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第八章、二元一次方程组

发布时间:2014-02-25 12:05:33  

二元一次方程组的常见解法

河北 黄艳玲

二元一次方程组中含有两个未知数,所以解思二元一次方程组的主要思路就是消元,即消去一个未知数,使其转化为一元一次方程,这样就可以先解出一个未知数,然后设法求另一个未知数.常见的消元方法有两种:代入消元法和加减消元法.

一、代入法 即由二元一次方程中的一个方程变形,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程中,实现消元进而求解.一般情况下用代入法解方程组时,选择变形的方程要尽可能的简单,表示的代数式也要尽可能的简单,以利于计算. 2x+5y=-21 ①

例1、解方程组

x+3y=8 ②

解 由②得:x=8-3y ③

把③代入①得 2(8-3y)+5y=-21

解得:y=37

把y=37

代入③得:x=8-3×37=-103

x=-103

所以这个方程组的解是

y=37

二、整体代入法 当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时,用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形,用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程. 3x-4y=9 ①

例2、解方程组

9x-10y=3 ②

解 由①得3x=4y+9 ③

把③代入②得 3(4y+9)-10y=3

解得 y=-12

把y=-12代入③得 3x=4×(-12)+9

解得 x=-13

x=-13

所以方程组的解是

y=-12

三、加减消元法 即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时,让两个方程相减.如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减.消去一个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫加减消元法. 2x+3y=14 ①

例3、 解方程组

4x-5y=6 ②

解 由①×2得 4x+6y=28 ③

③-②得:11y=22

解得 y=2

把y=2代入②得 4x-5×2=6

解得 x=4

x=4

所以方程组的解为

y=2

四、整体运用加减法 即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时,可以把这两个方程两边相加或相减,把相同的部分整体消去.

3(x+2)+(y-1)=4 ①

例4 解方程组

3(x+2)+(1-y)=2 ②

解 ①-②得 (y-1)- (1-y)=4-2

整理得 2y=4

解得 y=2

把 y=2 代入①得3(x+2)+(2-1)=4

整理得 3x+7=4

解得 x=-1

x=-1

所以方程组的解为

y=2

解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法,因为方程的形式是多种多样的.所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法.

解二元一次方程组的常用技巧

山西 耿京娟

解二元一次方程组时,要注意分析二元一次方程组的特点,虽然代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组的主要方法,但对于某些特殊的二元一次方程组,根据实际情况对其作适当变形,采取灵活的方法.用技巧将其解出来.

1. 整体代入法

例1解方程组

分析: 将 作为一个整体代入消元,这种方法称为整体代入法,本题把

再代入(2)简单得多. 看作一个整体代入消元比把(1)变形为

解:由(1)得

(3)

把(3)代入(2),得

解得

把 代入(3),得

解得

∴ 方程组的解为

2.消项法

分析 因两方程中x的系数与常数项成比例,即5∶3=25∶15,因此可同时消去x和常数项.

解 ①·3-②·5,得-14y=0,

∴ y=0.将y=0代入①

3.比值法

9k+16k=25,∴k=1.

4.对称法

分析 观察方程组不难发现:把其中任意一个方程中的两个未知数互换位置,得到的方程恰为另一个方程.不难验证在这种情况下,将原方程组中任一方程与y=x联立求得的解即为原方程组的解,这种方法称为对称消元法.

解 原方程组与下列方程组的解相同.

把②代入①,得x=35,

5.换元法

则原方程组可化为

构造二元一次方程组解题

皖 南 赵昌胜

许多题目,仔细观察、分析,不难发现解决它的方法就是二元一次方程组。

一、利用非负数的性质构造

例1 已知(5x- 2y-3)2 +∣2x-3y+1∣=0 求x+y的值 解:由非负数的性质可得:解得则x+y=2 二、利用方程的定义构造 例2 若方程3xa+3b-3+2y2a+b-2=6 是关于x、y的二元一次方程,求a、b 的值 解:由题意得:解得三、利用方程的解的定义构造

例3 对于有理数m的任意值,方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5有唯一的一组解,求此方程的解。

解:将已知方程整理为(x+2y-1)m= x+y-5

由题意得解得四、利用公共解的定义构造

2x-y=7 x+by=a

例4 已知方程组 ax+y=b和 3x+y=8 有相同的解,求a 、b的值

解:依题意,将方程2x-y=7和3x+y=8 联立

2x-y=7 x=3

得 3x+y=8 解得 将它们代入方程ax+y=b和x+by=a 联立得 3a- 1=b a=1

3- b=a 解得 b=2

五、利用实际问题构造

例5 某建筑工地派48人去挖土或运土,若每人平均挖土4方或运土2方,应怎样分配挖土和运土的人数,正好能够使挖出的土及时运走?

解:设应分配x 人挖土,y 人运土。由题意可得

x+y=48 4x=2y 解得 y=32

答:略

以后将学到利用多项式的定义,同类项的定义构造二元一次方程组解题,如二次三项式2xa+b+1-(3a+2b- 4)x+5的一次项的系数为1,求a 、b的值;单项式4ax+yb5与6a3 bx-y 是同类项,求x、y的值。这两题都要通过构造二元一次方程组来解决。

中考中的图表信息题赏析

山东 赵卫东

近年来,在全国各地的中考试题中,出现了一类新颖的“面孔”,那就是图表信息题.这种题目,打破了传统的抽象、纯数学的模式,而是通过图形或表格向我们提供信息,从而增强了试题的直观性、趣味性,给人以耳目一新的感觉.现把06年中考试题中关于二元一次方程组的图表信息题展示如下,供同学们参考.

1.(河北省非课改区)根据图1提供的信息,可知一个杯子的价格是( ) (A)51元 (B)35元 (C)8元 (D)7.5元 解:设一只暖瓶的价格为x元,一个杯子的价格为y元,根据题意,得

?x?y?43,

?

2x?3y?94.?

?x?35,解得?故应选(C).

?y?8.

共43

共94

(图1)

?

2.(南昌市非课改区)一副三角板按如图方式摆放,且?1的度数比?2的度数大50,若设?1?x,?2?y,则可得到方程组为( )

?

?

(A)?

?x?y?50,

?x?y?180?x?y?50,

x?y?90?

(B)?

?x?y?50,

?x?y?180?x?y?50,

x?y?90?

?

(C)?

(D)?

(图2)

解:由题知,?1的度数比?2的度数大50,则x?y?50,即x?y?50;又由图知,∠1和∠2互余,则x?y?90,所以可得方程组?

?x?y?50,

,应选(D).

?x?y?90

3.(鄂尔多斯市课改区)国家为九年义务教育期间的学生实行“两免一补”政策,下表是我市某中学国家免费提供教科书补助的部分情况.

方程组为( )

?x?y?300(A)?

110x?90y?26200?

(B)

?x?y?300 ??110x?90y?4000?26200

(C)??x?y?80?300 x?y?4000?26200? (D)??x?y?80?300 110x?90y?4000?26200?

解:由人数关系可得方程x?y?80?300;由免费补助金额关系可得方程

. 110x?90y?4000?26200,故应选(D)

4.(泰州市课改区)扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图3所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm,求这种药品包装盒的体积.

解:设这种药品包装盒的宽为xcm,高为ycm,则长为(x?4)cm,根据题意,得 ?2x?2y?14  ?x?4?2y?13??x?5解这个方程组得? y?2?

故长为9cm,宽为5cm,高为2cm.

体积V?9?5?2?90(cm). 3(图3)

答:略.

5.(海南省非课改区)某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品,根据图4提供的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?

共计145元 共计280元

(图4)

解:设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元. 根据题意,得 ?x?2y?145?x?125 解这个方程组,得 ??2x?3y?280y?10??

答:略.

6.(吉林省课改区)如图5,在3?3的方格内,填写了一些代数式和数.

