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11.第十一讲:三角形中的应用问题

发布时间:2014-02-25 15:00:43  

第十一讲 三角形中的应用问题
一、引言: (一)本节的地位:运用正弦定理、余 弦定理解决应用问题在近两年高考试题 中出现的频率很高,越来越新颖,是高 考的考查内容,高考考纲中就明确提出 要加强对正余弦定理的考查.

(二)考纲要求:通过本节的学习掌握
正弦定理、余弦定理;并能够应用正弦 定理、余弦定理解决问题;同时在运用

两个定理解决一些实际问题的过程中,
要学会用数学的思维方式去解决问题,

增强应用意识;注意数形结合和代数思
想方法的运用,不断提高分析问题和解

决问题的能力.

(三)考情分析:高考考题中常出现 应用正弦定理、余弦定理通过解三角

形来解决实际问题,还有些题目与其
他知识相结合进行综合考查,体现数

学的建模思想.

二、考点梳理: 解三角形应用问题的基本思路:建模 思想即解三角形应用问题时,通常根 据题意,从实际问题中抽象出一个或 几个三角形,然后通过解这些三角形,

得出三角形的边角的大小,从而得出
实际问题的解.

三、典型问题选讲:
(一)与实际问题相结合

例1 如图,测量河对岸的塔高AB 时,可
以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点 C与D.现测得?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s,

并在点C 测得塔顶A 的仰角为 ? ,求塔高
AB .

分析:由已知条件首先在 △BCD 中根
据正弦定理求得BC 的长,再将问题转

化到 Rt△ABC 中使问题得以解决.
?BCD ? ?, ?BDC ? ?, CD ? s, ?ACB ? ? .

解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? 由正弦定理得
BC CD ? sin ?BDC sin ?CBD
CD sin ?BDC s · sin ? 则 BC ? ? sin ?CBD sin(? ? ? )

s · tan ? sin ? AB ? BC tan ?ACB ? sin(? ? ? )

在 Rt△ABC 中,

归纳小结:本题是从实际问题中抽象出 两个三角形,然后通过解这两个三角形,

得出三角形的边角的关系,从而得出实
际问题的解.

例2 如图,当甲船位于A 处时获悉,在其 正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船

遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把
消息告知在甲船的南偏西 30? ,相距10海里

C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度
的方向沿直线

前往B 处救援
(角度精确到 1? )?

分析:将问题放在三角形中,通过解三角形将问
题解决,因此要连接BC ,根据已知条件运用

余弦定理求得BC
的长,再利用正弦 定理求出 ?ACB 的值, 进而求出 ?DCB 的值.

解:连结BC ,由余弦定理得 则 BC 2 ? 202 ? 102 ? 2 ?10 ? 20cos120? ? 700 因此 BC ? 10 7

sin ?ACB sin120? ? 20 10 7

所以 sin ?ACB ?

3 . 7

又 ?ACB < 90° ,则 ?ACB ? 41? .
所以乙船应朝北偏东71°方向沿直线

前往B 处救援. 归纳小结:本题要求对“方位角”的概 念理解透彻,通过连接BC 构造三角形, 利用三角形的知识将问题解决.

例3 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度 向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线 航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船 的北偏西105°方向的 B1处,此时两船相距 20海里,当甲船航行20分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西120°方向的 B2处,

此时两船相距
行多少海里?

海里,问乙船每小时航 10 2

分析:构造三角形,利用余弦定理求解.
解法一:如图,连结 A1 B2,由已
20 知 A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 30 2 ? ? 10 2 60

,

? A1 A2 ? A2 B2
又 ∠A1 A2 B2 ? 180? ? 120? ? 60?
? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2

?△ A1 A2 B2 是等边三角形,

? ? ? ∠ B A B ? 105 ? 60 ? 45 由已知 A1B1 ? 20 , 1 1 2

△ A1B2 B1中,由余弦定理, 在

B1 B ? A1B ? A1B ? 2 A1B1 ?A1B2 ? cos 45
2 2 2 1 2 2

?

2 ? 20 ? (10 2) ? 2 ? 20 ?10 2 ? 2
2 2

=200

? B1 B2 ? 10 2 ,因此,乙船的速度的大小
10 2 为 ? 60 ? 30 2 (海里/小时). 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

解法二:如图,连结 A B ,由已 2 1 知 A1B1 ? 20
20 ,A1 A2 ? 30 2 ? ? 10 2 60
?



? ? ? , ∠B1 A1 A2 ? 105 cos105 ? cos(45 ? 60 )

2(1 ? 3) , ? cos 45 cos 60 ? sin 45 sin 60 ? 4
? ? ? ?

sin105 ? sin(45 ? 60 )
? ? ?

? sin 45 cos60 ? cos45 sin 60
? ? ?

?

?

