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二次根式教案

发布时间:2014-02-25 13:53:50  

八年级下册数学教学工作计划

一、 指导思想

在教学中努力推进九年义务教育,落实新课改,体现新理念,培养创新精神。通过数学课的教学,使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能;努力

培养学生的运算能力、逻辑思维能力,以及分析问题和解决问题能力。

二、学情分析

八年级是初中学习过程中的关键时期,学生基础的好坏,直接影响到将来是否能升学。 学生非常活跃,有少数学生不上进,思维不紧跟老师。有部分同学基础较差,问题较严重。要在本期获得理想成绩,老师和学生都要付出努力,查漏补缺,充分发挥学生是学习的主体,教师是教的主体作用,注重方法,培养能力。

三、 教材分析

本学期教学内容共计五章,知识的前后联系,教材的教学目标,重、难点分析如下:

《义务教育教科书·数学》八年级下册包括二次根式,勾股定理,平行四边形,一次函数,数据的分析等五章内容,学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准(2013年版)》(以下简称《课程标准》)中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容,本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习,并在每一章的最后安排了两个数学活动,通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实践”的要求。

1

第16章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习,学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。

第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理,包括它们的发现、证明和应用。

第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定,还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。

第19章是“一次函数”,其主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质和应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系,以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。

第20章“数据的分析”主要研究平均数(主要是加权平均数)、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义,学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况,并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差,进一步体会用样本估计总体的思想。 本书供义务教育八年级下学期使用,全书共需约62课时,具体分配如下:

第十六章 二次根式 约9课时

第十七章 勾股定理 约9课时

第十八章 平行四边形 约15课时

第十九章 一次函数 约17课时

第二十章 数据的分析 约12课时

2

四、提高学科教育质量的主要措施:

1、认真做好教学六认真工作。把教学六认真作为提高成绩的主要方法,认真研读新课程标准,钻研新教材,根据新课程标准,扩充教材内容,认真上课,批改作业,认真辅导,认真制作测试试卷,也让学生学会认真学习。

2、兴趣是最好的老师,爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣,给学生介绍数学家,数学史,介绍相应的数学趣题,给出数学课外思考题,激发学生的兴趣。

3、引导学生积极参与知识的构建,营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂,让学生体会学习的快乐,享受学习。引导学生写学后总结,写复习提纲,使知识来源于学生的构造。

4、引导学生积极归纳解题规律,引导学生一题多解,多解归一,培养学生透过现象看本质,提高学生举一反三的能力,这是提高学生素质的根本途径之一,培养学生的发散思维,让学生处于一种思如泉涌的状态。

5、运用新课程标准的理念指导教学,积极更新自己脑海中固有的教育理念,不同的教育理念将带来不同的教育效果。

6、培养学生良好的学习习惯,陶行知说:教育就是培养习惯,有助于学生稳步提高学习成绩,发展学生的非智力因素,弥补智力上的不足。

7、开展分层教学,布置作业设置A、B、C三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生,课堂上的提问照顾好好、中、差三类学生,使他们都等到发展。

8、进行个别辅导,优生提升能力,扎实打牢基础知识,对差生,一些关键知识,辅导差生过关,为差生以后的发展铺平道路。

9、 培养学生学习数学的良好习惯。这些习惯包括①认真做作业的习惯包括作业前清理好桌面,作业后认真检查;②预习的习惯;③认真看批改后的作业并及时更正的习惯;④认真做好课前准备的习惯;⑤在书上作精要笔记的习惯;⑥妥善保管书籍资料和学习用品的习惯;⑦认真阅读数学教材的习惯。

2014年八年级数学备课组

3

第十六章二次根式单元教学计划

教材内容

二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 教学目标

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解

(3)掌握(a≥0)是一个非负数,(·=)2=a(a≥0),=·;

=a(a≥0). (a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0).

(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.

2.过程与方法

(1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.

(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算.

(3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.

(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.

3.情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重点

1.二次根式(a≥0)的内涵.(a≥0)是一个非负数;()=a(a≥0

);2

=a(a≥0)?及其运用.2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.二次根式的加减运算. 教学难点

对(a≥0)是一个非负数的理解;对等式()=a(a≥0)及2=a(a≥0)的理解及应用.