(1)在图(1)中各行、各列及对角线上三个数之和都相等,请你求出x,y的值;

(2)把满足(1)的其它6个数填入图(2)中的方格内.

解:(1)由已知条件可得: 2x 3 2 3 2

?3 y ?3

4y

(1)

(图5) (2)

?2x?3?4y?3, ??y?4y?5.

解得?,?x??1 y?1.?

(本题列方程组具有开放性,只要列、解方程组正确即可).

(2) ?2 3 2

5 1 ?3 0 ?1 4 (图6)

聚焦正方形的探究

山东 石少玉

在近几年的中考试题中,与正方形有关的探究题层出不穷,今举数例,供参考. 例1. 如图,四边形ABCD是正方形,CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线. A D A D A D E E E

F B F B F B C C C ⑴ (供操作用) (供操作用)

(如果需要,还可以继续操作、实验与测量)

⑴操作实验:将直角尺的直角顶点P在边BC上移动(与点B、C不重合),且一直角边经过点A,另一直角边与射线CE交于点Q,不断移动P点,同时测量线段PQ与线段PA的长度,完成下列表格(精确到0.1cm).

⑵观测测量结果,猜测它们之间的关系: ;

⑶请证明你猜测的结论;

⑷当点P在BC的延长线上移动时,继续⑴的操作实验,试问:⑴中的猜测结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

分析:本题以一个正方形,一个直角三角板为背景,让同学们通过旋转三角板,动手测量,探索图形在运动变化过程中的“不变量”。通过仔细观察,准确测量,大胆猜想,严密推理,从特殊到一般,构建三角形全等,得出线段相等,本题的结论不难得出。 解析:⑴略;

⑵猜测结论:PA=PQ; ⑶证明:如图1,在BA上取BH=BP,连结PH,

∵AB=BC,∴AH=PC,∠AHP=∠PCQ=135°, 且∠HAP=∠CPQ(同为∠APB的余角),

∴△AHP≌△PCQ,∴PA=PQ;

E H A H B

P C

图1

D F

B

图2

C P

F

E

A

D

⑷当点P在BC的延长线上时,如图2,仍有结论PA=PQ, 证明:在BA的延长线上取AH=CP,连结PH,

则有BH=BP,∴∠AHP=45°, 而∠PCQ=45°,∴∠AHP=∠PCQ,

又∵AD∥BP,∴∠DAP=∠CPA,∠HAP=∠CPQ, ∴△AHP≌△PCQ,∴PA=PQ;

例2. 已知正方形ABCD.

(1)如图1,E是AD上一点,过BE上一点O作BE的垂线,交AB于点G,交CD于点H.求证:BE=GH;

(2)如图2,过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线,分别交AD、BC于点E、F,交AB、CD于点G、H,EF与GH相等吗?请写出你的结论;

(3)当点O在正方形ABCD的边上或外部时,过点O作两条互相垂直的直线,?被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗?其中一种情形如图3所示,过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n,m与AD、BC的延长线分别交于

点E、F,n与AB、DC的延长线分别交于点G、H.试就该图形对你的结论加以证明.

ABEnm

图3

解析:(1)证明:在图1中,过点A作GH的平行线,交DC于点H′,交BE于O′.(1分)

∵ABCD是正方形, ∴∠D=90°,∠H′AD+∠AH′D=90°. ∵GH⊥BE,A′H∥GH, ∴AH′⊥BE.

∴∠H′AD+∠BEA=90°.

∴∠BEA=∠AH′D. 在△BAE和△ADH′中,

,?BA?AD?, ??BAE??D

??BEA??A`HD?

∴△BAE≌△ADH′.

∴BE=AH′=GH.

(2)EF=GH.

(3)相等.

证明:在图3中,过点A作m的平行线交BC于点F′,过点D作n的平行线交AB于点G′.

由(1)可知,Rt△ABF′≌△DAG′,所以AF′=DG′.

从而可证明EF=GH.

例3. 如图l,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM?BE,垂足为M,AM交BD于点F.

(1)求证:OE=OF;

(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM?BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.

ADA

D

F

B

(1)C EMBF(2)CE

解析:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形.

∴?BOE=?AOF=90?.OB=OA.

又∵AM?BE,∴?MEA+?MAE=90?=?AFO+?MAE

∴?MEA=?AFO.

∴Rt△BOE≌ Rt△AOF.

∴OE=OF.

(2)OE=OF成立 .

证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴?BOE=?AOF=90?.OB=OA.

又∵AM?BE,∴?F+?MBF=90?=?B+?OBE

又∵?MBF=?OBE

∴?F=?E.

∴Rt△BOE≌ Rt△AOF.

∴OE=OF .

8.1 二元一次方程组练习1

第1题. 下列方程①2x?x3y?1;②??3;③x2?y2?4;④5(x?y)?7(x?y);2y3

⑤2x?3;⑥

第2题. 如果x21?4.其中是二元一次方程的是 .答案:①,④. 2x?ya?2?2yb?1?0是二元一次方程,则a?____,b?____.

答案:3,0.

第3题. 下列各式中的二元一次方程是 ( )

A.6x?y?7 B.

答案:A.

第4题. 已知方程mx?2y?3x?4是关于x,y的二元一次方程,那么m的取值范围为 .答案:m?3.

第5题. 在方程(a?4)x?(2?3a)x?(a?1)y?3a?0中,若此方程为二元一次方程,则2211x??0 C.4x?xy?5 D.x2?x?1?0 5y

a的值为.答案:a??2.

第6题. 若(m?1)x?(n?1)yn?5是关于x,y的二元一次方程,则m?____,n?____.

?m?1??n?1答案:解:若为二元一次方程,则?,解得m?1,n?1.

?m?1?0

?n?1?0?

第7题. 已知(m?1)x

第8题. 如果5x

3m?2nm?y?0是关于x,y的二元一次方程,则m?____.答案:1. ?2yn?m?11?0是二元一次方程,则m,n分别是什么.

?3m?2n?1答案:解:由题意可知: ?,求得m?3,n?4. n?m?1?

第9题. 二元一次方程y?2x?5的正整数的解是 .答案:?

第10题. 已知x?

第11题. 对于二元一次方程3x?2y?11,下面结论正确的是 ( ) A.任何一对有理数都是它的解

C.只有两个解

答案:D.

B.只有一个解 D.有无数个解 ?x?1?x?2,?. y?3y?1??119,y?是方程x?ay?2的一个解,则a?____.答案:?. 223

第12题. 二元一次方程2x?y?7的正整数的解为 ( ) A.一组

答案:C.

B.二组 C.三组 D.四组

第13题. 已知二元一次方程3x?y?0的一个解是?

A.?x?a,其中a?0,那么( ) y?b?D.以上都不对 b?0 aB.b?0 aC.b?0 a

答案:C.

第14题. 若?

?x?1是方程x?my?1的一个解,则m?____.答案:0. ?y?2

?x?2?x?5第15题. 方程4x?3y?20的所有非负整数解为 .答案:? ?. y?4y?0??

第16题. 求方程2x?3y?15的正整数解.

?x?3?x?6答案:解:当x?3时,y?3;当x?6时,y?1∴正整数解为? ? y?3y?1??

第17题. 试求二元一次方程3x?y?10的所有自然数解.

答案:当x?0时,y?10;x?1时,y?7;x?2时,y?4;x?3时,y?1 ∴自然数解为

?x?1?x?0?x?2?x?3 ?????y?7?y?10?y?4?y?1

?3x?2y?5第18题. 若方程组?是二元一次方程组,则b?____.答案:0. y?bz?4?

第19题. 下列方程组中,是二元一次方程组的是( )

A.??x?3y?5 2x?3z?3??m?3n?1?m?n?5?B.?m2n C.? mn?n?6??1???63?3x?2y?10?D.? 2x??6?y?

答案:B.

第20题. 下列方程组:⑴??x?3y?5?xy?1?0?x?y?6?x?6⑵?⑶?⑷?中,属2x?y?1x?yy?1?z?42y?x?3????

