总结两个相似三角形的对应中线有何性质?

(3)若AD与A'D'分别是这两个三角形的对应角平分线,(1)(2)中的结论还成立吗?你会说明理由吗?

3.两个相似三角形的面积之比为9︰16,相似比为,则它们的对应高之比为_____.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

79

三、例题讲解

例1 如图,与小孔O相距32cm处有一支长30cm燃烧的蜡烛AB, 经小孔, 在与小孔相距20cm的屏幕上成

像.求像A'B'的长度.

例2 如图,在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,QM在边BC上.若BC=a,

AD=h,且PN=2PQ,求矩形PQMN的长和宽(用含a、h的代数式表示).

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1. 相似三角形对应边的比为0.4,那么

(1)相似比为 ,(2)对应角的角平分线之比为 ,

(3)周长的比为 ,(4)面积的比为 .

2.如图是一个照相机成像的示意图.如果底片AB宽35mm,焦距是70mm,拍摄5m外的景物A'B'有多宽?如

果焦距是50mm呢?

3.如图,圆桌正上方的灯泡O(看成一个点) 发出的光线照射到桌面后,在地面上形成阴影.设桌面的半径 AC

=0.6m,桌面与地面的距离AB=1m,灯泡与桌面的距离OA=2m,求地面上阴影

部分的面积.

80

10.6 图形的位似

学习目标

1.通过实验、操作、思考活动认识位似形;

2.会利用位似变换将一个图形放大或缩小.

学习重点和难点

重点:1.位似形的概念;2.利用位似变换将一个图形放大或缩小.

难点:利用位似变换将一个图形放大或缩小.

学习过程

一、预习内容

1.相似多边形的概念是什么?

2.已知点O和△ABC,

OA'OB'OC'(1)①画射线OA、OB、OC,在OA、OB、OC上分别取点A'、B'、C',使==2; OAOBOC

②画△A'B'C';

③△A'B'C'与△ABC相似吗?为什么?

OA''OB''OC''1(2)分别在OA、OB、OC的反向延长线上取点A〞、B〞、C〞,使==画△A''B''C''.△A''B''C''OAOBOC2

与△ABC相似吗?为什么?

(3)总结△A'B'C'与△ABC、△A''B''C''与△ABC的关系.

3.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'有怎样的关系?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

(第3题) O B C A

81

三、例题讲解

例1 如图,在平面内任取一个点O,按比例尺2∶1,把五边形ABCDE放大.

例2 在平面直角坐标系中,

(1)取若干个横坐标、 纵坐标都是整数的点,画出这些点组成的一个四边形;

(2)把第(1)题中四边形各顶点的横坐标、纵坐标都乘2,所得各点组成一个新的四边形,画出这个四边形; (3)以坐标原点为位似中心, 按比例尺2∶1, 把第(1)题中的四边形放大,你发现了什么?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

11.如图,以点O 2

2.如图,以B为位似中心,按比例尺2∶1,把△ABC放大.

C D

B E

82

10.7 相似三角形的应用(1)

学习目标

1.了解平行投影的意义.

2.知道在平行光线照射下,不同物体的物高与影长成比例,会利用平行投影画出图形并能利用其理测量物体的高度.

3.经历“探索—发现—猜想”,通过实际问题的研究,提高分析问题、解决问题的能力,建立“相似三角形”的模型.

4.综合运用判定相似三角形的条件和三角形相似的性质解决问题,增强用数学的意识.

学习重点和难点

重点:理解平行光线照射下,不同物体的物高与影长的关系,并能进行运用.

难点:综合运用判定相似三角形的条件和三角形相似的性质解决问题.

学习过程

一、预习内容

1.判定三角形相似有哪些方法?相似三角形有哪些性质?

2.当人们在阳光下行走时,会出现怎样的现象?

生活小常识:

(1)光线在直线传播过程中,遇到不透明的物体,在这

个物体的后面光线不能到达的区域便产生影

(2)太阳光线可以看成是平行光线.在平行光线的照射

下,物体所产生的影称为平行投影.

(3)在学校操场上分别竖立长度不同的甲、乙、丙3根木

杆,在同一时刻分别测量出3根木杆在阳光下的影长,并将有关数据填入下表:

通过观察、测量,你发现了什么?

3.在某一时刻, 甲木杆在阳光下的影长如图. 你能画出此

时乙、丙两根木杆的影子长吗?说说你的想法.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

83

三、例题讲解

例1 在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多

少米?

例2 如图,某一时刻,旗杆AB的影子一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙面上.小丽测得旗杆AB在地

面上的影长BC为20m, 在墙面上的影长CD为4m. 同一时刻, 小丽又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为0.8m.请帮助小丽求出旗杆的高度.

四、总结反思

1、说说你的收获

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.在阳光下,身高为1.68m的小强在地面上的影长是2m,在同一时刻,测得旗杆在地面上的影长为18m,求

旗杆的高度(精确到0.1m)

2.小军想出了一个测量建筑物高度的方法:在地面上C处平放一面镜子,并在镜子上做一个标记,然后向后退

去,直至看到建筑物的顶端A在镜子中的象与镜子上的标记重合.如果小军的眼睛距地面1.65m,BC、CD的长分别为60m、3m,求这座建筑物的高度.

(第2题)

84

10.7 相似三角形的应用(2)

学习目标

1.了解中心投影的意义.

2.知道在点光源的照射下,物体的物高与影长的关系,会根据中心投影投影画出图形并能利用其原理进行相关测量和计算.

3.经历“探索—发现—猜想”通过实际问题的研究,提高分析问题、解决问题的能力,建立“相似三角形”的模型.

4.综合运用判定相似三角形的条件和三角形相似的性质解决问题,增强用数学的意识.

学习重点和难点

重点:理解在点光源的照射下,物体的物高与影长的关系.

难点:综合运用判定相似三角形的条件和三角形相似的性质解决问题.

学习过程

一、预习内容

1.(1)什么是平行投影?平行投影有什么性质?

(2)一竿高为1.5m,影长为1m,同一时刻, 某塔影长是20m,则塔的高度是 .

2.(1)夜晚,当人们在路灯下行走时,会出现怎样的现

象?

(2)①取两根长度相等的小木棒,将它们直立摆放在不同位置,固定手电筒光源,测量木棒的影长.它们的影

长相等吗?

②改变手电筒光源的位置,再试一试.

(3)在点光源的照射下,不同物体的物高与影长成比例吗?