教学关键

1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点.

2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时,具体分配如下:

21.1 二次根式 3课时

21.2 二次根式的乘法 3课时

21.3 二次根式的加减 3课时

教学活动、习题课、小结 2课时

4

16.1 二次根式

第一课时

教学目标

a≥0)的意义解答具体题目.

教学重难点关键

1

(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;

2

(a≥0)”解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题:

问题1:已知y=3,那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是 ___________. x

问题2:在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是__________.

二、探索新知

a≥0)?的式子叫做二次根式,

1.-1有算术平方根吗?

2.0的算术平方根是多少?

3.当a<0

例1.下列式子,哪些是二次根式,

x>0)

、”称为二次根号. 1x

、1(x≥0,y?≥0). x?

y

;第二,被开方数是正数或 分析:二次根式应满足两个条件:

0.

例2.当x

例3.当x

1在实数范围内有意义? x?1

x的值.(答案:2) y 例4(1)已知

,求

(2)

=0,求a2010+b2010的值.

5

五、归纳小结(学生活动,老师点评)

本节课要掌握:

1

a≥0)的式子叫做二次根式,

”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.

六:教学后记:

16.1 二次根式(2)

第二课时

教学目标

(a≥02=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. a≥0)是一个非负数,用具体数2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1a≥0)是一个非负数;)2=a(a≥0)及其运用.

2a≥0)是一个非负数;?用探究的方法导出2=a(a≥0).

教学过程

一、复习引入

(学生活动)口答

1.什么叫二次根式?

2.当a≥0叫什么?当a<0有意义吗?

6

二、探究新知

a≥0)是一个什么数呢?

做一做:根据算术平方根的意义填空:

)2=_______;

)2=_______;

2=______;

2=_______;

22=______;=_______;)2=_______.

例1 计算

1.

2

22 2.(

2 3. 4.)

三、巩固练习

计算下列各式的值:

2 四、应用拓展

2 计算:1.2(x≥0); 2.2 ; 22

2?2

(3.)2 ;

4.例3在实数范围内分解下列因式:

(1)x

2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3

五、归纳小结

本节课应掌握:

2

22 1a≥0)是一个非负数;2.=a(a≥0);反之:a=(a≥0).

六:教学后记: 7

16.1 二次根式(3)

第三课时

教学目标

(a≥0)并利用它进行计算和化简.

(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键

1

a(a≥0). 2.难点:探究结论.

3.关键:讲清a≥0

a才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容;

1

a≥0)的式子叫做二次根式;

2

(a≥0)是一个非负数; 3.

2=a(a≥0).

那么,我们猜想当a≥0

是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空:

. (老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到:

123

. 10

3

7

例1 化简

(1

(2

(3 (4

四、应用拓展

例2

填空:当a≥0;当

a<0,?并根据这一性质回

答下列问题.(1,则a可以是什么数?

(2,则a可以是什么数?(3

,则a可以是什么数?

例3当x>2

8

五、归纳小结

(a≥0)及其运用,同时理解当a<0

a的应用拓展.

六:教学后记:

16.2 二次根式的乘除

第四课时

教学目标

a≥0,b≥0)(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简

a≥0,b≥0)并运用它进行计算;?利(a≥0,b≥0)并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

a≥0,b≥0)a≥0,b≥0)及它们的运用. a≥0,b≥0).

关键:要讲清(a<0,b<0)=,如=)或

9

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空

(1

(2

=_______

=________.

(3

参考上面的结果,用“>、<或=”填空.

2.利用计算器计算填空

(1

,(2

(3

(4

(5

老师点评(纠正学生练习中的错误)

二、探索新知

(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.

老师点评:(1)被开方数都是正数;

(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,?并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.

一般地,对二次根式的乘法规定为

反过来:

例1.计算

(1

(2

(3

(4

分析:

a≥

0,b≥0)计算即可.