C.只有三个 D.四个都是 于二元一次方程组的( ) A.只有一个 B.只有两个

答案:B.

2??x?y?(c?3)y?0第21题. 若?a是关于x,y的二元一次方程组,求a,b,c. b?3??x?y?4

?c?3?0?c?3?0?c?3?0???答案:解:若此方程组是二元一次方程组,则?a?1或?a?1或?a?0.

?b?4?b?3?b?4???

即a?1,b?4,c?3;或a?1,b?3,c?3;或a?0,b?4,c?3.

?3x?(m?3)ym?2?2?1?第22题. 已知方程组?是关于x,y的二元一次方程组,求m的值. ??(m?1)x??2

答案:解:由题意可知m?1?0,m?3?0,m?2?2?1∴m?5.

?111?2x?y?3????2x?y?1?x?2第23题. 下列方程组:⑴?⑵?xy3⑶?⑷?,是二元一x?y?53x?2z?5y?1???x2?2y?5??

次方程组的是 .答案:⑴,⑷.

第24题. 写出一个以?

?x??1?x?y?1为解的二元一次方程组 .答案:?. ?y?2?2x?y?0

?x?2?2x?y?17第25题. 若?是方程组?的解,则k?____.答案:. 2?y??3?kx?3y??2

第26题. 若?

第27题. 若(5x?2y?12)?3x?2y?6?0,则2x?4y?____.答案:0.

2?x?3?ax?by?1是方程组?的解,那么a?____,b?____.答案: 1,?1.y?2ax?by?5??

《二元一次方程组》中的数学思想

江西 周光明

我们在学习数学知识和数学方法的同时不能忽视蕴含于其中的数学思想,那么,《二元一次方程组》这一章中蕴涵着哪些数学思想呢?

一、消元转化的思想

代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组的两种方法,通过这两种消元的方法把二元一次方程组转化为一元一次方程,由此可以看出,解二元一次方程组的过程就是转化的过程,最终目的就是转化为一元一次方程,从而获解.

例1 解方程组??x?2y?2?0,①

?7x?4y??41.②

分析:由于方程①中x系数为1,可将方程①变形为x=-2y-2,然后代入法方程②,从而消去x,得到关于y的一元一次方程.

再者,方程①和方程②中y的符号相反,且系数成2倍关系,故还可以用加减消元法. 解法1:由①,得x=-2y-2. ③

把③代入②,得7(-2y-2)-4y=-41,解得y=

将y=3代入③,得x=-5. 23. 2

?x??5,?所以这个方程组的解为?3 y?.?2?

解法2:①×2+②,得9x=-45,即x=-5.

将x=-5代入①,得y=3. 2

?x??5,?所以这个方程组的解为?3 y?.?2?

二、整体探求的思想

对于一个问题,不是从局部着手,而是从大处着眼,从整体上探求解题途径的数学思想方法叫整体探求思想,在《二元一次方程组》中,体现这种思想方法的地方很多,课本中的许多习题都可以用这种思想去简捷求解.

例3 解方程组??x?2y?2,

?3x?7y?7.①②

解:②变形,得3(x?2y)+y=7.③

把①代入③,得6+y=7,解得y=1.

把y=1代入①,解得x=0.

所以原方程组的解是?

三、方程思想 ?x?0 ?y?1.

将数量关系转化为方程(组)的形式,通过解方程(组)使问题得以解决的思维形式就是方程的思想,用方程思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多.

解:设每块地砖的长为xcm,宽为ycm

根据题意,得??x?y?60, x?3y.? ?x?45, 解这个方程组,得 ? y?15.?

答:每块地砖的长为45cm,宽为15cm.

如何解三元一次方程组

江苏 庄亿农

解三元一次方程组的基本思想和二元一次方程组一样,仍然是消元,其基本方法也是代入消元法和加减消元法,一般步骤为:(1)利用代入法和加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;(2)解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;(3)将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个未知数写在一起就是所求三元一次方程组的解.在具体解题中,可根据题目的特点,灵活消元,下面举例说明.

?x

?3y?2z?2①

?例1 解方程组?3x?2y?4z?3 ②

③ ?2x?y?7?

解析:由于方程③是关于x、y的二元一次方程,缺少未知数z,所以可先消去①②方程中的z,再与③组成二元一次方程组.

?2x?y?7③

①×2+②,得5x+8y=7④.解③④组成的方程组? ④ ,得x=3,y=-1.把?5x?8y?7

?x?3?x=3,y=-1代入①,得z=1.所以原方程组的解为?y??1.

?z?1?

点评:若方程组中某一个方程缺少某个未知数,则可从另外两个方程中消去这个未知数,转化为二元一次方程组求解.

?2x?4y?3z?9①

?例2 解方程组?3x?2y?5z?11 ②

?5x?6y?7z?13③ ?

解析:观察三个方程发现,未知数y的系数成倍数关系,因此可考虑先消去y.

①+②×2,得8x+13z=31④.②×3-③,得4x+8z=20,即x+2z=5⑤.解④⑤组成的方

程组??8x?13z?31 ,得x=-1,z=3.把x=-1,z=3代入②,得y=0.5.所以原方程?x?2z?5

?x??1?组的解为?y?0.5.

?z?3?

点评:若三个方程中有某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系,可先消去这个未知数,转化为二元一次方程组求解.

?2x?3y?4z?3①

?例3 解方程组?3x?4y?5z?5 ②

?5x?7y?6z?23③ ?

解析:显然此题不具备上述两种情况,可考虑消去未知数系数较为简单的系数,观察发现,这里的x系数的最小公倍数最小,因此应先消去x.

①×3-②×2,得y-2z=-1④.①×5-③×2,得y-32z=-31⑤.解④⑤组成的方?y?2z??1④

程组? ⑤ ,得y=1,z=1.把y=1,z=1代入①,得x=2.所以原方程组的解y?32z??31?

?x?2?为?y?1.

?z?1?

点评:对于不具有例1和例2两种情况的三元一次方程组,可找出系数绝对值的最小公倍数最小的那个未知数,消去这个未知数,转化为二元一次方程组求解.

巧解三元一次方程组

江苏 韩恒阳

对于一些特殊的三元一次方程组可采取一些特殊的方法来求解,笔者举出数例来说明。

一、整体代入法

例1 解方程组

x-z=-4 (1)

z-2y=-1 (2)

x+ y-z =-1 (3)

解:将(1)代入(3)得,y=3,将y=3代入(2)得,z=5,再将其代入(1)得x=1

x=1

y=3

z=5

二、整体相加法

例2 解方程组

x+y=1 (1)

y+z=6 (2) (3)

分析:将三个方程组相加再除以2可得,x+y+z=5,将此方程与原方程组的各个方程作差就可得到x、y、z的值。

解:(1)+(2)+(3)得,2(x+y+z)=10

即x+y+z=5 (4)

(4)-(1)得,z=4;(4)-(2)得x=-1

(4)-(3)得,y=2,因此原方程组的解为

x=-1

y=2

z=4

三、比值法

例3:解方程组

:y=5:3 (1)

x:z=7:3 (2)

-y-z=34 (3)

分析(1)、(2)为比例式,启示我们可应用比值消元法。

解:由(1)、(2)可设x=35k y=21k z=15k 将其代入(3)得,k=1

因此原方程组的解为y=21

四、对称消元法

3x+2y+4z=8 (1)

例4 解方程组 2x+3y+4z=8 (2)

5x+5y+6z=22 (3)

解:∵x、y互换方程组不变,即方程组关于x、y对称,∴x=y 方程组可化为 x=4

解得5x+3z=11 z=-3

x=4

y=4

z=-3

《二元一次方程组》复习导航

一、想一想复习目标

1.通过复习,进一步了解二元一次方程和二元一次方程组及它们的解.

