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解直角三角形精华

发布时间:2014-02-26 19:50:21  

解直角三角形导学案(一)

学习要求

理解解直角三角形的意义,掌握解直角三角形的四种基本类型.

课堂学习检测

一、填空题

1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示): 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,

第1题图

①三边之间的等量关系:

__________________________________.

②两锐角之间的关系:

__________________________________.

③边与角之间的关系:

sinA?cosB?______; cosA?sinB?_______;

11tanA??_____; ?tanB?______. tanAtanB

④直角三角形中成比例的线段(如图所示).

第④小题图

在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D.

CD2=_________;AC2=_________;

BC2=_________;AC·BC=_________.

⑤直角三角形的主要线段(如图所示).

第⑤小题图

直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________,斜边的中点是_________.

若r是Rt△ABC(∠C=90°)的内切圆半径,则r=_________=_________.

⑥直角三角形的面积公式.

在Rt△ABC中,∠C=90°,

S△ABC=_________.(答案不唯一)

2.关于直角三角形的可解条件,在直角三角形的六个元素中,除直角外,只要再知道_________(其中至少_________),这个三角形的形状、大小就可以确定下来.解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)

3

4

.在Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)已知:a=35,c?352,求∠A、∠B,b;

(2)已知:a?23,b?2,求∠A、∠B,c;

(3)已知:sinA?

3 (4)已知:tanB?,b?9,求a、c; 2

2,c?6,求a、b; 3

(5)已知:∠A=60°,△ABC的面积S?123,求a、b、c及∠B.

综合、运用、诊断

5.已知:如图,在半径为R的⊙O中,∠AOB=2a ,OC⊥AB于C点.

(1)求弦AB的长及弦心距;

(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn.

6.如图所示,图①中,一栋旧楼房由于防火设施较差,想要在侧面墙外修建一外部楼梯,由地面到二楼,再从二楼到三楼,共两段(图②中AB、BC两段),其中CC′=

BB′=3.2m.结合图中所给的信息,求两段楼梯AB与BC的长度之和(结

果保留到0.1m).(参考数据:sin30°=0.50,cos30°≈0.87,sin35°≈0.57,cos35°≈

0.82)

7.如图所示,某公司入口处原有三级台阶,每级台阶高为20cm,台阶面的宽为30cm,为了方便残疾人士,拟将台阶改为坡角为12°的斜坡,设原台阶的起点为A,斜坡的起点为C,求AC的长度(精确到1cm).

拓展、探究、思考

8.如图所示,甲楼在乙楼的西面,它们的设计高度是若干层,每层高均为3m,冬天太阳光与水平面的夹角为30°.

(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层,且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上,那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)

(2)由于受空间的限制,甲楼和乙楼的距离BD=21m,若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上,那么设计甲楼时,最高应建几层?

9.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英同学离A地多少距离?

10.已知:如图,在高2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至

少需要多少米?(保留整数

)

第十四讲:解直角三角形

知识梳理

知识点1. 直角三角形中边与角的关系

重点:熟练掌握直角三角形中边与角的关系

难点:运用直角三角形中边与角的关系

中,∠C=90°

(1)边的关系:

(2)角的关系:

(3)边与角的关系:

sinA=cosB=abab, cosA=sinB=,tanA==, tanB=。 ccba

例1如图,在Rt△ABC中,?ACB?Rt?,BC?1,

AB?2,则下列结论正确的是( )

1A

.sinA? B.tanA? 2

C

.cosB? D

.tanB?解题思路:运用直角三角形的边角关系,选D

例2.在A ABC中,已知∠C=90°,sinB=

A.3,则cosA的值是 ( ) 53434 B. C. D. 4355

解题思路:运用直角三角形的边角关系,例1选D,例2选C

练习1在Rt△ABC中,∠C=90°,a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )

A、11 B、 C、 D、 15443

02.在RtΔABC中,∠C=90,则下列等式中不正确的是( )

(A)a=csinA;(B)a=bcotB;(C)b=csinB;(D)c=

答案:1. B 2.D

知识点2.特殊角的三角函数值

重点:熟记特殊角的三角函数值

难点:熟练计算三角函数值

AbcosB. C

特殊角30°,45°,60°的三角函数值列表如下:

例:计算:6045解题思路:sin60?