(4)路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是从一个点发出的.像这样,在点光源的照射下,物体所产生的影称

为中心投影.

3.在同一直线上的三根旗杆直立在地面上,第一、第二根旗杆

在同一灯光下的影子如图.请在图中画出光源的位置,并

画出第三根旗杆在该灯光下的影子(不写画法).

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

85

三、例题讲解

例1 如图,河对岸有一路灯杆AB.在灯光下,小明在点D处测量得自己的影长DF=3m,沿BD方向到达点

F处再测得自己的影长FG=4m.如果小明的身高为1.6m,求路灯杆AB的高度.

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.如图,某同学身高AB=1.60m, 他从路灯杆底部的点D处沿直线前进4m到点B时, 其影长PB=2m .求

路灯杆CD的高度.

(第1题)

2.如图所示,小华在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时, 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯

AC的底部,当他向前再步行12m到达点Q时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知小华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB.

(1)求两个路灯之间的距离;

(2)当小华走到路灯B时,他在路灯A下的影长是多少?

(第2题)

86

10.7 相似三角形的应用(3)

学习目标

1.了解盲区等概念,并应用盲区进行测量.

2.深刻感受测量是现实生活中经常遇到的问题,能结合实际选择合适的测量方法和工具.

3.经历“探索—发现—猜想”通过实际问题的研究,提高分析问题、解决问题的能力,建立“相似 三角形”的模型.

4.综合运用判定相似三角形的条件和三角形相似的性质解决问题,增强用数学的意识.

学习重点和难点

重点:应用盲区进行测量.

难点:深刻感受测量是现实生活中经常遇到的问题,能结合实际选择合适的测量方法和工具.

学习过程

一、预习内容:

1.什么叫平行投影?什么叫中心投影?

2.小明把手臂水平向前伸直,手持小尺竖直,瞄准小尺的两端E、F,不

断调整站立的位置,使站在点D处正好能看到旗杆的顶部和底部(如

图).

如图,眼睛的位置(点C)叫做视点.由视点发出的线叫做视线.眼

睛看不见的区域,叫做盲区.

设小明的手臂长l=40cm,小尺长a=20cm,点D到旗杆底部的距离AD=40m,求旗杆的高度 .

3.当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时,你会发现,前方那些高高矗立的建筑物好像 “沉” 到了位于它们前面那些较矮的建筑物后面去了,这是为什么?你能举出生活中类似的现象吗?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

87

三、例题讲解

例1 你想知道月球中心距离地球表面大约有多远吗?下在提供一种估测的方法:在月圆时,将一枚一元硬币,

放在眼睛与月球之间,调整硬币与眼睛间的距离,直到硬币刚好将月球遮住.如图,如果硬币与眼睛间距离为2.72m,月球的直径为3500km,硬币的直径为2.5cm,你能求出月球中心距离地球表面大约有多远吗?

例2 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树根部的距离AC=5m.小强正对这两

棵树的方向从左向右前进,如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m,当小强与树AB的距离小于多少时, 就看不见树顶D ?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.如图,直立在点B处的标杆AB长2.5m, 站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A、 树顶C在一条

直线上.已知BD=10m,FB=3m,EF=1.7m,求树高 CD(精确到0.1m).

(第1题)

88

第十章 小结与思考

学习目标

1.回顾和整理本章所学知识,用自己喜欢的方式进行总结的归纳,构建本章知识结构框架,使所学知识系统化.

2.进一步巩固和了解线段的比和比例、黄金分割、相似图形的概念、比例的性质,掌握相似三角形的判定,掌握相似多边形的性质;

3.回顾用图形相似的知识解决简单实际问题的过程,初步掌握数学建模的过程和意识.

学习重点和难点

重点:巩固本章知识点,理清知识结构及相互关联.

难点:灵活运用三角形相似的知识解决问题是本章的难点.

学习过程

一、预习内容

1.你能用一张图把本章的知识结构归纳出来吗?展示你所画的结构图.

2.举例说明什么是成比例线段?比例有何性质?

3.什么是黄金分割?

4.说明相似图形与全等图形的关系.

5.说明全等三角形的判定和相似三角形的判定有何联系与区别?

89

6.如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB.若S1表示以 PA 为一边的正方形

的面积,S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积,试比较S1与S2的大小,并说明理由 .

7.满足下列条件的两个三角形是否相似? 请做出判断, 并说明理由 .

(1)△ABC的两个角分别是60°、80°, △A'B'C'的两个角分别是80°、40°;

(2)△ABC的两边长分别是6cm、8cm,夹角为50°,△A'B'C'的两边长分别是12cm、9cm,夹角为50°;

(3)△ABC 的三边长分别是4cm、6cm、8cm,△A'B'C'的三边长分别是24 cm、18 cm、12 cm.

8.如图, 要使△AFE∽△ABC, 你认为还需要补充什么条件?

9.如图,在□ABCD中,G是BC 延长线上的一点,AG分别交BD、CD于点E、F.图中有哪几对相似三角形?

请把它们表示出来,并说明理由 .

10.如图,A 为河对岸一点,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B、C,直线AD、BC 相交于点E.如果测得BE

=80 m,CE=40 m,CD=30 m, 那么河宽AB 为多少米?

11.如图,点D、E分别在AC、BC上.如果测得CD=20m,CE=40m,AD=100m,BE =20 m,DE=45m,

那么A、B两地间的距离为多少米?

90

二、例题讲解

例1 将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子,假设图形中的所有点、线都在同一平面内,找出图

形中所有的相似(不包括全等)三角形,并说明理由. 思考:

如果三角板AFG旋转到如图所示的位置,AG与BC的延长线交于E点,你能找出图中的一对相似三角形吗?

例2 如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动,且MN=1,

当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似?

B

DE

A

F BD

C

A

G

E

N M

C

B

91

例3 学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直

角三角形相似的条件.

(1)“对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”.类

似地,你可以得到“满足____________________________或______________________________,两个直角三角形相似”;

(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地,你可以得到“满足

_____________________________的两个直角三角形相似”.请你结合下列所给图形,完成说理过程.

C' 例4 一块直角三角形木板,它的一条直角边AC长为1.5m,面积为1.5m2.现在要把它加工成一个面积最大的

正方形桌面.甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示.请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求.

A

Q

E

P

C N ②

92

例5 如图,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC 和△A'B'C', 其中∠C=∠C'= 90°,且两个三角形不相

似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC 所分割成的两个黄色三角形与△A'B'C'所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能, 请说明理由 .