2.能熟练地解简单的二元一次方程组.

3.能从实际问题中抽象出二元一次方程组,加深对数学模型的认识,体会数学化的过程,提高用数学分析和解决问题的能力.

4.了解“消元”的方法,从而进一步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想.

3.了解三元一次方程组及其解法,进一步体会“消元”思想,能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.

二、看一看重、难点

1.重点:⑴能熟练运用两种消元法解二元一次方程组.

⑵能利用二元一次方程组这个“模型”解答生活中的实际问题.

2.难点:列方程组解实际问题时,如何寻找等量关系.

三、理一理知识要点

(一)二元一次方程组的有关概念

1.二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.

注意:二元一次方程是整式方程,即方程两边必须是整式,如果某些项是分数形式,分母里必须不含未知数.

2.二元一次方程的一个解:能使二元一次方程两边相等的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.

注意:⑴二元一次方程的一个解是一对未知数的值,写出来时,一般要用大括号合在一起.单说一个未知数的值,不能叫二元一次方程的一个解.

⑵任何一个二元一次方程,一般都有无数个解,但当一些方程中未知数的取值有某些条件限制时,方程的解也可能只有有限个.

3.二元一次方程组:由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组. 注意:⑴二元一次方程组里一共含有两个未知数.例如,??x?y?4,不是二元一次方程y?z?0?

组,因为方程组里含有三个未知数.

⑵方程组里的两个方程中,同一字母必须表示同一数量,这样才能合在一起(解应用题时尤其要注意).

4.二元一次方程组的解:二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

注意:一般情况下,一个二元一次方程组只有惟一一个解,但实际上,二元一次方程组的解还有另外两种情况:无解或有无数个解.

(二)二元一次方程组的解法

1.代入法:将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来,再代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.

注意:⑴运用代入法时,将一个方程变形后,必须代入另一个方程,否则就会得出“0

=0”的形式,求不出未知数的值.

⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或-1时,用代入法较简便.

2.加减法:通过将方程组中两个方程相加(或相减),消去一个未知数,得到一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.

注意:⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较简便. ⑵如果所给(列)方程组较复杂,不易观察,就先变形(去分母、去括号、移项、合并等),再判断用哪种方法消元好.

(三)二元一次方程组的应用

1.在解某些非实际问题时,有时要利用二元一次方程组.

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤:

⑴设出题中的两个未知数;

⑵找出题中的两个等量关系;

⑶根据等量关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,并组成方程组;

⑷解这个方程组,求出未知数的值.

⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.

注意:对于可解的应用题,一般来说,有几个未知数,就应找出几个等量关系,从而列出几个方程.即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等.

3.列一元一次方程与列二元一次方程组的比较与评判

有些应用题,既能列一元一次方程,也能列二元一次方程组.这两种解法有联系也有区别,列一元一次方程的优点是未知数少,解方程相对较容易(不用消元),但要求具有较高的思维水平,因为在列一元一次方程设未知数时,已经将一未知量用另一个未知量表示出来了,这相当于完成了代入消元法的前几步.列二元一次方程组的优点是易设、易列,难度相对较低,但解方程时需要先消去一个未知数,变为一元一次方程.若一道应用题用什么方法求解未作要求,则用何种方法都可以.

(四)二元一次方程和两个数量之间的对应关系

1.给定一个二元一次方程,实际上就确定了两个数量之间的一种对应关系,这种对应关系可以通过对方程变形(即用含一个字母的式子表示另一个字母)而得到.两个量的每一对对应数值,都是这个二元一次方程的一个解.

2.可以从两个数量之间对应关系的角度,来解二元一次方程组.步骤是:

⑴变形.将方程组中每个方程都变形为用一个字母表示另一个字母的形式.

⑵列表并求值.

⑶从表格中观察、判断方程组的解.

说明:事实上,对于二元一次方程组,虽然一般不用列表法求解,但这种方法能为以后学习其他数学知识打下良好基础.

四、点一点数学思想:

1.化归思想

所谓转化思想一般是指将新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化等等.在解二元一次方程中主要体现在运用“加减”和“代入”等消元的方法,把新问题“二元”或“三元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”,化“未知”为“已知”,化“复杂”为“简单”,从而实现问题的解决,它也是解二元一次方程最基本的思想.

2.整体思想

整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构,从整体去观察、认识问题、从而解决问题的一种基本数学思想.运用整体思想,往往可以使繁难的问题得到巧妙的解决.

3.数形结合的思想

数和形是数学中两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下数和形之间可以相互转化,相互渗透.数形结合的思想就是在研究问题的过程中,把数和形结合起来考查,使抽象问题具体化,化难为易,从而获得简便易行的方案.

五、举一举考点

考点一、考查基本概念

?x?2,例1.若一个二元一次方程的一个解为?则这个方程可以是________.(只要写y??1,?

出一个)

解析:本题是一道开放型问题,考查方程的概念,满足题意的答案不惟一,解此类题目时,可以先设出系数在代入算出另一边的值,如:可以先设左边为3x+2y,然后将?代入:3x+2y 求得其值为4,则可以得到符合题意的一个方程:3x+2y =4

例2.下列方程组中,是二元一次方程组的有( )个 ?x?2,,?y??1

?25?a?2b?3???2,?a?1①?②?xy ③?④ 4a?b?9b??1??x?y?7.???x?y?xy?x?y?2, ⑤ ??x?y?1y?z?9;??

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:二元一次方程组的定义是:方程组中含有两个未知数,方程组未知项的次数是1. ①和③符合定义, ②中的25和两项的次数不是1, ④中xy的次数不是1, ⑤中含有x,y和z3xy

个未知数,均不符合定义,故选B.

评注:利用概念解题是初中数学的重要方面,因此要注意对概念的内涵和外延全面理解. 考点二、考查二一元一次方程组的解法

例3.解方程组:??2x?y?6 ①

?x?2y??2②

分析:本题主要考查方程组的解法.观察方程组中两个方程,其中两个方程中存在未知数系数是1或-1的,这时可以利用代入法求解,当然也可以利用加减消元法求解.

解法一(代入法):由①得y?2x?6 ③

将③代入②得x?2(2x?6)??2,

解得:x=2,将x?2代入③得y??2,所以方程组的解为?

解法二(加减法):①?2?②得5x?10,解得:x=2,

将x?2代入①得y??2,所以方程组的解为??x?2 y??2??x?2. ?y??2

评注:解二元一次方程组有代入消元法和加减消元法,一般是当可以比较容易的把一个未知数用含有另一个未知数的式子表示的时候,用代入消元法;否则可用加减消元法.用代入消元法时,对用含有一个未知数的式子表示另一个未知数要特别细心.用加减消元法时,当两个方程相减时,要特别注意符号问题,这都是容易出错的地方.另外,解二元一次方程组是“化归”思想的充分体现,要注意体会这种数学思想.

考点三、构造二元一次方程组解决问题

例4.已知代数式1a?13xy与?3x?by2a?b是同类项,那么a,b的值分别是( ) 2

B.?A.??a?2, ?b??1?a?2, ?b?1C.??a??2, ?b??1D.??a??2, ?b?1

解析:因为,1a?13xy与?

3x?by2a?b是同类项,所以相同字母的指数应相同,即2

解之得:??a?2, ,故应选择A. b??1?

评注:本例中利用同类项的概念构造二一元一次方程组,从而达到解决问题的目的,此类题目是中考的一个重点题型.

考点四、求二元一次方程的正整数解

例5.二元一次方程4x?y?20的正整数解是 .

分析:正整数解是指两个未知数的值均为正整数.本题可以先将方程变形为用x表示y的形式,再对x可以取哪些值进行讨论.

解:由4x+y=20,得y=20-4x.

因为x、y均为正整数,所以x可以取1、2、3、4,相应的y的值分别为16、12、8、4. 所以,原方程组的正整数解为??x?1,?x?2,?x?3,?x?4,;?;?;?.