原式 0000

,cos45? 22

???2 3?1?22

5?2

练习

1. 计算(?2)?tan45?2cos60;

2.计算:2cos60°??2009?π??答案1.4 2.3

知识点3. 直角三角形的解法

重点:利用直角三角形的边角关系解直角三角形

难点:理解题意,灵活运用

直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据,因此,解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式,使两个已知元素(其中至少有一个元素是边)和一个未知元素共处于这个关系式中,其四种类型的解法如下表:

2。。0

例1如图,已知AC=1,求BD。

解题思路:将未知线段设为,通过列方程来解直角 三角形是常用的有效方法。 设BD=x,根据图形有AC=CD=1 BD+CD=

AC ∴

,求AB的长。

例2如图,已知中,∠B=45°,∠C=30°,BC=3+

解题思路:解直角三角形中,需将已知角置于直角三角形中,故“构造直角三角形”是常见的作辅助线的方法,简单说就是“作高”。

解:作AD⊥BC于D ∵

设BD=AD= ∴ AD=BD

在∵

练习

1.在

中, ∴

即 ∴

中,∠C=90°,,∠A-∠B=30°,试求的值。

2. 如图,在求AB的长。

中,,,D为AC上一点,,DC=8,

答案1. 解:∵ ∠A+∠B=90°,∠A-∠B=30° ∴ ∠A=60°,∠B=30°

又 ∵

2. 解:∵ 在△DBC中,∠C=90°,∠BDC=45° ∴ BC=DC=8

在Rt△ABC中, ∴

知识点4. 解直角三角形与实际问题

重点:掌握仰角和俯角、坡度和坡角、方向角

难点:灵活运用解直角三角形

1.仰角和俯角:这两种角均为水平线与观测线所夹的角,当观测线在水平线上方时,夹角为“仰角”,当观测线在水平线下方时,夹角为“俯角”。

2.坡度和坡角:如图所示

坡度 坡角为坡面与水平面的夹角

3. 方向角:

从南北方向线较近的一端起,到目标方向线的夹角,如图所示:射线OA为北偏东 60°,射线OB为南偏西30°,此外,东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。

例1 如图,在某建筑物AC上,挂着“多彩云南”的宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅顶端B,测的仰角为30°,再往条幅方向前行20米到达点E处,看到条幅顶端B,测得仰角为60°,求宣传条幅BC的长,(小明的身高不计,结果精确到0.1米)

解题思路:运用仰角的概念和解直角三角形的知识

解:∵ ∠BFC=30°,∠BEC=60°,∠BCF=90° ∴ ∠EBF=∠EBC=30°

∴ BE-EF=20 在中,

答:宣传条幅BC的长是17.3米。

例2一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上,之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?

(参考数据:)

解题思路:运用方向角的概念和解直角三角形的知识

解:过C作AB的垂线,交直线AB于点D,得到与,设海里。 在中, ∴

在∴

中, 海里,

解得, ,即 答:轮船继续向东航行15海里,距离小岛C最近。

例3 如图,水池的横断面为梯形ABCD,迎水坡BC的坡角B为30°,背水坡AD

的坡度

,坝底宽DC=2.5m,坝高CF=4.5m。求:(1)坝底AB的长;(2)迎水坡BC的长;

(3)迎水坡BC的坡度。

解题思路:运用坡度和坡角的概念和解直角三角形的知识

解:作DE⊥AB于E

(1)∵ CF⊥AB于F ∴

坡度 ∴

(2)由(1)∵ CF=4.5,∠B=30° ∴

(3)∵

∴ 迎水坡BC的坡度为

0 00/练习:1.如图,在△ABC中,∠A=90,D是AB上一点,∠ACD=37,∠BCD=2630,AC=60,

求AD,CD及AB的长。(以下数据供选用sin370?

2.某船向正东航行,在A处望见灯塔C在东北方向,前进到B处

望见灯塔C在北偏西30,又航行了半小时到D处,望见灯塔C恰在

西北方向,若船速为每小时20海里。求A、D两点间的距离。(结果

不取近似值)

答案:1.45、75、120; 2.30+103。

最新考题

中考要求及命题趋势

1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值;

03434, cos370?,tg370?,ctg370?)5543

2、会由已知锐角求它的三角函数,由已知三角函数值求它对应、的锐角 ;

3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

2010年将继续考查锐角三角形函数的概念,其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点,特别是与实际问题结合的应用题

应试对策

1要掌握锐角三角函数的概念,会根据已知条件求一个角的三角函数,会熟练地运用特殊角的三角函数值,会使用科学计算器进行三角函数的求值;

2掌握根据已知条件解直角三角形的方法,运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到:1)了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念;2)将实际问题转化为数学问题,建立数学模型;3)涉及解斜三角形的问题时,会通过作适当的辅助线构造直角三角形,使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题

考查目标一、直角三角形的边角关系

例1(2009泸州)如图,已知Rt△ABC中,AC=3,

BC= 4,过直角顶点C作CA1⊥AB,垂足为A1,再过

A1作

A1C1⊥BC,垂足为C1,过C1作C1A2⊥AB,垂足为A2,再

过A2作A2C2⊥BC,垂足为C2,?,

图 CA这样一直做下去,得到了一组线段CA1,A1C1,C1A2,?,则CA145? A5C5

解题思路:由题意tan?B?tan?ACA?1CA3125,则CA1= ,45? A5C5354

例2.在△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sinB的值是( )

1

A.2 B

.2 C

. D.2

解题思路:直角三角形的边角关系,选A

考查目标二、特殊角的三角函数的有关计算

例1(2009

荆门)4cos30?sin60??(?2)?1?2008)0=______.