例2 化简

(1

(2

(3(4 (5

10

三、巩固练习

(1)计算(学生练习,老师点评)

×

(2) 化简:

教材P11练习全部

四、应用拓展

例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:

(1

? (2

五、归纳小结

本节课应掌握:(1

(a≥0,b≥0)

a≥0,b≥0)及其运用.

六:教学后记:

11

16.2 二次根式的乘除

第五课时

教学目标

a≥0,b>0

)和a≥0,b>0)及利用它们进行运算.

利用具体数据,通过学生练习活动,发现规律,归纳出除法规定,并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.

教学重难点关键

1

a≥0,b>0)

a≥0,b>0)及利用它们进行计算

和化简.

2.难点关键:发现规律,归纳出二次根式的除法规定.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题:

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

(1

(2

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好,上台的同学也回答得十分准确,根据大家的练习和回答,我们可以得到:

一般地,对二次根式的除法规定:

12

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

例1.计算:(1

(2

(3

(4

a≥0,b>0)便可直接得出答案.

分析:上面4

例2.化简:

(1

(2

(3

(4

四、应用拓展 a≥0,b>0)就可以达到化简之目的.

? 例3.

,且x为偶数,求(1+x

五、归纳小结

a≥0,b>0

a≥0,b>0)及其运用.

六:教学后记:

13

16.2 二次根式的乘除(3)

第六课时

教学目标

理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.

重难点关键

1.重点:最简二次根式的运用.

2.难点关键:会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)

1.计算(1

,(2

,(3

2.现在我们来看本章引言中的问题:如果两个电视塔的高分别是h1km,h2km,?那么它们的传播半径的比是_________.

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果,可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:

1.被开方数不含分母;

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是最简二次根式呢?如果不是,把它们化成最简二次根式. 学生分组讨论,推荐3~4个人到黑板上板书.

老师点评:不是.

??2

; (2)

例1.(1)

例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

三:教学后记:

14

16.3 二次根式的加减

第七课时

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.

重难点关键

1.重点:二次根式化简为最简根式.

2.难点关键:会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动:计算下列各式.

3 (1)2x+3x; (2)2x2-3x2+5x2; (3)x+2x+3y; (4)3a2-2a2+a

教师点评:上面题目的结果,实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变,系数相加减.

二、探索新知

学生活动:计算下列各式.

(1)

(2)

(3

(4)

所以,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并.

例1.计算

(1

(2

例2.计算

(1)

四、应用拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0

,求((2)

+

2

3-(x

)的值. 五、归纳小结

本节课应掌握:(1)不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;(2)相同的最简二次根式进行合并.

六:教学后记:

15

16.3 二次根式的加减

第八课时

教学目标

运用二次根式、化简解应用题.

通过复习,将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,进行合并后解应用题. 重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点,又是本节课的难点、关键点. 教学过程

一、复习引入

上节课,我们已经讲了二次根式如何加减的问题,我们把它归为两个步骤:第一步,先将二次根式化成最简二次根式;第二步,再将被开方数相同的二次根式进行合并,下面我们讲三道例题以做巩固.

二、探索新知

例1.如图所示的Rt△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速度向点A移动;同时,点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问:几秒后

△PBQ的面积为35平方厘米?PQ的距离是多少厘米?(结果用最简二次根式C

表示)

Q

分析:设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米,那么PB=x,BQ=2x,?根据三角P形面积公式就可以求出x的值.

例2.要焊接如图所示的钢架,大约需要多少米钢材(精确到0.1m)?

分析:此框架是由AB、BC、BD、AC组成,所以要求钢架的钢材,?只需知道这四段的长度.

四、应用拓展

例3.

若最简根式3a

求a、b的值.(?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式)

分析:同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同;?事实上,根

式2不是最简二次根式,因此

把2化简成|b|

3a-?b=?2,2a-b+6=4a+3b. 五:教学后记:

16

16.3 二次根式的加减

第九课时

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用. 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算. 重难点关键

重点:二次根式的乘除、乘方等运算规律;

难点及关键:由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学过程

一、复习引入

学生活动:请同学们完成下列各题:

1.计算

(1)(2x+y)·zx (2)(2x2y+3xy2)÷xy

2.计算

(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(2x+1)2+(2x-1)2

老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)?单项式×单项式;

(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用.