三、总结反思 1、说说你的收获; 2、你还有什么问题? 四、反馈练习

1.如果线段c是a、b的比例中项,且a=4,b=9,则c= x+yy+3zxyz

2.设 == ,则 =_____ =_______.

357y3y-2z3.如图,若△ABC∽△DEF,则∠D的度数为______________.

4.在Rt△ABC中, ∠C为直角,CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是

和 ,并写出它的面积比 .

D

A

F (第3题)

E

C

D (第4题)

A

A

5.如图,已知△ABC,P是AB上一点,连接CP,要使△ACP∽△ABC,需添加的条件是写出一种合适的条件即可).

B

C

(第5题)

(第6题)

A

E

6.如图,在△ABC中,若DE∥BC,

AD1

,DE=4cm,则BC的长为 ( ) DB2

A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm

7. 如图,有三个矩形,其中是相似形的是( )

A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙

2

1.5

1

(第7题)

93

8. 一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm

和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )

A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种

9.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,?要把它加工成正方形零件,使正

方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?

10.如图,为测量河的宽度,可以采用如下方法:(1)在河对岸选择一个目标点 A,在近岸取点 B、C,使点 A、

B、C在同一条直线上且此直线与河岸垂直;(2)在过点C且与AC垂直的直线上选一点D,确定AD与过点B且垂直于AC的直线的交点E.此时,测得BC=50 m,CD=100 m,BE =75 m,求河宽AB.

11.如图,用曲尺(两直尺相交成直角)测量大坝的高度h: 使 OA、OB 分别顶住地面和大坝的斜面 CD, 且

OA 与地面垂直.现测得OA=40 cm,OB=60 cm,AD=30 cm,CD =5m,求大坝的高度h.

(第11题) (第10题)

(第9题)

94

12.如图,以AB 的中点O 为位似中心,按比例尺 1∶2,把矩形 ABCD 缩小.

13.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°.把△ABC 分割成 4个分别与原三角形相似的三角形,应如何分割?

请用三种不同的方法画出图形.

14.如图,点 A 的坐标为(3,4), 点 B 的坐标为(4,0).

(1)将△AOB 沿 x轴向左平移 1 个单位长度后得△A1O1B1,写出顶点A1、O1、B1 的坐标;

(2)将△AOB 绕原点旋转 180°后得△A2O2B2, 写出顶点 A2、O2、B2 的坐标;

(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A3O3B3,写出顶点A3、O3、B3 的坐标;

(4)以 O 为位似中心,按比例尺 2∶1 将△AOB 放大后得△A4O4B4,写出顶点A4、O4、B4 的坐标 .

A B B B

C C (第12题)

95

11.1 你的判断对吗

学习目标

1.经历一些观察、操作活动,并对获得的数学猜想进行实验验证,体验直观判断有时不一定正确,从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明.

2.在交流中,感受数学思考的合理性和严密性.

学习重点和难点

重点:体会证明的必要性.

难点:尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明.

学习过程

一、 预习内容

1.如图11-1(1),从一只透明的空玻璃杯的侧面能看到杯子下面放了一枚硬币.

(1)如果向杯中注水,猜一猜这时从杯子的侧面还能看到这枚硬币吗?

(2)试一试, 你看到了硬币吗?

2.(1)观察:如图11-2,两条线段AB与CD哪一条长一些?先猜一猜,再量一量.

(2)图11-3(1)是一张8cm×8cm的正方形纸片,把它剪成4块,按图11-3(2)重新拼合.这4块纸片恰

好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗?

(4)举例说明你类似的体验.

(5)如何确认你的结沦是正确的?

(1) 图11-3 (2) 图11-2 图11-

1 (3)通过上面的实验、观察、操作的结果,说说你的感受.

96

3.图11-4中有曲线吗?请你在图11-5中把编号相同的点用线段连接起来.

图11-4 图11-5

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 如图11-6,两个大小相同的大圆,其中一个大圆内有10个小圆,另一个大圆内有2个小圆,你认为大

圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪个大些?

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1. 如图,直线AB和直线CD平行吗?

请你先观察,再用推平行线的方法验证一下.

2.猜想:假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,那么铁丝与赤道之间的间隙能(把地球看成

球形)能放进一粒草莓吗?能放进一个拳头吗?(地球赤道长约为40000000m.)

(第1题) 图11-6

97

11.2 说理(1)

学习目标

1.经历探索一些问题时,由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”,但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程,初步感受说理的必要性.

2.尝试用说理的方法解决问题,体验说理必须步步有据,发展有条理思考和有条理表达的能力. 学习重点和难点

重点:用说理的方法解决问题,感受说理的必要性.

难点:用说理的方法解决问题.

学习过程

一、预习内容

1.观察图11-7中两组圆中央的两个圆,哪个大?再量一量 .

2.(1)图11-8中的一条直道、一条曲径占用草坪的面积相等吗?说说你的理由.

本题中,你用什么方法去说明自己的观点是正确的?

(2)小明和小林在研究代数式m2-2m+2的值的情况时得出了两种不同的结论.

图11-8 图11-7

仔细观察计算的结果,小明发现m-2m+2的值一定是偶数.

小林填写表格:

仔细观察计算结果,小林发现m-2m+2的值一定大于等于2.

你认为小明和小林的结论是否正确?你还能得到什么结论?

本题中,你用什么方法去说明别人的观点不正确的?你又是怎么说明自己的观点是正确的?

98

3.你能尝试说明对于任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab吗?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 如图11-9,∠AOB=90°,并画∠AOB的角平分线OC.

(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上,使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别交于

点E、F,并比较PE、PF的长度;

(2)把三角尺绕点P旋转,比较PE与PF的长度并对你探索得到的结论有什么看法?

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.如图,用不同的方法摆放同一个正方体,看到不同的结果,你能说出这个正方体相对两面上的图案和颜色吗?

你发现了什么?你能说明理由吗? (第1题) 2.3个连续自然数,中间的1个数的平方减去其余2个数的乘积, 所得的差是几? 换3个连续自然数再试试,图11-

9

99

11.2 说理(2)

学习目标

1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的条件和结论.

学习重点和难点

重点:掌握命题的组成,能说出命题的条件和结论.

难点:掌握命题的组成、真假命题的判断.

学习过程

一、预习内容

1.回忆下列概念.

(1)怎样的两个数叫“互为相反数”?

(2)怎样的两个图形叫“全等形”?