?y?16?y?12?y?8?y?4

考点五、求二元一次方程中字母系数的值

例6.关于x、y的方程y?kx?b,当x?2时,y??1;当x??1时,y?5,则k?b=.

分析:“关于x、y的方程……”意思是未知数是x和y,其他字母要看作系数.本题实际上是给出了方程y=kx+b的两个解,将这两个解代入原方程,得到两个关于k、b的方程,合在一起,便是一个关于k、b的二元一次方程组,再解这个方程组即可.

??1?2k?b,?k??2,解:将x=2,y=-1;x=-1,y=5代入方程y=kx+b,得?. 解得?. 5??k?bb?3??

考点六、列二元一次方程组解决实际问题

例7.某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同,书包单价也相同,英语学习机和书包单价之和是452元,且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元.

(1)求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元?

(2)某一天该同学上街,恰好赶上商家促销,超市A所有商品打7.5折销售;超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用),但他只带了400元钱,如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包,那么在哪一家购买更省钱?

?x?y?452,解析:设书包的单价为x元,英语学习机的单价为y元. 根据题意,得? y?4x?8.?

?x?92,解得? ?y?360.

答:该同学看中的英语学习机单价为360元,书包单价为92元.

(2)在超市A购买英语学习机与书包各一件,需花费现金:452?75%?339(元); 因为339?400,所以可以选择超市A购买.

在超市B可先花费现金360元购买英语学习机,再利用得到的90元购物券,加上2元现金购买书包,总计共花费现金:360?2?362(元);

因为362?400,所以也可以选择在超市B购买.

但是,由于362?339,所以在超市A购买英语学习机与书包,更省钱.

评注:用二元一次方程组解答含有多个未知量实际问题,是中考考查的热点.大部分列二元一次方程组解决的问题都可以列一元一次方程来解决,但总的来说,设两未知数会更容易列出方程. 因为当题目中有多个未知量时,列一元一次方程需要将其中的一个未知量用另一个未知量表示出来,这需要更高的思维层次.列二元一次方程组解决实际问题一般需要般要遵循如下步骤:

①审题:认真仔细的阅读题目,找到关键词句,抽取有用信息,从而搞清其中的数量关系.在这一步,注意不要被一些无用的信息所迷惑,因为并不是每一个数据都是有用的.

②确定相等关系:应用题中往往有几个相等关系,要通过认真研究数量关系,从而找出两个主要的数量相等关系.这是列方程解组应用题最关键的一步,在确定主要的数量相等关系之前,切不要着急设未知数去列方程组.

③设出未知数,列出方程组:设未知数存在直接和间接设的问题,到底采用哪种设法,要因题而异.总的原则是简单、明确,有利于容易的表示题目中的有关数量,有利于列方程组.

④解方程:合理运用解方程组的步骤解对方程组.

⑤检验、写出答案:检验所求出的未知数的值是否符合实际意义,检验之后写出答案. 例8.某单位为了提高绿化品位,美化环境,准备将一块周长为76米的长方形草地,设计分成长和宽分别相等的9块小长方形(如图),求出每一个小长方形的长和宽.

分析:本题重点考查从图形中寻找等量关系.先用字母表示小长方形的长和宽,从图中可以发现:长的2倍=宽的5倍;长的4倍+宽的9倍=76,利用这两个等量关系便可以列出一个方程组.

解:设小长方形的长为xm,宽为ym,根据题意,得

?2x?5y,?x?10, 解得 ??4x?9y?76.y?4.??

答:每个小长方形的长为10m,宽为4m.

评注:利用列方程组解这种几何型应用问题时,一定要认真观察、分析图形的特征,充分利用这些特征寻求等量关系,从而求解.

例9.母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒.从图中信息可知一束鲜花的价格是 元.

解析:由图示可以看出,一朵个鲜花和两个礼盒共计55

90元,所以,可设每朵鲜花为x元,则每个礼盒为y元,由题意得:

?x?2y?55,?x?15,

解之得: ??

?2x?3y?90.?y?20.

所以,一束鲜花的价格是15元。

共55元

? ? 聚焦设元的几种类型

我们知道,列二元一次方程组解实际问题的关健是设出未知数列出方程组.针对具体问

题,采用不同的设元方法,可以使问题得到巧妙解决.下面通过例题说明几种常用的设元方法,供同学们参考.

一、直接设元 直接设元,就是根据问题中的相等关系,问什么设什么,把要求的量直接用未知数表示. 例1

为吸引游客,酒店实行团体入住五折优惠措施.一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住,住了一些三人普通间和双人普通间客房,若每间客房正好住满,且一天共花去住宿费1510元,旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间?

分析:本例以表格形式提供了部分信息,考查同学们利用二元一次方程组解答实际问题的能力.由于问题中的数量关系明确,可以采用直接设元的方法列出方程组求解.

解:设三人普通间和双人普通间客房各住了x、y间.依题意,列方程组

?3x?2y?50,

?

?(150?50%)x?(140?50%)y?1510.

?x?8,

解方程组,得?

y?13.?

答:旅游团住了三人普通间客房8间,双人普通间客房13间.

二、间接设元 间接设元,就是选取一个和问题有关的量作为未知数,再通过这个未知数求出所要求的量.

例2 一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共40kg到菜市场去

分析:本例是以批发与零售蔬菜为素材编拟的一道应用题.要求得能赚多少钱,需要先

求出40kg蔬菜一共能卖多少钱,再减去成本60元.所以通过间接设元,先求出西红红柿和豆角的数量,再进行计算.

解:设批发了西红柿xkg,豆角ykg.依题意,列方程组

?x?y?40, ?1.2x?1.6y?60?

?x?10,解方程组,得? y?30.?

∴ 10×1.8+30×2.5-60=93-60=33(元).

答:他当天卖完这些西红柿和豆角能赚33元钱.

三、设辅助元

设辅助元,就是为了使问题易于解决,增设一个未知量,这个量只起到辅助解题的作用. 例3 甲、乙两个公共汽车站相向发车,一人在街上匀速行走,他发现每隔4分钟就迎面开来一辆公交车,每隔12分钟从背后开来一辆公交车.如果两车站发车的时间间隔相同,各车的速度相同,求两车站发车的时间间隔.

分析:本例是行程问题,涉及到速度、路程和时间等数量.要求时间间隔,而速度、路程没有具体告诉,所以可以作为辅助元增设出来,使相等关系易出表示.

解:设两车站发车的间隔时间为x分钟,公交车的速度为a米/分钟,人步行的速度为b米/分钟,相邻两车相距p米.依题意,列方程组

?4(a?b)?p, ??12(a?b)?p.

解方程组,得24a=4p,即

又ax=p,即x=p?6. ap?6. a

答:两车站发车的时间间隔为6分钟.

二元一次方程的“特殊解”

我们知道,任何一个二元一次方程都有无数多个解,但二元一次方程的特殊解例如“自然数解或者正整数解”,往往是有限多个。例如二元一次方程2x?y?5的解有无数多个,但是其正整数解只有2个,分别是??x?1,?x?2,和?自然数解有3个,分别是

?y?3?y?1;

?x?1,??y?3,?x?2,??y?1,?x?0,二元一次方程的特殊解在解决实际问题时,可以助你一臂之力。 ?y?5.?

例1 2008年北京奥运会的球类比赛的门票价格如下:

某球迷购买了x张男篮比赛的门票,y张足球比赛的门票,共用去12000元。

⑴列出二元一次方程;

⑵写出各种购票的方案。

析解:⑴男篮比赛的门票x张,每张1000元,费用为1000x元;足球比赛的门票y张,每张800元,费用为800y元,所以可得到二元一次方程1000x?800y?12000。

⑵根据题意,求各种购票的方案,就是求二元一次方程1000x?800y?12000的自然数解的问题,方程1000x?800y?12000经过整理可以化为5x?4y?60,易得出其自然数解为??x?0,?x?4,?x?8, ???y?15,?y?10,?y?5,?x?12,所以有以下购票方案:购男篮比赛门票12张;??y?0.