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢??仍成立. 整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,?当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式.

例1.计算:

(1)

(2)(

)÷

分析:刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,?所以直接可用整式的运算规律.

例2.计算

(1)

)(

(2)

分析:刚才已经分析,二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.

四、应用拓展

例3.已知x?bx?a=2-,其中a、b是实数,且a+b≠0,

ab

,并求值.

五:教学后记:

17

第十六章复习巩固训练题 第十课时

_______. 1、化简:(22?3)2?__________

2

、化简:?__________ 3、不等式(26?5)x>5?26的解集是

4、若x4?81,则5、若方程(x2?y2)(x2?y2?1)?6?0成立,则x2?y2?(m?)xm6、关于x的方程2?1?x?3?0是一元二次方程,则m=

7、已知关于x的一元二次方程kx2?5x?4?0有实数根,则k的取值范围为 。

8、若?x有意义,则x应满足 。 2?x

29

、化简:得 。

10、因式分解:x2?xy?3y2?11、已知a,b

?

b?1?0,求a2005?b2006的值。

12、计算及化简:

?⑴ 22

18

x3?xy2y?13、

已知:x?4的值。 3223xy?2xy?xya?b???? a?b

14、

已知:a?

15、 已知:x,y

为实数,且y?

3,化简:y?3?

16 已知 x?3y?x2?911?1?a2?2的值。 aax?32?0,求x?1的值。 y?1

19

第十六章单元质量检测题

第11--12课时

一、选择题(每小题3分,共30分)

221.下列各式中①a ;②?1; ③a; ④a?3; ⑤x?1; 2

⑥x2?2x?1一定是二次根式的有( )个。

A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2.若b?b2?6b?9?3,则b的值为( )

A.0 B.0或1 C.b≤3 D.b≥3

3.已知

n 的值是(

A.0 B.1 C.2 D.3

4. 已知xy>0

,化简二次根式 )

D.

5

?x的取值范围是( )

A. x?2 B. x?0 C. x?2 D. x?2

6. 小明做了以下四道题:①a4?4a2;②a?a?52a; ③a1

a?a2?1

a?a;④ 3a?2a?a。做错的题是(

A.① B.② C.③ D.④

7. 化简1

5?1

6的结果为( )

A.30 B.30 C.330

30 D.30

8.下列各式中,一定能成立的是( )

A.x2?9?x?3?x?3 B.a2?()2

C.x2?2x?1?x?1 D.(?2.5)2?(.5)2

20 ) )

9.化简?2(2?2)得( )

A.—2 B.2?2 C.2 D. 42?2

10.如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧,且a在b的左侧,则

a?b?(a?b)2的值为( )

A.?2b B.2b C.2a D.?2a

二、填空题(每小题3分,共30分)

2211.①(?0.3)?;②(2?5)?。

12.二次根式1

x?3有意义的条件是 。

13.若m<0,则|m|?m?

322m3。 14.已知x?3x=-xx?3,则x的取值范围是。

15.比较大小:

?2。

16.2xy?y??27?。

17. 计算a33a?a?。 a3

?3,则x2?6x?5的值为。 18.若x?

19.把(a?1)?1号内得 a?1

20.已知:

?111111?2,2??3,3??4,? 334455

当n?1时,第n个等式可表示为 。

三、解答题(共60分)

21、在实数范围内分解因式:(每小题4分)

(1)9a?25 (2)a?4a?4

21 442

22.计算:((每小题4分))

(1)4?

(3)()

23.若x,y是实数,且y?

的值。

(5分)

224、已知x?3x?1?

045??42 (2)6?233?3 2212?1?(?2)0?4??2 (4)21x?(x?x) 3x4x?1??4x?123,求(x9x?4xy)?(x?xy)33(5分)

25.若10?的整数部分是a,小数部分是b,求2ab?b的值。(5分)

1-2a+a2

26.先化简再求- a-1

a-2a+1 1 的值,其中a= (5分) a-a2+3 2

22

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