2.人们在说理的时候,常常使用一些名称或术语,经常要判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等. 对名称或术语的含义进行描述、做出规定,就是给出它们的定义 .

例如:

“符号不同、绝对值相等的两个数”是“相反数”的定义.

“能够完全重合的图形”是“全等形”的定义.

(1)请你再写出两个定义:

判断某一件事情的句子叫做命题.

例如,下面的句子都是命题:

等角的余角相等.

无论x是什么数,代数式x2-2x+1的值总是正数.

如果两个等腰三角形的腰相等,那么这两个等腰三角形全等.

(2)请你再写出两个命题.

(3)在上面的命题中有的是做出了正确的判断,如:________________________________________

_____________________________________________________________________________;

有的是做出了错误的判断,如:__________________________________________.

3.观察下列句子,你能发现它们有什么共同的结构特征吗?

(1)如果a>0,b<0,那么│a│=│b│;

(2)如果两个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形全等;

(3)如果一个三角形有2个角相等,那么这 2个角所对的边也相等.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

100

三、例题讲解

例1.下列句子是不是命题?

(1)延长线段AB到点C;

(2)两点之间线段最短;

(3)∠A与∠B不相等;

(4)2月份有4个星期日;

(5)用量角器画∠AOB=90°;

(6)任何数的平方都不小于0吗?

例2 下列各命题的条件是什么?结论是什么?

(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等;

(2)如果一个四边形的对角线相等,那么这个四边形是矩形;

(3)两直线相交,只有一个交点;

(4)相等的角是对顶角;

(5)直角三角形的两个锐角互余;

(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.

例3 例2中哪些是真命题?哪些是假命题?

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.下列各命题的条件是什么? 结论是什么?

(1)如果a<0,b<0, 那么a+b<0;

(2)如果两个三角形的3个角对应相等,那么这两个三角形全等;

(3)同角的补角相等;

(4)直角都相等 .

2.下列句子中,哪些是真命题?哪些是假命题?

(1)如果3x-15>6-2x,那么x<4;

(2)各角对应相等的两个多边形是相似多边形;

(3)如果a≠0,b≠0,那么ab≠0;

(4)一个角的补角一定大于这个角.

101

11.3 证明(1)

学习目标

1.了解证明的基本步骤和书写格式.

2.能从“同位角相等,两直线平行”这个基本事实出发,证明平行线的判定定理,并能简单应用这些结论.

3.感受数学的严谨、结论的确定,初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯,发展初步的演绎推理能力.

4.感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.

学习重点和难点

重点:1.掌握证明的基本步骤和书写格式;

2.从“同位角相等,两直线平行”这个基本事实出发,证明平行线的判定定理,并能简单应用这些结论. 难点:掌握证明的基本步骤和书写格式,培养初步的演绎推理能力.

学习过程

一、预习内容

1.什么是命题?什么是真命题?

2.2000多年前,古希腊数学家欧几里得在他编纂的《原本》里,从众多的数学名词和数学命题中,挑选了一些数学名词和他认为正确的命题, 并以此为出发点, 用推理的方法证实了其他真命题的正确性. 本套教材选用下列真命题作为基本事实:

同位角相等,两直线平行.

两直线平行,同位角相等.

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

三边对应相等的两个三角形全等.

此外,等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实 .

由此出发,可以证明我们曾探索、发现的有关平行线、三角形、四边形的许多性质是正确的.

3.如何用推理的方法证实“同角的补角相等”的正确性呢?

分析:(1)这个命题的条件是____________________________;结论是_______________________.

(2)根据命题的条件画出相应的图形;

(3)根据图形用数学语言写出已知:________________;要证明:____________________.

(4)从基本事实出发,用推理的方法证实上述命题的正确性:

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

102

三、例题讲解

例1 证明:对顶角相等.

例2 证明:内错角相等,两直线平行.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.证明:同旁内角互补,两直线平行.

2.已知:如图,∠1=∠2,CE平分∠ACD.

求证:AB∥CD.

证明:因为 CE平分∠ACD( ),

所以∠_______=∠_______( ). 因为∠1=∠2(已知),

所以∠1=∠_______( ).

所以AB∥CD( ).

103 (第2题)

11.3 证明(2)

学习目标

1.了解证明的基本步骤和书写格式.

2.能从“两直线平行,同位角相等”这个基本事实出发,证明平行线的性质定理,并能简单应用这些结论.

3.感受数学的严谨、结论的确定,初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯,发展初步的演绎推理能力. 学习重点和难点

重点:1.掌握证明的基本步骤和书写格式;

2.从“两直线平行,同位角相等”这个基本事实出发,证明平行线的性质定理,并能简单应用这些结论. 难点:掌握证明的基本步骤和书写格式,培养初步的演绎推理能力.

学习过程

一、预习内容

1.(1)由“同位角相等,两直线平行”这个基本事实,我们证明了有关平行线的哪些结论?

(2)证明一个文字命题需要经过哪些步骤?

2.(1)猜想由“两直线平行,同位角相等”这个基本事实,可以证明哪些结论?

(2)按照昨天学习的证明文字命题的步骤,对上述猜想进行证明.

3.阅读

欧几里得与《原本》

欧几里得(约公元前330年~前275年)是一位杰出的数学家,也是一位教育家.他曾应埃及托勒密王的邀请,从雅典到了亚历山大,从事他的数学研究和教育活动.

欧几里得一生写过很多数学、物理方面的著作,其中《原本》是他最有影响的巨著.在《原本》中,欧几里得从公理出发证明了人们探索得到的许多数学结论的正确性,从而把前人在数学上的成果整理得条理清晰、 结构严谨.

《原本》的手稿早已失传,现存的《原本》是公元四世纪末西翁的修订本(有的包含13卷,有的包含15卷). 我国的最早译本是1607年由意大利人利玛窦、 明代数学家徐光启合译的前6卷和1857年由英国人伟烈亚力、清代数学家李善兰合译的后9卷 .

2000多年来,人们高度评价《原本》,至今这部著作已出版了2000多个版本.欧几里得被后人誉为 “几何学之父”.牛顿曾仿效欧几里得的方法把前人总结的力学知识和自己研究的成果,编纂了《自然哲学和数学原理》. 欧几里得的方法早已运用到现代社会的各个领域,《原本》对于科学的发展以及人们的思维方式都产生深刻的影响.

104

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 如图11-10,AB∥DC,AD∥BC, ∠A、∠B、∠C、∠D有什么大小关系? 试证明你的结论.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.已知:如图,∠BAD= ∠DCB,∠1=∠3 .

