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浙教版九年级数学3.2三角形的内切圆

发布时间:2014-02-25 17:11:09  

1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么?
①.圆心与半径 或②.不在同一直线上的三点

2、叙述角平分线的性质与判定
性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
A

判定:到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3、下图中△ABC与圆O的关系?
△ABC是圆O的内接三角形; 圆O是△ABC的外接圆
O

圆心O点叫△ABC的外心
B C

探究新知
如图是一块三角形木料,木工师傅要 从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢? A

A

B

C

B

C

A
r

D
C

O
E F B

探 究 : 三 角 形 内 切 圆 的 作 法

思考下列问题:
1.如图,若⊙O与 ∠ABC的两边相切,那么 圆心O的位置有什么特点?
圆心0在∠ABC的平分线上。 B M

A

O
N
A

C

2.如图2,如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两 边相切,且与内角∠ACB 的两边也相切,那么此⊙O 的圆心在什么位置?

O

B

图2

C

圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的交点上。

定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三 角形叫做圆的外切三角形。
性质:1.三角形的内心到三角形各边的距离相等;
2.三角形的内心在三角形的角平分线上; A r O E F B D C

试一试:

你能画出一个三角形的内切圆吗?

作法: 1、作∠B、∠C的平分线 BM和CN,交点为I。 2.过点I作ID⊥BC,垂足为D。
A

3.以I为圆心,ID为 半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。
B

N I D

M

C

1.如图1,△ABC是⊙O的
点O叫△ABC的 外心 ,

内接 三角形。

A
. O

⊙ O是△ABC的 外接 圆, 三边中垂线

B
的交点。
三角形,

C D
. I
图2 图1

它是三角形

2.如图2,△DEF是⊙I的 外切 ⊙I是△DEF的 圆,

内切 点I是 △DEF的 心, E 内 它是三角形 的交点。 三条角平分线

F

3. 三角形的内切圆能作____ 1 个,圆的外切三角形有 无数 内部 _____ 个,三角形的内心在三角形的_______.

探讨1:
(1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.

(2)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形.
(3)任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆. (4)任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形 正确说法有_______________________ (1) (3)

名称 外心: 三角形 外接圆 的圆心

确定方法
三角形三边 中垂线的交 点

图形
A
o

性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 C 部.

B 三角形三条 角平分线的 交点
B
A 1.到三边的距离 相等; 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部.

内心: 三角形 内切圆 的圆心

O

练一练
如图,在△ABC中,点O是内心,

(1)若∠ABC=50°, ∠ACB=70°,求

∠BOC的度数
(2)若∠A=80 °,则∠BOC =
130 20

度。

(3)若∠BOC=100 °,则∠A =
(4)试探索: ∠A与∠BOC之间存 在怎样的数量关系?请说明理由。

度。
A

O
2 )1 4 3(

∠BOC = 90o + 1 ∠ A 2

B

C

例1、如图,一个木模的上部是圆柱,下 部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱 的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形 的内切圆,已知直三棱柱的底面等边三角 形的边长为3cm,求圆柱底面圆的半径。
如图是这个木模的俯视图
A

D

r

O

B

C

练一练

等边 三 角形 的 内切 圆 半径 、 外接 圆 的半 径 和高 的 比为 ( D) (A)1∶ ∶ 3 (B)1∶2∶ 3

2

(C)1∶

3

∶2

(D)1∶2∶3

A

R B

O r D C

等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆。

例2、如图,已知⊙O 是△ABC的内切圆, 切点分别点D、E、F,设△ABC周长为L。 1 求证:AE+BC= L 2
A

F O B D



C

探讨2:
设△ABC 的内切圆的半径为r,△ABC 的周长为 1 L,△ABC 的面积S,则 S = rL ,请说明理 A 2 由? D F ? O r B E C

看 比 1、已知:在△ABC中,BC=14,AC=9, 谁 一 AB=13,它的内切圆分别和BC、AC、AB 做 比 切于点D、E、F,求AF、BD和CE的长。 得 A 快
F 13-x B 13-x x x E 9-x D 9-x

C

∴(13-x)+(9-x)=14

解得x=4

∴AF=4,BD=9,CE=5

2、如图 ,PA与PB分别切⊙O于A、B两点, C是 上任意一点,过C作⊙O 的切线交PA 及PB于D、E两点,若PA=PB=5cm,则 10cm △PDE的周长为_________cm .

3、直角三角形的两直角边分 别是5cm,12cm .则其内切圆 2cm 。 的半径为______
A

S =

1 2

rL

.O
C B

探讨3:
如图,直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边为 a+b-c c 则其内切圆的半径r为: r = 2 (以含a、b、c的代数式表示r) A 如:直角三角形的两 直角边分别是5cm, 12cm 则其内切圆的 半径为______ 2cm 。 b D C c r O r E a

B

如图,朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地 处建造了一座镇标雕塑,以树立起文明古镇的形象。 已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等, AC⊥BC,BC=30米,AC=40米。请你帮助计算一下, 镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远?
A 镇 商 业 区 D M

.

F

C

B E 镇工业区

小结: 三角形的内切圆 (1)三角形的内心是三角形内切圆的圆心 (2)三角形的内心是三角形各角平分线的交点 (3)三角形内心到三边的距离相等 1 S = rC (4)三角形面积 2 (C为三角形周长,r为内切圆半径)
(5)直角三角形 的内切圆的半径为r 与 各边长 a、b、c的关系是

a?b?c r= 2

?

P59 探究活动

如图,I是?ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交 ?ABC的外接圆于点E. 求证: (1) EI = EB ;
(2)IE 2 = AE · DE .
A O I · B
)4
1 2

D E

C


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