2(1 ? 3) . 4

在 △ A2 A1B1中,由余弦定理,

A B ? A B ? A A ? 2 A1B1 ?A1 A2 ?cos105
2 2 1 2 1 1 2 1 2

?

2(1 ? 3) ? (10 2) ? 20 ? 2 ?10 2 ? 20 ? 4
2 2

? 100(4 ? 2 3)
由正弦定理,

? A2 B1 ? 10(1 ? 3)
A1 B1 20 2(1 ? 3) 2 sin ∠A1 A2 B1 ? ?sin ∠B1 A1 A2 ? ? ? A2 B1 4 2 10(1 ? 3)

?∠A1 A2 B1 ? 45 , 即∠B1 A2 B2 ? 60 ? 45 ? 15
?
? ?

?

cos15 ? sin105 ?
? ?

2(1 ? 3) 4

在 △B1 A1B2 中,由已知 A1B2 ? 10 2 , 由余弦定理 B B 2 ? A B 2 ? A B 2 ? 2 A B ?A B ?cos15? 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2
? 102 (1 ? 3) 2 ? (10 2) 2 2(1 ? 3) ?2 ? 10(1 ? 3) ? 10 2 ? 4

? 200.

? B1 B2 ? 10 2.

乙船的速度的大小为 10 2 ? 60 ? 30 2
20

海里/小时. 答:乙船每小时航行 30 2 海里. 归纳小结:通过连结线段构造三角形, 利用三角形的知识将问题解决.

例4

如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一

条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM该曲线段 为函数y=Asin? x(A>0, ? >0)

x?[0,4]的图象,且图象

的最高点为S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段

MNP,为保证参赛运动员的安全,
限定? MNP=

120?

(1)求A , ? 的值和M,P两点间的距离;
(2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP最长?
分析:

本小题主要 考查三角函数的图

象与性质、解三角
形等基础知识.

T (1)依题意,有 A ? 2 3 , ?3, 4 ? 2? 又T? ,?? ? ,? y ? 2 3 sin ? x ? 6 6

解法一:

当x=4时
2? ? y ? 2 3 sin ?3 3

? M (4,3),


2

P(8,0)
2

? MP ? 4 ? 3 ? 5 .

(2)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,
设∠PMN= ,则0° ?< 由正弦定理得
10 3 ? NP ? sin ? 3

<60° ?

MP NP MN ? ? 0 0 sin ? sin(60 ? ? ) sin120

10 3 ? MN ? sin(600 ? ? ) 3

10 3 10 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) 故 NP ? MN ? 3 3 10 3 10 3 1 3 0 ? sin( ? ? 60 ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 2 2

? 0°< ? <60°, ?当 ? =30°时,折线段
赛道MNP最长,亦即将∠PMN设计为

30°时,折线段道MNP最长.

解法二:

(1)同解法一.
(2)在△MNP中,∠MNP=120°, MP=5,由余弦定理得 2 2 2 MN ? NP ? 2MN ?NP? cos ?MNP ? MP . 即 MN 2 ? NP2 ? MN ?NP ? 25.

故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN ?NP ? ( MN ? NP )2 ,

3 2 从而 ( MN ? NP) ? 25 , 4 即 MN ? NP ? 10 3
3

2

当且仅当 MN ? NP时,折线段道MNP最长. 归纳小结:本题第(2)问答案及其呈现
方式均不唯一,除了解法一、解法二给出

的两种设计方式,还可以设计为:
① ②
12 ? 3 9 ? 4 3 N( , ); 2 6 12 ? 3 9 ? 4 3 ; N( , ) 2 6

③点N在线段MP的垂直平分线上等. 本题
考查运算求解能力以及应用数学知识分析 和解决实际问题的能力,考查化归与转化

思想、数形结合思想.

例5 如图,A,B,C,D都在同一个与水平 面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座

灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和
0 D点的仰角分别为 750 、 30 ,于水面C处测

得B点和D点的仰角均为

60 ,AC=0.1km.试探究
图中B,D间距离与另外

0

哪两点距离相等,然后求B,D的距离. (计算结果精确到0.01km, 2 ? 1.414,
6

?2.449)

分析:根据图形找到所需的三角形,利用 正弦定理求解.

解:在?ACD 中,
?DAC

=30°,

? DAC ? ADC=60°-

=30°,

所以CD=AC=0.1km. 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°,

故CB是三角形DAC底边AD的中垂线, 所以BD=BA .
AB AC ? 在 ?ABC中, sin?BCA sin?ABC

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? 即AB= sin15? 20

因此 BD ? 3 2 ? 6 ? 0.33km
20

故B、D的距离约为0.33km. 归纳小结:本题是从实际问题中抽象

出两个三角形,得出三角形的边角的
关系,从而得出实际问题的解.

例6 为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿

水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N
在同一个铅垂平面内(如示意图),飞机能够

测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计
一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用

字母表示,并在图中标出);②用文字
和公式写出计算M,N间的


距离的步骤.