求证:AD∥BC .

证明:因为∠BAD = ∠DCB,∠1=∠3( ),

所以∠BAD - ∠1 = ∠DCB - ∠3( ),

即∠_______= ∠_______.

所以 AD∥BC ( ) .

2.已知:a∥b,c∥d,∠1=50°.求证:∠2=130°.

3.已知:如图,AB∥CD,BC∥DE.求证:∠B+∠CDE=180°.

105 图11-

10 (第1题)

(第2题)

(第3题)

11.3 证明(3)

学习目标

1.了解证明的基本步骤和书写格式.

2.能从基本事实出发,证明三角形的内角和定理以及推论,并能应用这些结论.

3.感受数学的严谨、结论的确定,初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯,发展初步的演绎推理能力. 学习重点和难点

重点:1.掌握证明的基本步骤和书写格式;

2.能应用这些结论解决问题.

难点:掌握证明的基本步骤和书写格式,培养初步的演绎推理能力.

学习过程

一、预习内容

1.证明文字命题的一般步骤:

2.证明:三角形三个内角的和等于180°.(尝试用两种不同的方法)

3.如图 11-11, ∠α是△ABC 的一个外角, ∠α与△ABC 的内角有怎样的大小关系?为什么?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

106 图11-11

三、例题讲解

例1 证明:直角三角形的两个锐角互余.

例2 证明: n边形的内角和等于(n-2)·180° .

例3 已知: 如图11-12,D 是△ABC 内的任意一点 .

求证: ∠BDC=∠1+∠A+∠2 .

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.如图,∠1、∠2、∠3 是△ABC 的外角, 猜想△ABC的3个外角的和是多少?

证明你的猜想.

2. 已知:如图,在△ABC 中,BE是角平分线,点D在AB上,且DE∥BC .

求证:∠1=∠2.

(第2题) (第1题)

图11-12

107

11.4 互逆命题(1)

学习目标

1.了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立,其逆命题不一定成立.

2.通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是假命题.

学习重点与难点

重点:理解互逆命题的含义,会写出一个命题的逆命题.

难点:举出符合要求的反例;正确写出诸如“等腰三角形两底角相等”等含有“专用名词”的命题的逆命题. 学习过程

一、 预习内容

1.下列命题的条件是什么?结论是什么?

(1)同角的余角相等;

(2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.

2.(1)分别写出“同位角相等,两直线平行” 与“两直线平行,同位角相等”这两个命题的条件与结论.

(2)分别写出“对顶角相等”与“相等的角是对顶角” 这两个命题的条件与结论.

(3)上面两组命题有什么特点?

3.列举两组类似的命题,并判断这些命题是真命题还是假命题.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 说出下列命题的逆命题,并判断这些互逆命题的真假.

(1)如果a2=b2,那么a=b;

(2)直角三角形的两个锐角互余;

(3)轴对称图形是等腰三角形;

(4)正方形的4个角都是直角.

108

例2 举反例说明下列命题是假命题:

(1)如果a>b,那么a2>b2;

(2)3个角对应相等的三角形全等;

(3)任何数的平方都大于0.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.写出下列命题的逆命题,并指出其真假.

(1)若ab=0,则a=0;

(2)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;

(3)等腰三角形的两底角相等;

(4)四条边相等的四边形是菱形;

(5)如果a>0,那么a2>0;

(6)等角的补角相等;

(7)全等三角形的面积相等.

2.举反例说明下列命题是假命题:

(1)如果a+b=0,那么a>0,b>0;

(2)4条边相等的四边形是正方形;

(3)两直线被第三条直线所截,同位角相等;

△(4)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.

109

11.4 互逆命题(2)

学习目标

经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力.

学习重点与难点

重点:能运用合情推理和演绎推理证明一个命题.

难点:理解符号“?”的意义.

学习过程

一、预习内容

1.如图,AB∥CD,AB与DE相交于点G,∠B=∠D,

在下列括号内填写推理的依据:

因为AB∥CD(已知)

所以∠EGA=∠D( )

又因为∠B=∠D(已知)

所以∠EGA=∠B( )

所以DE∥BF( )

2.(1)上面的推理过程可以用符号 “?” 简明地表述如下:(符号 “?”读作“推出”)

(2)在第1题中,如果DE//BF,∠B=∠D,那么你得到什么结论?证明你的结论.(可以尝试用符号 “?”

表述)

(3)在第1题中,如果AB//CD,DE//BF,那么你得到什么结论?证明你的结沦.(可以尝试用符号 “?” 表

述)

3.小明从上面的讨论中,发观:“如果任意两个角的两条边分别互相平行,那么这两个角相等”.你认为小明的结论正确吗?为什么?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

110 C

D A G B F

三、例题讲解

例1 在四边形ABCD 中:

小明:AB∥CD .小丽:∠B=∠D.小亮:AD∥BC .

(1)请你用小明、小丽、小亮中任何两人所给出的事项作为条件,另一个事项作为结论,构造1~3个命题;

(2)你构造的命题是真命题吗?为什么?

例2 证明:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

四、总结反思

1.说说你的收获;

2.你还有什么问题?

五、反馈练习

1.如图,点D在△ABC边BC上,且∠ADC=75°,∠1=∠B,

求∠BAC的度数.

2.已知:如图,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,交BC于G,交CA延长线于E,∠E=∠AGE.

求证:AD平分∠BAC.

(第1题)

B F D

(第2题) C

111

第十一章 小结与思考

学习目标

1.进一步掌握定义、命题、定理以及互逆命题等基本概念;掌握平行线、三角形相关的几个基本事实,感受证明的必要性;知道命题的结构,会区分命题的条件和结论部分;能判断命题的真假,能写出一个命题的逆命题;

2.对一些命题能进行数学证明,掌握综合法的证明方法和证明一般格式,发展学生合情推理和演绎推理的能力;

3.通过合适的命题证明,体验数学推理的严谨性和证明的意义;逐步提高学生的逻辑推理能力. 学习重点和难点

重点:掌握命题证明的几个相关概念内涵以及证明格式和解题的一般思路.

难点:根据命题证明的三个步骤,会画示意图,写已知.

学习过程

一、预习内容

1.你能用一张知识结构图把本章的知识结构归纳出来吗?展示你所画的结构图.

2.下面的句子哪些是命题,哪些不是命题,为什么?

(1)我是南京人; (2)你吃饭了吗? (3)对顶角相等; (4)内错角相等.

