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16.3分式方程(2)

发布时间:2014-02-25 17:11:19  

1.什么是整式方程? 分母里不含有未知数的方程叫 做整式方程。 2.什么是分式方程? 分母里含有未知数的方程叫做 分式方程。

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,

它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与
以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水

的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时,根据题意,得

100 60 ? 20 ? v 20 ? v

分母中含未知数的 方程叫做分式方程.

100 60 ? 20 ? v 20 ? v
像这样,分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。 以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。

下列方程中,哪些是分式方程?哪些整式方程.

x?2 x (1) ? 2 3

4 3 ? ?7 x y

整式方程

1 3 (2) ? x?2 x

x( x ? 1) (4) ? ?1 x

(3)

3? x

?

x ?1 x 2x ? ? 10 ? (6) 5 2

1 (5)x ? ? 2 x

2x ?1 ? 3x ? 1 x

分式方程

解分式方程 的步骤是什 么? 解分式方程和解整式方程有什么区别?

(1) 3(X-3)=2X

3 2 (2)   ? x x ?3
3X-9=2X 解得 X=9 检验:X=9时X(X-3) ≠0 所以X=9是原方程的解

解:去括号,得3x-9=2x 方程两边同乘以X(X-3)得: 移项,得3x-2x=9 解得x=9

解分式方程的思路是:
分式 方程 去分母

整式 方程

解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母, 化成整式方程. (转化思想)

2、解这个整式方程.
3、检验 4、写出原方程的根. 为什么要检验?

一化二解三检验

1 10 例 1: 解分式方程: ? 2 x ? 5 x ? 25
方程两边同乘以最简公分母(x-5)(x+5),得:

x+5=10 解得: x=5

为什么会产生 增根?增根产 生的原因?

检验:当x=5时最简公分母(x-5)(x+5)=0, 所以x=5是增根。

原分式方程无解。

对于分式方程,当分式中分母的值为零时无 意义,所以分式方程,不允许未知数取那些 使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐 含着分母不为零的条件。当把分式方程转化 为整式方程以后,这种限制取消了,换言之, 方程中未知数的取值范围扩大了,如果转化 后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允 许值之外的值,那么就会出现增根。

例2:k为何值时,方程 增根?

k 1? x ?3? 产生 x?2 2? x

问:这个分式方程何时有增根? 答:这个分式方程产生增根,则增根一定是使 方程中的分式的分母为零时的未知数的值,即 x=2。 问:当x=2时,这个分式方程产生增根怎样利用 这个条件求出k值?

答:把含字母k的分式方程转化成含k的整式方 程,求出的解是含k的代数式,当这个代数式等 于2时可求出k值。

例2:k为何值时,方程

k 1? x ?3? 产生增根? x?2 2? x

解:方程两边都乘以x-2,约去分母,得
k+3(x-2)=x-1 解这个

整式方程,得

5?k x? 2

当x=2时,原分式方程产生增根,即

5?k 2? 2

解这个方程,得 K=1

k 1? x ?3? 所以当k=1时,方程 产生增根。 x?2 2? x

例 3:

k为何值时,分式方程 有增根? 解: 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解,得
k x?? k?2

x k x ? ? ?0 x ?1 x ?1 x ? 1

? 当x=1时,原方程有增根,则k=-1

? 当x=-1时,k值不存在 ∴当k=-1,原方程有增根。

变式1:

k 1? x ?3? k为何值时,方程 x?2 2? x

无解?

变式2:
k为何值时,方程

k 1? x ?3? 有解? x?2 2? x

思考:“方程有增根”和“方程无解” 一样吗?

例 4: x k x ? ? ?0 k为何值时,分式方程 x ?1 x ?1 x ? 1 无解? 解: 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得 x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解,得
k x?? k?2

? 当x=1时,原方程无解,则k=-1
? 当x=-1时,k值不存在 ? 当k=-2时,k+2=0, 原方程无解

∴当k=-1或k=-2时,原方程无解

思考:“方程有增根”和“方程无解” 一样吗? “增根”是你可以求出来的,但代入后方 程的分母为0无意义,原方程无解。 “无解”包括增根和这个方程没有可解的根

变式2: K取何值时,分式方程 有解?

x k x ? ? ?0 x ?1 x ?1 x ? 1

x-3 1.解关于x的方程 x-1 = 则常数m的值等于( ) (A)-2 (B)-1

m x-1 (C ) 1

产生增根,
(D) 2

x m 2.当m为何值时,方程 x ? 3 ? 2 ? x ? 3

无解?有解呢?

1、加深解分式方程的思路
2、利用增根解决问题 3、分清“有增根”和“无解”的 区别

x ?1 m 1.m为何值时,方程   ? x ?1 x ?1 增根?

会产生

3 k ? 1? 2.若关于x的方程  产生增 1? x 根,k为何值? x ? 1


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