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北师大版八下第一章三角形的证明1.2(2)直角三角形

发布时间:2014-02-25 15:00:52  

八年级数学(下册) 第一章 三角形的证明

1.2.直角三角形(2) 直角三角形全等的证明

回顾 & 思考

1

三角形全等的判定

?公理:三边对应相等的两个三角形全等(SSS). ?公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS). ?公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA). ?推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS). ?想一想: ?两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等? ?两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全 等. ?如果其中一边的所对的角是直角呢?

?如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等. ?请证明你的结论.

我能行

1

命题的证明

?命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等. ?证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:
B B′ B′

A



C A′ (1)



(2)

C′ A′



(3) C′

由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等; 由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等; ?因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等. 老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记

我能行

2

命题的证明

?两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如 果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.

?已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=90 0. ?求证:△ABC≌△A′B′C′. B B′

C 老师期望:你能写出它的证明过程吗?

A C′

A′

你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗?

我能行

3

直角三角形全等的判定 定理及其三种语言

?定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三

角形全等(斜边,直角边或HL).

?如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ?∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ?∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
B B′

C

A C′

A′

忆童年,典例解析 例

有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高 度AC与右边滑梯DF相等,两个滑梯的倾 斜角∠B和∠F大小有什么关系?

做一做

1

练一练

已 知 :D 是 △ ABC 的 BC 边 的 中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F, A 且DE=DF.

求证:△ABC是等腰三角形
E

F

B

D

C

做一做

2

用三角尺作角平分线
M O
● ● ●

?如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;

?再过点M作OA的垂线,
?过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,

A

那么射线OP就是∠AOB的平分线.
?请你证明OP平分∠AOB.

P

?先把它转化为一个纯数学问题:
?已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON. ?求证:∠AOP=∠BOP.

N

B

老师期望:你能写出它的证明过程吗?

议一议

蓄势待发

?如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它

们分别写出来. ?增加AC=BD; D C O ?增加BC=AD; ?增加∠ABC=∠BAD ; B A ?增加∠CAB=∠DBA ; ?你能分别写出它们的证明过程吗?
?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?
?你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?

?你能分别写出它们的证明过程吗?

开启

智慧

知识在于积累

?判断下列命题的真假,并说明理由:

?两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
?斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;

?两直角边对应相等的两个直角三角形全等; ?一条直角边和另一条直角边上的中线对应 相等的两个直角三角形全等.
?老师期望: ?请分别将每个判断的证明过程书写出来.

小结
?

拓展

回味无穷

?

? ? ? ?
?

? ?

直角三角形全等的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜 边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS). 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA). 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS). 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;

?切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等.

?即(SSA)是一个假冒产品!!!

独立 作业

知识的升华

P21习题1.6 2,5题.

祝你成功!

独立作业

1

习题1.6

A ?1.已知:如图,D是△ABC的BC边上 的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别 为E,F,且DE=DF. ?求证: △ABC是等腰三角形. F 分析:要证明△ABC是等腰三角形, D B 就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C; 进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;

E C

而△BDF≌△CDE的条件: BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证. ?老师期望: ?请将证明过程规范化书写出来.

独立作业

2

习题1.6
C F E A

?2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂 D 足分别为E,F,DE=BF. ?求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD. 分析:(1)要证明AE=CF, 由已知条件, AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, DE=BF. 可证得△ABF≌△CDE,从而可得AF=CE. 由此AE=CF可证. (2)要证明AB∥CD, 需要证明内错角∠A=∠C; 而由△ABF≌△CDE可得证. 老师期望:请将证明过程规范化书写出来 .

B

下课了!

结束寄语

? ?

严格性之于数学家,犹如道德之 于人. 证明的规范性在于:条理清晰 ,因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.


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