3.判断命题的真假:

(1)同角的余角相等; (2)同旁内角互补,两直线相等;

(3)若m∥l,l∥n,则m∥n; (4)异号两数相加得零.

你能再各举2个真命题和假命题吗?

4.指出下列命题的条件和结论.

(1)如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直;

(2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角;

(3)全等三角形的面积相等;

5.指出下列命题的逆命题:

(1)直角都相等;

(2)同位角相等,两直线平行.

6.如图,BC∥AD,∠A=∠B.求证:BE∥AF.

(第6题)

112

二、例题讲解

例1 (1)如图①, 直线 GD、EH、FI 两两相交于点A、B、C, 根据图形填空:

∠1=∠G +∠______ ;

∠2=∠D +∠______ ;

∠3=∠H +∠______ ;

∠D+∠E +∠F+∠G+∠H+∠I=____________ .

例2 如图,将三角形纸片(△ABC)沿DE折叠.

(1)当点A落在四边形BCDE内部,则∠A、∠1、∠2的度数之间有怎样的等量关系?请你把它找出来,

并证明你的结论.

(2)当点A落在四边形BCDE外部,则∠A、∠1、∠2的度数之间又有怎样的等量关系?证明你的结论.

D 1 ① ② (2)如图②,在五角星形中,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E 的和等于多少度?并证明. C

113 1 DC A

三、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

四、反馈练习

1.下面的句子哪些是命题,哪些不是命题?

(1)延长线段AB; (2)明天可能下雨; (3)若a2>b2,则a>b.

2.判断下列命题的真假:

(1)平行于同一条直线的两直线平行; (2)能被2整除的数也能被4整除.

3.指出下列命题的条件和结论.

(1)等角的补角相等;

(2)如果a+b>0,那么a>0,b>0;

(3)两直线平行,同位角相等.

4.请把下列证明过程补充完整:

已知:如图,DE∥BC,BE平分∠ABC.求证:∠1=∠3.

证明:因为BE平分∠ABC(已知),

所以∠1=_______________( ).

又因为DE∥BC(已知),

所以∠2=___________( ).

所以∠1=∠3( ).

5.如图,点C、E、B、F在一条直线上,AC∥FD,∠A=∠D,由此你能推出什么结论?证明其中的 1个结论.

6.(1)如图①,AB∥CD,你能证明∠B+∠D=∠BED 吗?

(2)已知:如图②,AB∥CD.求证:∠B-∠D=∠E.

(第6题) (第5题)

114

12.1 等可能性

学习目标

1.会列出一些类型的随机试验的所有可能结果.

2.理解等可能概念的意义,会根据随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性.

3.会判断某件事件发生可能性大小.

学习重点和难点

重点:理解等可能概念的意义,会根据随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性. 难点:理解等可能概念的意义,会列出一些类型的随机试验的所有可能结果.

学习过程

一、预习内容

1.同学们,在七年级下册,我们同大家一起研究了《感受概率》这一章内容,请大家思考下面问题:

(1)什么样的事件是随机事件?请用生活中实例举例说明.

(2)怎样表示事件发生可能性大小?

2.(1)小明玩抛掷硬币的游戏,硬币落地.

①落地后有多少种可能的结果?

②每次试验有几个结果出现?每次试验有没有第二个结果出现?

③每个结果出现机会均等吗?为什么?

(2)一只不透明的袋子中装有10个小球,分别标有0、1、2、3……9这个10个号码,这些球除号码外都相同,

搅匀后从袋中任意取出一个球.

①每次取出有多少种可能的结果?

②每次试验有几个结果出现?有无第二个结果出现?

③每次结果出现的机会均等吗?为什么?

(3)尝试总结上述试验的共同特征.

3.水池中有一条游动的小鱼. 如果我们在某个时刻观测小鱼所在的位置.

(1)小鱼所在的位置会有多少种可能的结果?

(2)每次试验有几个结果出现?有无第二个结果出现?

(3)每次结果出现的机会均等吗?为什么?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

115

三、例题讲解

例1 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,

会出现哪些可能性的结果?

小明说:“摸出的球不是白球就是红球,所以摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的.”

小红说:“红球有2个,如果给这2个红球编号,那么摸出白球,摸出红球1,摸出红球2,这3个事件

是等可能的.”

你认为谁的说法有道理.

例2 如图12–1抛掷一枚均匀的骰子1次,落地后:

(1)朝上的点数会有哪些?它们发生的可能性一样吗?

(2)朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数,这两个事件的发生是等可

能的吗?

(3)朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4,这两个事件的发生是等

可能的吗?哪一个可能性大一些?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.把 C、H、I、N、A 这5个字母分别写在5张同样的纸条上,并将这些纸条放在一个盒子中,搅匀后从中任

意摸出1张纸条,会出现哪些可能的结果?它们是等可能的吗?

2.一只不透明的袋子中装有7个红球、3个白球,这些球除颜色外都相同. 搅匀后从中任意摸出 1 个球, 会

出现哪些可能的结果? 它们是等可能的吗?

3.A、B两地之间的电缆有一处断点,断点可能出现在哪里? 出现在各点的可能性相同吗?

4.在一副40张(没有大小王和J、Q、K)的扑克中任意抽取1张,

(1)抽到的数字(把“A”看作数字1)会有哪些?它们发生的可能性一样吗?

(2)抽到的花色会有哪些?它们发生的可能性一样吗?

(3)抽到黑桃“A”与抽到“10”,这两个事件的发生是等可能的吗? 图12-1

116

12.2 等可能条件下的概率(一)(1)

学习目标

1、在具体情境中进一步理解概率的意义,体会概率是描述不确定现象的数学模型.

2、进一步理解等可能事件的意义,会列出一些类型的随机实验的所有等可能结果(基本事件),会把事件分解成等可能的结果(基本事件).

3、能借助概率的计算判断事件发生可能性的大小.

学习重点和难点

重点:正确理解等可能事件的意义,列出一些类型的随机实验的所有等可能结果.

难点:能借助概率的计算判断事件发生可能性的大小.

学习过程

一、预习内容

1.抛掷一枚均匀的硬币一次,有哪些等可能的结果?

2.(1)回忆随机事件发生的“概率”的意义. 正面 反面

m一般地,在一定条件下大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率n

这个常数就是事件A发生的概率P(A).