或者购男篮比赛门票8张,足球比赛5张;或者购男篮比赛门票4张,足球比赛门票10张;或者购足球比赛门票15张。

例2 当围绕一点拼在一起边长相等的正五边形和正十边形,怎样组合才能铺满地面? 析解:本题可以通过列二元一次方程的方法解决。正五边形的每个内角为108度,正十边形的每个内角为144度,设在一个拼接点处有x个正五边形,y个正十边形。根据题意,得108x?144y?360,该方程仅仅有一个正整数解?

五边形和1个正十边形组合才能铺满地面。

?x?2,所以在一个拼接点处有2个正y?1.?

第八章二元一次方程组整章水平测试题(C)

山东 赵卫东

一、想好了,再填!(每小题3分,共30分)

1.在二元一次方程(3x?1)?2(y?2)?x?y中,用含x的代数式表示y,则y;若y的值为3,则x

2.已知方程x2a?b?4?5y3a?4b?1=8是二元一次方程,则ba.

3.解方程组??2x?3y??10,时,用 法比较简便,它的解是 . 3x?3y?5?

?x?2,这样的方程组可以是 .

?y?34.请写出一个以x,y为未知数的二元一次方程组,且同时满足下列两个条件:①由两个二元一次方程组成 ②方程组的解为?

5.若??x??1,?x?2,与?是方程mx?ny?10的两个解,则m?n= .

?y??1?y?2

?2x?y?3,的解中x与y之和为1,则a= . ax?2y?4?a?6.已知方程组?

27.若3a?b?5?2a?2b?2?0,则2a?3b.

8.如果一个两位数的十位数字与个位数字的和为5,那么这样的两位数共有 个.

9.一艘轮船顺流航行时,每小时行32km,逆流航行时,每小时行28km,则轮船在静

水中的速度是每小时行 km.

10.2006年“五一”旅游黄金周结束后,某省统计部门报道,5月1日至7日,全省各景

区、景点共接待省内外旅游者122万人次,旅游总收入达到48 000万元,其中省内、省外旅游者人均消费各达到160元和1200元.设省内旅游者x万人次,省外旅游者y万人次,则列方程组为 .

二、看准了,再选!(每小题3分,共30分)

1.下列方程是二元一次方程的是( )

(A)2x?y?2(x?3y) (B)x?xy?4 (C)11??6 (D)x?y xy

2.用代入法解方程组?

(A)由①得x??2x?y?7,①?3x?4y?3,②使得代入后,化简比较容易的变形是( ) 7?y (B)由①得y?2x?7 2

3?4y3x?3(C)由②得x? (D)由②得y? 34

3.在代数式x?ax?b中,当x?2时,它的值为3;当x??2时,它的值为19,则

代数式a?b的值为( )

(A)-11 (B)11 (C)3 (D)-3 2

?x?m?4,4.由方程组?可得出x与y的关系是( ) y?3?m?

(A)x?y?1 (B)x?y??1 (C)x?y?7 (D)x?y??7

5.方程3x?2y?5的非负整数解的个数为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

6.如果方程组??5x?4y?k,的解中的x与y相等,则k的值为( )

?3x?5y?8

(A)1或-1 (B)1 (C)5 (D)-5

7.如果方程组??x?y?2a,的解是3x?5y?28?0的一个解,则a=( )

?x?y?4a

(A)3 (B)2 (C)7 (D)6

8.一副三角板按如图1方式摆放,且?1的度数比?2的度数大50?,若设?1?x?,?2?y?,则可得到方程组为( )

(A)??x?y?50, ?x?y?180 (B)??x?y?50, ?x?y?180

?x?y?50,(C)? x?y?90? ?x?y?50,(D)? x?y?90?(图1)

9.小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元与2元,设1元的贺卡为x张,2元的贺卡为y张,那么x、y所适合的一个方程组是( )

y?xy??8?x?y?10?x??10??(A)? (B)?210 (C)? (D)2x?2y?8????x?y?8?x?2y?10

?x?y?8 ??x?2y?10

10.小明郊游时,早上9时下车,先走平路然后登山,到山顶后又沿原路返回到下车处,正好是下午2时。若他走平路每小时行4km,爬山时每小时走3km,下山时每小时走6km,小明从上午到下午一共走的路是( )

(A)5km (B)10km (C)20km (D)答案不唯一

三、每个解答过程都是你思维的结晶!(本大题共60分)

1.(本题10分)解下列方程组:

?33x?17y?83,?3x?y?5,(1)? (2)? 17x?33y?67.??5x?2y?23.

2.(本题8分)图2是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面.如果正方体相对两个面上的代数式的值相等,求x,y的值.

(图2)

3.(本题10分)已知方程组??2x?5y??6,?3x?5y?16,和方程组?的解相同,求

?ax?by??4?bx?ay??8

(2a?b)2007的值.

4.(本题10分)某校的一间阶梯教室,第1排的座位数为a,从第2排开始,每一排都比前一排增加b个座位.

⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式:

个座位?

5.(本题10分)某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品,根据图3提供的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?

共计145元 共计280元 (图3)

6.(本题12分)某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试:同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.

(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;

(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由.

参考答案:

?x??1,2x?5?一、1.,2 2.1 3.加减消元法 ,?8 4.答案不唯一

5

20

6

2

3y?.?3?

7.8 8.5 9.30 10.??x?y?122, ?160x?1200y?48000.

二、1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.D 10.B

三、1.(1)??x?3,?x?2, (2)?提示:将两原方程分别加减,得x?y?3,x?y?1,

?y?4.?y?1.

?x?2, y?1.?连立方程组并解之,得?

?5?x?y?1,?x?3,2.解方程组?得? y?1.y?2x?5,??

3.解方程组??2x?5y??6,?x?2,?ax?by??4,?2a?2b??4,得?代入方程组?得?3x?5y?16,y??2,bx?ay??8,?????2a?2b??8,?a?1,2007解得?所以(2a?b)=-1. b?3,?

4.(1)a?3b

(2)依题意得??a?3b?18 a?14b?2(a?4b)?

?a?12 解得? b?2?

∴12?20?2?52

答:第21排有52个座位.

5.设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元.

?x?2y?145依题意,得? 2x?3y?280?

解这个方程组,得??x?125 ?y?10

答:一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元.

6.(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐,1个小餐厅可供y名学生就餐,根据题意,得

?x?2y?1680, ??2x?y?2280.

解这个方程组,得??x?960, y?360.?

答:1个大餐厅可供960名学生就餐,1个小餐厅可供360名学生就餐.

(2)因为960?5?360?2?5520?5300,

所以如果同时开放7个餐厅,能够供全校的5300名学生就餐.

第八章二元一次方程组整章水平测试题(E)

一、选择题

1.根据图1所示的计算程序计算y的值,若输入x?2,则输出的y值是(D )

A.0 B.?2 C.2 D.4

2.在等式y?kx?b中,当x=0时,y=?1;当x=?1时,y=0,则这个等式是( A )

A.y??x?1 B.y??x C.y??x?1 D.y?x?1

3.综合应用创新题48页6 (B)

?ax?by?4,?x?2,4.已知方程组?的解为?,则2a?3b的值为( B ) ax?by?2y?1??

(A) 4

5.若方程组?(B) 6 (C)-6 (D)-4 ?ax?3y?9,无解,则a的值是( A )

?2x?y?1

共43共94(A)-6 (B)6 (C)9 (D)30

6.根据图1提供的信息,可知一个杯子的价格是( C )

(A)51元 (B)35元 (C)8元 (D)7.5元

7.把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币,共有( A ) (图1)

A.4种换法 B.5种换法 C.6种换法 D.7种换法

?2?y,8.一副三角板按如图1方式摆放,且?1的度数比?2的度数大50?,若设?1?x?,

则可得到方程组为( D ) ?

