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圆周角2

发布时间:2014-02-25 12:53:07  

一、复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 O

.

2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的

B

C

一个结论,这个结论是什么? 在同圆(或等圆)中,如果圆心角、弧、弦有 一组量相等,那么它们所对应的其余两个量都

分别相等。

二、概念
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角, 叫做圆周角.
?

A



O

B

C

如图: ∠ABC 为⊙O的一个圆 周角。

辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?
C C
E D D E D C E

D
E

C

两边都和圆相交。 圆周角:顶点在圆上 __________,并且的角______________ 圆心角: 顶点在圆心 ___________ 的角.

说一说

下图中有哪些圆周角?并说出这些圆周 角是哪些弧所对的? D
A C O

·
B

E

二、 探究
AB 所对的两个 分别量一下图中 ? 圆周角的度数,比较一下,再变 动点C在圆周上的位置,圆周角 的度数有没有变化?你能发现什 么规律吗?

圆周角.gsp
C

D O

? 再分别量出图中 AB所对的圆周

·
B

角和圆心角的度数,比较一下, 你什么发现?

A

同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.

四、同弧所对圆周角与圆心角的关系
为了进一步探究上面的发现,如图在⊙O任取一个圆周角 ∠BAC,由于点A的位置的取法可能不同,这时圆心O可能 会:
(1)在圆周角的一条边上;

∵OA=OC, ∴∠A=∠C.
A O B

又∠BOC=∠A+∠C
C

·

∴∠BOC=2∠A 即 ?A ? 1 ?BOC 2

(2)在圆周角的内部. 圆心O在∠BAC的内部,作直径AD,利用(1)的 结果,有
1 ?BAD ? ?BOD 2

1 ?DAC ? ?DOC 2
1 ??BAD ? ?DAC ? (?BOD ? ?DOC ) 2
A

1 ??BAC ? ?BOC 2

O B

·
C

D

(3)在圆周角的外部.
圆心O在∠BAC的外部,作直径AD,利用(1)的结果,有

1 ?BAD ? ?BOD 2 1 ?DAC ? ?DOC 2 1 ??DAC ? ?DAB ? (?DOC ? ?DOB) 2

A

1 ??BAC ? ?BOC 2
D

O

·
C B

圆周角定理:
定 理

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
C2 C1 C3





半圆(或直径)所对的圆周 角是直角; A 90°的圆周角所对的弦是直径.

O

·

B

练习1

1、试找出下图中所有相等的圆周角。
D

∠2=∠7 ∠1=∠4

A

1

8 7
6
C

2 3
B

∠3=∠6

4

5

∠5=∠8

C

1、已知∠AOB=75°,

O A B

求:∠ACB=


O

C

2、已知∠AOB=120°, 求: ∠ACB =

B

A

3、已知∠ACD=30°,
C O D A

求:∠AOB =
B

练 习
2.如图,你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗?你有多 少种方法?与同学交流一下.
方法二

方法一 A C O

O

B

D
O

例题
例 如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平 分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长. 解:∵AB是直

径, C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,

BC ? AB2 ? AC 2 ? 102 ? 62 ? 8

A

O

B

∵CD平分∠ACB,

??ACD ? ?BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,

D

2 2 ? AD ? BD ? AB ? ? 10 ? 5 2(cm) 2 2


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