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7.4认识三角形(2)

发布时间:2014-02-25 12:53:12  

你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?

画法
落、过、画。
0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

过三角形的一个顶点,你能画出它的对边的 A 垂线吗? ·
B · D C

在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的 直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线.简称三角形的高. 线段AD叫做BC边上的高.

任意画一个锐角△ABC,请你画出BC边上的高.
三角形高线的说法:AD是ΔABC的高; AD是ΔABC中BC边上的高;AD垂直于 BC,垂足为D;∠ADB=∠ADC=90°.
A

B

D

C

(1)锐角三角形有几条高?你能把它们都画出来吗? (2)这三条高之间有怎样的位置关系?将你的结果与同 伴进行交流. (3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?

锐角三角形有三条高,它们交于一点,并且 都在三角形内部.

A

在纸上画出一个直角三角形.
D
B C

(1)画出直角三角形的三条高. (2)直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 BC ; 斜边AC边上的高是 BD .

(3)它们有怎样的位置关系? 将你的结果 与同伴交流.

直角三角形的三条高交于直角顶点.

在纸上画出一个钝角三角形。 (1)你能画出钝角三角形的三条高吗? A (2)BC边上的高在三角形的内部还 是外部? AB、AC边上的高呢? (3)钝角三角形的三条高交于一点 D 吗?它们所在的直线交于一点 吗?将你的结果与同伴交流. ·

F B E C

钝角三角形的三条高不相交,但三条高所在 的直线交于一点,交点在三角形的外部.

锐角三角形 直角三角形 高在三角形 内部的数量 高之间是否 相交 高所在的直 线是否相交 高或高所在 直线的交点 位置

钝角三角形

3
相交 相交 在三角形内

1
相交 相交

1
不相交 相交

直角顶点 在三角形外

A

E B C 三角形的角平分线: 在三角形中,一个内角的平分线与它的对边 相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做 三角形的角平分线.

?三角形的角平分线的说法: AE是ΔABC的角平分线;AE平分∠BAC交BC于 1 E;∠BAE=∠EAC= 2∠BAC;

∠BAC=2∠BAE=2∠EAC.

(3)任意画一个三角形,并画出它的三条角 平分线,观察三角形的3条角平分线之间有 什么关系?

?三角形的三条角平分线都在三角形的 内部,并且交于一点.

(1)在纸上任意画Δ ABC,取边BC的中点F,连接AF.
? 线段AF叫做三角形的中线. ? 三角形的中线是一条线段. ?三角形中线的说法:
A

B

· F

C

AF是Δ ABC的中线;AF是Δ ABC中BC边上的中线; 点F是BC边的中点;BF=FC.

三角形的中线: 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的 线段,叫做三角形的中线.

三角形的3条中线都在三角形的内部,并且交 于一点.

例1.如图,在△ABC中,点D在边BC上. (1)如果AD 是高,那么 或∠BDA=∠ =900;

⊥ BC, B

A

C D

(2)如果AD 是△ABC 的角平分 1 线,那么∠BAD= = ;
2

(3)如果AD 是△ABC 的 1 BD=CD= .
2

,那么

例2.如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD , AE=CE,AD与BE相交于点F .试指出 AD 、 AF分别是哪个三角形的角平分线?BE 、 DE分别是哪个三角形的中线?
A F B D E C

例3.如图, AD 是△ABC的角平分线, DE∥ CA ,交AB 于点 E ,DF ∥ BA,交 AC 于 点 F.∠1与∠2是否相等?为什么?
A E 3 4 F 2
1

B

D

C

例4:根据所给图形填空: AB (1)在ΔABC中,BC边上的高是________. CD (2)在ΔAEC中,AE边上的高是________. (3)在ΔFEC中,EC边上的高是________. EF (4)若AB=CD=2cm, AE=3cm. 则ΔAEC的面积 2 3cm 2cm S=______. CE=________.
A B F E C

D

例5.在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中 线,BD把原三角形的周长分为15cm与9cm两 部分,求腰长AB.
分类讨论思想

5.如图,在△ABC中,AB=AC,周长为 16cm,AC边上的中线BD把△ABC分成周 A 长差为2cm的两个三角形。 求△ABC各边的长。
D

B

C

试试身手:
1.如图,画ΔABC一边上的高,下列画法正确的 A D 是( ) A A
D B D A C B C

C

B

D

B C

2.下列说法正确的是( ) A.三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B.三角形的角平分线是三角形内角的平分线 C.任何三角形都有三条高 D.任何三角形的三条高必交于一点

3.如图,AF是△ABC的高, AD是△ABC的中线,AE是 △ABC的角平分线,填空: 因为AF是△ABC的高, 所以∠ =∠ =900; B 因为AD是△ABC的中线, 1 所以 = = ; 2 因为AE是△ABC的角平分线, 1 所以∠ =∠ = ∠ .

A

DE F

C

2

4. 如图,已知BM是ΔABC的中线,AB=5cm, BC=3cm,ΔABM与ΔBCM周长差是多少? ΔABM与ΔBCM的面积有什么关系?
A
M B C

6.如图,AD、CE是△ABC的高,AB=2BC, AD与CE有怎样的数量关系?为什么?
C

等积法思想:
D

A

E

B

一个图形从两个 不同角度计算所 得的面积相等。

7.如图,D是△ABC中BC边上一点,DE∥AC 交AB于点E,若∠EDA=∠EAD。
A E

试说明:AD是△ABC的角平分线。

B

D

C

8.如图,S△ABC=1, S△BDE= S△DEC= S△ACE。

求△ADE的面积。
E

A

B

D

C

9.你能把一个三角形分成面积相等的2个三 角形吗?能分成面积相等的4个三角形吗?试 试看.

在下图(1)中,a、b为已修好的两条铁路,铁路前方为未 开辟的小山丘,现在要经过工厂P增筑一条铁路,使在开辟山丘 后,能与a、b两铁路相会于一点,请你确定这条铁路的位置 . A
a D a P Q Q P b E b C B

图(1) 图(2) 这个问题实际上是要求过点P的一条直线,使它经过已知直 线a、b的交点Q,但Q现在还不能直接作出.在数学里,这类问题 叫做不可及点的作图问题,其中的Q称为不可及点.这类问题的特 点是:在作图时不能使用作图工具(指直尺和圆规)直接和不可 及

点接触. 这个问题看起来还真有点玄,其实只要利用三角形3条高 (或高的延长线)相交于一点的性质,既可迅速确定符合条件的 铁路所在的直线.聪明的你,能不能把这条直线画出来? 提示:如图(2)所示,过点P作直线a的垂线,和a、b分别 交于D、B,同样过P作直线b的垂线,和a、b分别交于A、C,连结 AB,过P作AB的垂线PE,则PE一定经过点Q.


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