?x?y?50,(A)? x?y?180?

(C)? ?x?y?50,(B)? x?y?180?(D)? ?x?y?50, x?y?90? ?x?y?50, x?y?90?(图1)

9.小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元与2元,设1元的贺卡为x张,2元的贺卡为y张,那么x、y所适合的一个方程组是( D )

y?xy??8x??10?x?y?10?x?y?8???(A) (B) (C) (D) 2????210?x?2y?8?x?2y?10???x?y?8?x?2y?10

10.国家为九年义务教育期间的学生实行“两免一补”政策,下表是我市某中学国家免费提供教科书补助的部分情况.

如果要知道空白处的数据,可设七年级的人数为x,八年级的人数为y,根据题意列出方程组为( D)

?x?y?300(A)?

110x?90y?26200?

(C)?二、填空题

?x?y?300

(B)?

110x?90y?4000?26200?

(D)?

?x?y?80?300

?x?y?4000?26200?x?y?80?300

?110x?90y?4000?26200

?x?2

1.若一个二元一次方程组的一个解为?,则这个方程组可以是_____.(只要求

?y??1

写出一个)(?

?x?y?1

x?y?3?

?x?1?x?2

,?2.写出二元一次方程3x+y=9的所有正整数解是(?) y?6y?3??

3.若方程组?

?4x?3y?3,

的解x和y的值相等,则k= .(1)

?kx?(k?1)y?3

2

4. 已知(2x?3y?4)?x?3y?7?0,则(-3,

10) 3

5.已知方程组?

?x?2,?x?3,?ax?by?3,

甲正确地解得?而乙粗心,把c看错了,解得?则

?y?3,?y?6,?5x?cy?1,

(3,-1) abc6.一批零件共840件,如果甲先做4天,乙加入合作再做8天就可以完成;如果乙先做4天,甲加入合作9天可以完成.则甲每天做 个,乙每天做 个.(50,30) 7.小明问老师:“老师,您今年多大了?”老师风趣地说:“我像你这么大时,你才出生;你

到我这么大时,我已经37岁了。”则老师现在的年龄是 岁.(25)

8.某学生骑自行车从学校去县城,先以每小时12km的速度下山,而后以每小时9km的速度通过平路到达县城,共用去55分钟。返回时,他以每小时8km的速度通过平路,再以每小时4km的速度上山回到学校,又用去1小时30分钟。则学校到县城的路程为 .(9km)

9.某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元,其中甲种水每桶8元,乙种水每桶6元;乙种水的桶数是甲种水桶数的75%.设买甲种水x桶,买乙种水y桶,则所列方程组是 .(?5%,x?y?7

6y25?0.?8x?)

10.活学巧练80页16 (6种)

三、解答题

1. 先阅读,然后解方程组.

解方程组??x?y?1?0,①

②?4(x?y)?y?5时,可由①得x?y?1.③,然后再将③代入②得

?x?0,这种方法被称为“整体代入法”,请用4?1?y?5,求得y??1,从而进一步求得?y??1.?

这样的方法解下列方程组:

?2x?3y?2?0,?x?7,?答案: ??2x?3y?5y?4.?2y?9.??7?

2.扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图3所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm,求这种药品包装盒的体积.

5 5 ?3x4 4 7 ?x 3y 7

(1) (2)

(图4)

答案:90cm.(提示:设这种药品包装盒的宽为xcm,高为ycm,则长为(x?4)cm, 3

?x?5,?2x?2y?14,  根据题意,得?解这个方程组得?故长为9cm,宽为5cm,高为2cm.) x?4?2y?13.??y?2.

(本题列方程组具有开放性,只要列、解方程组正确,即得满分.)

3.如图4,在3?3的方格内,填写了一些代数式和数.

(1)在图4(1)中各行、各列和对角线上三个数之和都相等,请你求出x,y的值; (2)把满足(1)的其它6个数填入图4(2)中的方格内.

答案:由已知条件可得??7?3x?4?3y,?x??2,解得? ?7?x?4?5.?y?3.3 10 5 8 6 4

9 7 2

(本题列方程组具有开放性,只要列、解方程组正确,即得满分.)

4. 商场销售A单价分别为每件30元,50元,一周内共销售出300件;,B两种品牌的衬衣,

为扩大衬衣的销售量,商场决定调整衬衣的价格,将A种衬衣降价20%出售,B种衬衣按原价出售,调整后,一周内A种衬衣的销售量增加了20件,B种衬衣销售量没有变,这周内销售额为12880元,求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售多少件?

答案:A种品牌的衬衣有100件,B种品牌的衬衣有200件.(提示:设A种品牌的衬衣有x件,B种品牌的衬衣有y件.

依题意可得,??x?y?300,) 30?(1?20%)(x?20)?50y?12880.?

5.某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查中,对4道门进行了测试:当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可以通过800名学生.

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?

(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低20%.安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问:建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理由.

答案:(1)120,80.(提示:设平均每分钟一道正门可以通过x名学生,一道侧门可以通过y名学生,根据题意,得??2(x?2y)?560,?x?120,解得?)

?4(x?y)?800,?y?80.

(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440名.

拥挤时5分钟4道门能通过5×2(120+80)(1-20%)=1600名.

因为1600>1440,所以建造的4道门符合安全规定.

6.某足协举办一次足球联赛,其记分及奖励方案如下图:

当比赛进行到第12轮(每队均需比赛12场)时,A队共积19分.

⑴请通过表中信息,判断A队胜、平、负各几场.

⑵若每赛一场,每名参赛队员均得出场费500元,设A队中某一名参赛队员秘得的奖金与出场费和为W(元),试求W的最大值.

答案:⑴设A队胜x场,平y场,负z场,列方程得??3x?y?19, ?x?y?z?12.

当x=4时,y=7,z=1;当x=5时,y=4,z=3;当x=6时,y=1,z=5.因此A

队胜、平、负共有3种可能.

⑵胜4场时,W=16900;胜5场时,W=16 300;胜6场时,W=15 700,因此W最大值为16 900元.

8.3实际问题与二元一次方程组练习1

江苏 文页

一、选择题(每题4分,共24分)

1,某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%,在这项买卖中,这家商店( )

A.赔了8元 B.赚了32元 C.不赔不赚 D.赚了8元

2,甲、乙两人相距42km,若相向而行,2小时相遇;若同向而行,乙14小时就能追上甲,则甲、乙二人每小时各走( )

A.12 km、9 km B.11 km、10 km

C.10 km、11 km D.9 km、12 km

3,一个两位数,对换它的十位数字与个位数字后,所得的数是原数的

位数的个数有( )

A.0个 B.3个 C.4个 D.无数多个

4,已知?7,则这样的两4?x?2 是方程5x-ky=3的一个解,则k-1=( ) y?1?

A.0 B.1 C.2 D.3

5,为保护生态环境,我省某山区县响 国家“退耕还林”号召,将该县某地一部分耕地改为林地,改变后,林地面积和耕地面积共有180 平方千米,耕地面积是林地面积的25%,为求改变后林地面积和耕地面积各为多少平方千米,设耕地面积为x平方千米,林地面积为y平方千米,根据题意,列出如下四个方程组,其中正确的是( )

A.??x?y?180?x?y?180?x?y?180?x?y?180 B.? C.? D.? y?x?25%x?y?25%x?y?25%y?x?25%????

6,用化肥x千克给一块y公顷的麦地施肥,若每公顷用 化肥23千克,则还差90千克;若每公顷用化肥18千克,则还多余110千克,由题意,可列出方程组( )

A.??23y?90?x,?23y?90?x,?23y?90?x,?23y?90?x, B.? C.? D.? 18y?110?x18y?110?x18y?110?x18y?110?x????

