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压轴题1:动点产生相似三角形

发布时间:2014-02-25 15:00:43  

例3 中考模拟第25题

如图1,已知抛物线的方程C1:y??

交于点E,且点B在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;

(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;

(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;

(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理1(x?2)(x?m) (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴m由.

图1

满分解答

(1)将M(2, 2)代入y??11(x?2)(x?m),得2???4(2?m).解得m=4. mm

111(2)当m=4时,y??(x?2)(x?4)??x2?x?2.所以C(4, 0),E(0, 2). 442

11所以S△BCE=BC?OE??6?2?6. 22

(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小. 设对称轴与x轴的交点为P,那么

因此HPEO. ?CPCOHP233?.解得HP?.所以点H的坐标为(1,). 3422

(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′. 由于∠BCE=∠FBC,所以当CEBC,即BC2?CE?BF时,△BCE∽△FBC. ?CBBF

1(x?2)(x?m)21FF'EO设点F的坐标为(x,?(x?2)(x?m)),由,得??. mBF'COx?2m

解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).

COBF'm?4由.所以BF?. ?

?CEBFBF

由BC?CE?

BF,得(m?2). 22整理,得0=16.此方程无解.

图2 图3 图4

②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,

由于∠EBC=∠CBF,所以BEBC,即BC2?BE?BF时,△BCE∽△BFC. ?BCBF

1(x?2)(x?m)?x?2. m在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得

解得x=2m.所以F′(2m,0).所以BF′=2m+2

,BF?m?2).

由BC2?BE?

BF,得(m?2)2?m?

2).解得m?2?

综合①、②,符合题意的m

为2?

考点伸展

第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.

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