1 (2)在七年级下册《感受概率》一章中,我们学习了,抛掷一枚均匀的硬币一次,正面朝上的频率稳定在2

1附近摆动,所以抛掷一枚均匀的硬币一次,P(正面朝上)=. 2

(3)小明说:抛掷一只均匀的硬币1次, 只会出现2种结果之一:正面朝上,反面朝上.因为硬币是均匀

1的, 所以这2种结果的出现是等可能的.所以,P(正面朝上)=. 2

(4)按照小明的方法,请计算抛掷一枚均匀的骰子1次,落地后“朝上的点数大于4”的概率.(请按照小明的说法完整的叙述.) ..

(5)尝试总结如何计算这类随机事件发生的概率?

3.100件产品中有60件一等品,30件二等品,10件等外品,规定一、二等品都为合格品,现任取一件产品,它是合格的概率是_____.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

117

三、例题讲解

例1 不透明的袋子中装有3个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同,拌匀后从中任意出1个球 .

(1)会出现那些等可能的结果?

(2)摸出白球的概率是多少?

(3)摸出红球的概率是多少?

例2 甲袋中装有3个白球和2个红球, 乙袋中装有30个白球和20个红球, 这些球除颜色外都相同, 把两

袋中的球都搅匀.从哪个袋中任意取出1个球,恰好是红球的可能性大?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.一道选择题有A、B、C、D四个选项,其中有且只有一个正确的选项.随意在A、B、C、D中选择一个答

案, 所选答案恰好正确的概率是多少?

2.一只袋子中,装有3个白球和 7个红球,这些球除颜色外都相同,从袋子中任意摸出1个球 .

(1)P(摸到白球)=_____, P(摸到红球)=_____ ,

P(摸到绿球)=_____, P(摸到白球或红球)=_____ ;

(2)从袋子中任意摸出1个球, 摸到白球的可能性大还是摸到红球的可能性大?

33.请举出两个随机事件,它们发生的概率都是 5

118

12.2 等可能条件下的概率(一)(2)

学习目标

1.会用列举法(即列表或画树状图)计算一些随机事件所含的可能结果(基本事件)数及事件发生的概率. 学习重点和难点

重点:会用列举法(即列表或画树状图),计算一些随机事件所含的可能结果数及事件发生的概率. 难点:正确列表或画树状图.

学习过程

一、预习内容

1.袋中有5个大小一样的球,其中红球有2个、黄球有2个、白球1个.从袋中摸出一个球,得到红球、白球、黄球的概率各是多少?

2.(1)思考:抛掷一枚均匀的硬币2次,2次抛掷的结果都是正面朝上的概率有多大?

①小明说:抛掷一枚均匀的硬币2次, 会出现4种可能的结果:

第一次正面朝上,第二次正面朝上,记作(正,正);

第一次正面朝上,第二次反面朝上,记作(正,反);

第一次反面朝上,第二次正面朝上,记作(反,正);

第一次反面朝上,第二次反面朝上,记作(反,反).

这4种结果是等可能的. 所以2次都是正面朝上的概率为_________.

②小红说:对于第一次抛掷来说,可能出现的结果不是正面朝上就是反面朝上;对于第二次抛掷来说结

果也是这样.由于硬币是均匀的,所以正面朝上和反面朝上是等可能的.由此,我画出下图:

(反,正) (反,反)

这4种结果是等可能的. 所以2次都是正面朝上的概率为_________.

③小亮说:我还可以利用表格列出所有可能出现的结果.

这4种结果是等可能的. 所以2次都是正面朝上的概率为_________.

(2)甲口袋中装有2个相同的小球,1个红色1个白色;乙口袋中装有3个相同的小球,2个红色1个白色.从

这2个口袋中各任意摸出1个小球,摸出的2个球都是红色的概率是多少?

请分别用小明、小红和小亮的方法列出所有等可能的结果,并计算摸出的2个球都是红色的概率.

119 (正,反) 第一掷 第二掷 所有可能出现的结果 (正,正) 正面 反面

(3)比较这三种方法,说一说各自的特点.

3.选择一种方法,计算下面随机事件发生的概率.

小明有3件上衣,分别为红色、黄色、蓝色,有2条裤子,分别为蓝色和棕色.小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上,恰好是蓝色上衣和蓝色裤子的概率是多少?

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,

记录下颜色后放回袋中并搅匀,再从中任意摸出1个球,两次都摸出红球的概率是多少?

120

思考:如果在例1中,在摸出1个球后不放回袋中,再从中任意摸出1个球,两次都摸出红球的概率是多少?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.小丽掷一枚均匀的骰子2次.

(1)用树状图或表格列出所有可能的结果;

(2)求两次点数之和为7的概率.

2.一只袋中装有1个红球和1个白球,这些球除颜色外都相同.搅匀后从袋中任意摸出1个球,记录下颜色后

放回袋中,并摇匀,再从中任意摸出1个球,2次摸出的球颜色相同的概率是多少?

3.抛掷1枚均匀的硬币3次, 列出所有可能的结果,3次抛掷的结果都是正面朝上的概率是多少? 121

12.3 等可能条件下的概率(二)

学习目标

1.在具体情境中进一步理解概率的意义,体会概率是描述不确定现象的数学模型.

2.进一步理解等可能事件的意义,了解等可能条件的概率(二)的特点.

3.能把等可能条件的概率(二)转化为等可能条件下的概率(一),并能进行简单的计算.

4.在具体情境中感受到一类事件发生的概率的大小与面积大小有关.

学习重点和难点

重点:会求等可能条件下的几何概型(转盘、方格等)的概率.

难点:理解等可能条件下的几何概型概率计算的方法,体会转化的思想.

学习过程

一、预习内容

1.在一个不透明的口袋中装有8个小球,其中有6个红球,2个蓝球,从其中随机摸出1个球,摸到红球的概率是多少?

2.(1)一个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成8个相等的扇形,任意转动每

个转盘.

①转盘转到红色与蓝色的可能性相同吗?

②转盘转一周时,指针停留的位置有多少种可能?

③你会计算指针指向红色区域的概率吗?尝试进行计算.

④你认为概率大小与什么因素有直接关系?

⑤若每个转盘中红色扇形的个数不变,但位置变化一下,结果还是一样吗?

(2)尝试总结这类问题计算概率的方法.

3.一只自由飞行的小鸟,将随意地落在如图所示的方格地面上(每个小方格除

颜色外完全相同).求小鸟落在绿色方格地面上的概率.

4.你还有什么问题?