分析:此题为开放型问题,通过设计方 案更有利于考查对知识理解与掌握. 方案一: ①需要测量的数据有: A点到M,N点的俯角?1 , ?1 ;

B点到M,N的俯角 ? 2 , ? 2 ;
A,B的距离 d (如图所示) .

②第一步:计算AM . 由正弦定理
d sin ? 2 AM ? sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算AN . 由正弦定理
d sin ? 2 AN ? sin( ? 2 ? ?1 )

;

第三步:计算MN. 由余弦定理

MN ? AM ? AN ? 2 AM ?AN cos(?1 ? ?1 )
2 2

方案二:①需要测量的数据有: A点到M,N点的俯角 ?1 , ?1 ,

B点到M,N点的府角 ? 2 , ? 2 ; A,B的距离 d .如图:

②第一步:计算BM .
由正弦定理
d sin ?1 BM ? sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算BN .
由正弦定理 BN ?
d sin ?1 sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算MN. 由余弦定理
MN ? BM ? BN ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )
2 2

归纳总结:此问题更能体现考纲所倡

导的理念,更有利于考查分析问题、
解决问题的能力.

(二)与其它知识综合 例7 在 △ABC 中,已知内角 A ? ? ,

边 BC ? 2 3 .设内角 B ?

x ,周长为y.

?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求y的最大值. 分析:应用正弦定理将y转化为x的函数, 利用函数知识求解.

解:(1) △ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,
? 由 A ? ,B ? 0,C ? 0 得 ?
2? 0?B? ?

应用正弦定理,知
BC AC ? sin B sin A 2 3 ? sin x ? 4 sin x ? sin ?

BC ? 2? ? AB ? sin C ? 4sin ? ? x? sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC

2? ? ? 2? ? ? 所以 y ? 4sin x ? 4sin ? ? x ? ? 2 3 ? 0 ? x ? ? 3 ? ? ? ? ?
? ? ? 1 (2)因为 y ? 4 ? sin x ? cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? ? 2 ? ? ?? ? 5? ? ? ?? ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ? ?? ? ? ? ? ??

? ? 所以,当 x ? ? ? ?

? ,即 x ? 时, ?

y取得最大值 6 3 .

归纳小结:本题将三角函数公
式、正弦定理、函数性质相结合, 考查综合解题能力.

例8 ?ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,
??? ? ??? ? ??? ? ? 且3OA ? 4OB ? 5OC ? 0.

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? (1)求数量积 OA ? OB, OB ? OC , OC ? OA ;

(2)求 ?ABC 的面积. 分析:本题运用向量知识及三角形面积

公式求解.
??? ? ??? ? ???? 解:(1) ?| OA |?| OB |?| OC |? 1, ??? ? ??? ? ???? 由条件可得3OA ? 4OB ? ?5OC

??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ???? 2 两边平方得 9 | OA | ?24OA ? OB ? 16 | OB | ? 25 | OC |

??? ? ??? ? ?OA? OB ? 0 .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 4 3 同理可得 OB? OC ? ? , OC ? OA ? ? . 5 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)由 OA ? OB ? 0可得OA ? OB, ? ??? ? 1 1 ??? ? S?AOB ? OA OB ? . 2 2 ??? ? ??? ? 由 OB ? OC ? ? 4 , 得 cos ?BOC ? ? 4 , 5 5

? ??? ? 1 ??? 3 S?BOC ? OB OC sin ?BOC ? . 2 10 ??? ? ??? ? 3 3 由 OC ? OA ? ? , 得 cos ?COA ? ? , 5 5 4 ? sin ?COA ? , 5 ? ??? ? 1 ??? 2 ? S?AOC ? | OB || OC | sin ?COA ? , 2 5

3 ? sin ?BOC ? , 5

即可得

S?ABC

1 3 2 6 ? S?AOB ? S?BOC ? S?COA ? ? ? ? . 2 10 5 5

归纳小结:熟练掌握向量知识

中的运算法则,结合三角函数知识
使问题解决.

四、本专题总结 (1)本节课包含应用建模思想即解三角

形应用问题时,通常根据题意,从实际
问题中抽象出一个或几个三角形,然后 通过解这些三角形,得出三角形的边角

的大小,从而得出实际问题的解,同时
在运用两个定理解决一些实际问题的过

过程中,要学会用数学的思维方式去
解决问题,增强应用意识;注意数形 结合和代数思想方法的运用,不断提 高分析问题和解决问题的能力. (2) 应注意的问题:解三角形应用问题时,

由于具体问题中给出的数据通常均为
有效近似值,故运算过程比较复

杂,可借助计算器进行运算,也应达到
算法简炼、计算准确等要求;解三角形

应用问题的实质是将已知量和未知量通
过正弦定理、余弦定理建立方程,应用 方程思想进行处理,因此应合理选择比

较容易的方程进行求解,从而使解题过
程简捷.


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