二、填空题(每题4分,共32分)

7,若实数m、n满足条件m+n=3,且m-n=1,则m=_____,n=_______.

8,已知二元一次方程组??ax?by?4,?x?2,的解是?则a+b的值为______.

?bx?ay?5?y?1.

9,已知等式(2A-7B)x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立,则A=___,B=___. 10,如果3a7xby+7和-7a2-4yb2x是同类项, 则x=_____,y=_____.

11,将若干只鸡放入若干个笼中,若每个笼中放4只,则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,则至少有___只鸡.

12,某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助, 资助一名中学生的学习费用需要a元,一名小学生的学习费用需要b元,某校学生积极捐款,初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表:

则a=___,b=___.

13,某校去年有学生1000名,今年比去年增加4.4%,其中寄宿学生增加了6%,走读学生减少了2%.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为 .

14,以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺,绳长、井深各几何?若设绳长x尺,井深y尺,则可列方程组为 .

三、解答题(共44分)

15,仔细观察如图2,认真阅读对话:

图2

根据以上对话内容,可知小明买5元邮票是多少张?

16,在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数),三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下:

甲同学说:“二环路车流量为每小时10 000辆”

乙同学说:“四环路比三环路车流量每小时多2 000辆”;

丙同学说:“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”. 请你根据他们所提供的信息,求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少.

17,甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%

的利润定价,乙服装按40%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲、乙两件服装的成本各是多少元?

18,有三把楼梯,分别是五步梯、七步梯、九步梯,每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的.每把楼梯的扶杆长(即梯长)、顶档宽、底档宽如图3所示,并把横档与扶杆粘合处称

作联结点(如点A).

(1

(21元计算,而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等(材料损耗及其它因素忽略不计).现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元,试求出一把九步梯的成本.

19,“利海”通讯器材商场,计划用60 000元从厂家购进若干部新型手机,出厂价分别为甲种型号手机每部1 800元,乙种型号手机每部600元 ,丙种型号手机每部1200元.若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部,并将60 000元恰好用完,请你帮助商场计算一下如何购买.

参考答案:

一、1,D;2,D;3,C;4,A;5,B;6,A.

?2a?b?4

二、7,m=2, n=1;8,把x=2,y=1代入原方程组,得?

?2b?a?5

(1)(2)

(1)+(2)得

3(a+b)=9,∴a+b=3;9,由于等式(2A-7B)x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立,所以根据

6?A?,??2A?7B?8,?5

待定系数即可得到关于A、B的二元一次方程组,即?解得?10,x=2,

3A?8B?10.4??B??.

?5?

y=-3;11,25;12,根据题意,得?

?2a?4b?4000,?a?800,

解这个方程组,得? 13,

?3a?3b?4200.?b?600.

?x

x?y?1000??3?5?y

;14,?. ?

x?6%x?2%y?1000?4.4%??y?1?4

三、15,设小明买2元邮票x张,1元邮票2x张,5元邮票y张,则根据题意,得

?x?2x?y?18,?x?5,

解得即小明买3张5元邮票. ??

?2x?2x?5y?35.?y?3.

16,设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆,四环路的、车流量为每小时y辆.根据题意,得 ??3x?y?2?10000,?x?11000, 解这个方程组,得? 答:高峰时段三环路的车y?x?2000y?13000??

流量为每小时11 000辆,四环路的车流量为每小时13 000辆;

17,设甲、乙两件服装的成本分别是x元、y元.根据题意,得

?x?y?500,?x?300,解这个方程组,得?答 甲、乙两??x???y??90?500?157.??1?501?40y?200.??

件服装的成本分别是300元、200元.

18,(1)七步梯、九步梯的扶杆长分别是5米、6米;横档总长分别是3.5米、3.5米;联结点个数分别是14个、18个.(2)设扶杆单价为x元/米,横档单价为y元/米.依题意得:?2x?y?1?10?26,?2x?y?8,?x?3,即?解得?故九步梯的成本为?5x?3.5y?1?14?36.5x?3.5y?22.y?2.???

6×3+5.4×2+1×18=46.8(元)即一把九步梯的成本为46.8元.

19,设甲种型号手机要购买x部,乙种型号手机要购买y部,丙种型号手机要购买z部,根据题意,得??x?y?40,?x?z?40,或? 1800x?600y?60000,1800x?1200z?60000;??

或??y?z?40,?x?30,?x?20,分别解这三个方程组,得 ? 或 ? 或 ?600y?1200z?60000.?y?10;?z?20;?y??20,(不合题意,舍去)答 有两种购买方法:甲种型号手机购买30部,乙种型号?z?60.?

手机购买10部;或甲种型号手机购买20部,丙种型号手机购买20部.

浅析配套问题

河北 欧阳庆红

解有关配套问题,要根据配套的比例,依据特定的数量关系列方程(组)求解题. 例1:现有190张铁皮,每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,那么用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?

分析:此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数.

问题中有两个等量关系:⑴制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190;

⑵制成盒身的个数的2倍=制成盒底的个数.

解:设x张铁皮制盒身,y张铁皮制盒底,

根据题意,得??x?y?190, 2?8x?22y,?

?x?110, y?80,?解这个方程组,得?

答:110张制盒身,80张制盒底,可以正好制成一批完整的盒子.

例2:某纸品厂为了制作两种无盖的长方体小盒如图1,2所示,利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片,长方形的宽与正方形的边长相等,如图3,4所示,现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒,为可以做成甲、乙小盒各多少个?

图1 图2 图3 图4

分析:本题考查用二元一次方程组解应用题,以及拼组几何图形等知识

.制作甲种小盒需1个正方形和四个长方形,

制作乙种小盒需2个正方形和3

个长方形,由此可列方程组求解. 解:设可做成甲种小盒x个,乙种小盒y个,有?

解锝??x?30, y?60.??x?2y?150, 4x?3y?300.?

答:可做甲种小盒30个,乙种小盒60个.

例3:要用20张白卡纸做包装盒,每张白卡纸可以做盒身2个,或者做盒底盖3个,如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装盒,那么能否把这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套?请你设计一种分法.如果不允许剪开白卡纸,能不能找到符合题意的分法?如果允许剪开一张白卡纸,怎样才能既符合题意,又能充分利用白卡纸?

解:设应该用x张白卡纸做盒身,y张白卡纸做盒底盖,可做盒身2x个,盒底盖3y个,要做成一个包装盒需要1个盒身,2个盒底盖,为了配套,盒底盖的个数应是盒身的2倍. 根据题意,得??x?y?20, 4x?3y,?

4?x?8,??7解得? 3?y?11.?7?

由于解为分数,所以不允许剪开白卡纸,则只能用8张纸做盒身,共可做16个盒身,用11张白卡纸做盒底盖,共可做33个盒底盖,而16个盒身只需32个盒底盖,所以只能做16个包装盒,且剩余一张白卡纸和一个盒底盖的材料,无法全部利用白卡纸;如果允许剪开一张白卡纸,可以将一张白卡纸一分为二,用8张半做盒身,11张半做盒底盖,可以做成盒身17个,盒底盖34个,正好配成17个包装盒,较充分地利用了材料.

注意:像本题这种配套问题,往往给出的数据恰好使得到的解都是正整数,求解之后也不需深入地思考,而本题所得的解不是整数,学生有可能怀疑是否解错了,这样要引起学生的注意.另外有的学生可能采用四舍五入的办法,也是错误的.

小试身手:某家具厂生产一种方桌,设计时1立方米的木材可做50个桌面,或300条桌腿,现有10立方米的木材,怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材,使桌面、桌腿刚好配套,并指出共可生产多少张方桌?(一张方桌有1个桌面,4条桌腿) .

答案:解:设用x立方米的木材做桌面,y立方米的木材做桌腿,根据题意,

经检验符合题意,

此时,可做方桌为50×6=300(张) .

答:用6立方米的木材做桌面,4立方米的木材做桌腿,可做300张方桌.

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