二、数学概念(或模型)

三、例题讲解

例1 某商场为了吸引顾客,开展有奖销售活动,设立了一个可以自由转动的转盘,转盘等分为16份,其中红色1份、蓝色2份、黄色4份、白色9份.商场规定:顾客每购满1000元的商品,就可获得一次转动转盘的机会.转盘停止时,指针指向红、蓝、黄区域,顾客可分别获得1000元、200元、100元的礼品.某顾客购物1400元,他获得礼品的概率是多少?他分别获得1000元、200元、100元礼品的概率是多少?

绿色蓝色

红色

122

例2 小明要用如图所示的转盘进行“配绿色”游戏.方法如下:旋转两个转盘,待转盘停止,分别得到箭头

所指的两种颜色,再将两种颜色进行配色,黄、蓝色可配成绿色.

1并据此算出配成绿色的概率是,他的做法对吗? 4

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.如图,转盘中各扇形的面积都相等. 任意转动转盘1次, 求下列各事件的概率.

(1)指针指向6;

(2)指针指向偶数;

(3)指针指向小于4的数;

(4)指针指向不大于4的数;

(5)指针指向大于0的数.

2.如图,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外完全相同,假定飞镖击中每一块小正方形是等可能的:

(1)投掷一个飞镖,击中哪种颜色小正方形的概率较大?

(2)P(击中白色小正方形)=________,

P(击中黑色小正方形)=________.

(第2题) (第1题)

113.设计一转盘, 使得指针指向红色区域的概率为,指针指向黄色区域的概率为,指针指向蓝色区域的概率24

1为 4

123

第十二章 小结与思考

学习目标

1.回顾本章的学习内容,并在互相交流的基础上,梳理本章的学习内容,形成知识网络.

2.加深对知识的理解,增强应用数学的意识,发展综合运用所学知识解决问题的能力.

3.反思本章的数学思想方法,进一步理解概率的意义,发展随机的思想和意识.

学习重点和难点

重点:会用“树状图”和列表法求事件的概率.

难点:正确理解等可能的意义.

学习过程

一、预习内容

1.你能用一张知识结构图把本章的知识结构归纳出来吗?展示你所画的结构图.

2.什么是等可能?什么是试验的结果有等可能性?举例说明 .

3.抛掷一枚均匀的硬币2次,会出现哪些等可能的结果?小明认为:总共有3种可能的情形,出现2个正面、

12个反面和一正一反,它们是等可能的,概率都是 小明的说法正确吗? 为什么? 3

4.学校升旗要求学生穿校服,但有一些粗心大意的学生忘记了,若500名学生中没有穿校服的学生为25名,则任意叫出一名学生,没穿校服的概率是_____ ,穿校服的概率是_____.

5.黑暗里从一串钥匙(10把,其中只有一把能打开门)中随意选取一把,用它打开门的概率是______.

6.口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球,从中摸出红球的概率是0.2,摸出白球的概率是0.5,那么摸出黑球的概率是_____.

7.6张卡片上分别写有0、1、2、3、4、5,将它们放入袋子中,摸出一张是奇数的概率是____,是偶数的概率是_____,小于5的概率是____.

8.如图,A、B两个转盘分别被平均分成三个、四个扇形,分别转动A盘、B盘各一次.转动过程中,指针保持不动,如果指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字所在的区域为止.请用列表或画树状图的方法,求两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的概率.

A

B 124

9.旋转如图所示的转盘甲和转盘乙的指针,如果你想让指针停在蓝色上,那么选哪个转盘能使你成功的可能性

比较大?

学生1说,转盘乙大,相应地,蓝色部分的面积也大,所以选转盘乙成功的可能性大.

1学生2说,每个转盘只有两种颜色,指针不是停在红色上就是停在蓝色上,成功的概率都是2

哪个转盘都可以.

你同意这两位学生的说法吗?说说你的理由.

三、例题讲解

例1 (1)下列每一个袋子中都装有除颜色外其它均相同的若干红球和白球,

第一个袋子:红球1个,白球59个;

第二个袋子:红球10个,白球20个;

第三个袋子:红球7个,白球5个;

第四个袋子:红球的个数∶白球个数=3∶2,

那么从中任意摸出一个球,摸到红球可能性最大的是第 个袋子.

(2)下列四个袋子中都装有除颜色外其它均相同的若干红球和白球,比较四个袋子的红、白球数发现:

第一个袋子中的总球数最多;

第二个袋子中的红球数最多;

第三个袋子中红球数减去白球数的差最大;

第四个袋子中红球数除以白球数的商最大,

那么从中任意摸出一个球,摸到红球可能性最大的一定是第 个袋子. ..

例2 某厂为新型号电视机上市举办促销活动,顾客每购买一台该型号电视机,可获得一次抽奖机会,该厂拟

按10%设大奖,其余90%为小奖.

厂家设计的抽奖方案是:在一个不透明的盒子中,放入10个黄球和90个白球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,摸到黄球的顾客获得大奖,摸到白球的顾客获得小奖.

(1)厂家请教了一位数学老师,他设计的抽奖方案是:在一个不透明的盒子中,放入2个黄球和3个白

球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出2个球,摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖,其余的顾客获得小奖.该抽奖文案符合厂家的设奖要求吗?请说明理由;

转盘甲 转盘乙 125

(2)下图是一个可以自由转动的转盘,请你将转盘分为2个扇形区域,分别涂上黄、白两种颜色,并设

计抽奖方案,使其符合厂家的设奖要求.(友情提醒:1.在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的

度数.2.结合转盘简述获奖方式,不需说明理由.)

△ 例3 将A,B,C,D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛,每组两人.

(1)A在甲组的概率是多少?

(2)A,B都在甲组的概率是多少?

四、总结反思

1、说说你的收获;

2、你还有什么问题?

五、反馈练习

1.在1个不透明的口袋里装了一些红球和白球,每个球除颜色外都相同.将球摇匀,从中任意摸出一个球,若

1摸到红球的概率是,则袋中的球的个数情况是( ) 4

A.红球2个,白球8个 B.红球1个,白球4个

C.红球与白球的个数之比是1∶4 D.红球与白球的个数之比是1∶3

2.现有某种产品100件,其中5件次品,从中随意抽出1件,恰好抽到次品的概率是多少?

3.一只袋中放有3个白球、1个红球,它们除颜色外完全相同.从袋中任意摸出1个球恰好是红球的概率是多

少?

4.一套书共有上、中、下三册,将它们任意摆放到书架的同一层上,这三册书从左向右或从右向左恰好成上、

中、下顺序的概率是多少?

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