解题思路:熟记特殊角的三角函数值

解:4cos30?sin60??(?2)?1?

2008)0

1(?)?12

1?3?(?)?1 2

3?2?4例2(2009黄石)计算:3+(2π-1)-

解:3+(2π-1)--10-10tan30°-tan45° 33tan30°-tan45° 3

11??1??133

?0

考查目标三、三角函数的实际应用

例1(2009 中山). 如图所示,A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么?(参考数据:?1.732,?1.414) 解题思路:过点P作PQ⊥AB于Q,则有∠APQ=30°,∠BPQ=45° 设PQ=x,则PQ=BQ=x,AP=2AQ=2(100-x).

在Rt△APQ 中, 第15题图BPFAQ100?x ∵tan∠APQ=tan30o =,

. ?xPQ

∴x?50(3

又∵50(3?63.4>50,∴计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。

例2(2009 南京)如图,山顶建有一座铁塔,塔高CD=30m,某人在点A出测得塔底C的仰角为20°,塔顶D的仰角为23°,求此人距CD的水平距离AB.(参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364,sin23°≈0.391,cos23°≈0.921,tan23°≈0.424)

D

A23°20°

CB

解题思路:在Rt△ABC中,∠CAB=20°,

∴BC=AB·tan∠CAB= AB·tan20°

在Rt△ABD中,∠DAB=23°

∴BD=AB·tan∠DAB= AB·tan23°

∴CD=BD-BC=AB·tan23°- AB·tan20°=AB(tan23°- tan20°).

∴AB=CD30≈=500(m) tan23??tan20?0.424?0.364

答:此人距CD的水平距离AB约为500m

过关测试

一. 选择题:

1.某天同时同地,小红同学测得1m的测竿在地面上影长为0.8m,小兰同学测得国旗旗杆在

地面上的影长为9.6m,则国旗旗杆的长为( ).

(A) 10m (B) 12m (C) 13m (D) 15m

2把一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍,则其斜边扩大到原来( )

(A) 1/2倍 (B) 1倍 (C) 2倍 (D) 4倍

3. 在△ABC中,若cosA?2,tanB2?3,则这个三角形一定是( )

(A)锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D)等腰三角形

4. 在△ABC中,∠C=90°,sinA?2,则sinB的值是( ) 5

(A)21224 (B) (C) (D) 5355

5. 如图,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为i=

2∶3,顶宽是3米,路基高是4米,则路基的下底宽是( )

(A) 7米 (B)9米 (C)12米 (D) 15米

6. 如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们

的交角为α,则它们重叠部分(图中阻影部分)的面积为( )

A. 11 B. C. sin? D. 1 sin?cos?

1,那么( ) 2 7.已知∠A为锐角,且cosA≤

(A) 0°<A≤60°(B)60°≤A <90°(C)0°<A≤30°(D)30°≤A<90°

8.已知角α是锐角,且tgα=1,则角α等于( )

(A) 30 (B)45 (C) 60 (D)75

00000 9.等腰三角形底角为30,底边长为23,则腰长是( )

(A) 4 (B)2 (C) 2 (D)

10.在Rt△PMN中,∠P=Rt∠,sin∠M=( )

(A)3 2PNPMPNPM(B) (C) (D) PNMNMNPM

11.若太阳光线与地面成37角,一棵树的影长为10米,则树高h的范围是( )(?1.7)

(A)3?h?5 (B)5?h?10 (C)10?h?15(D)h?15

12.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30,AB⊥AD, AD=2cm。

则BC的长等于( )

(A)8cm (B) 6cm (C)4cm (D)2cm

二. 填空题:

1.在Rt△ABC中,AB是斜边,AB=,BC=2,则cos A=__ __.

2. 小明放一线长125米的风筝,他的风筝线与水平地面构成39o角,他的风筝高为 。

3. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm,则底边上的高为__________cm, 底角的余弦值为__________。

4.酒店在装修时,在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,已

知这种地毯每平方米售价30元,主楼梯宽2米,其侧面如图

所示,则购买地毯至少需要__________元。

5.利用计算器求值(保留四位有效数字):

0(1)cos7512=___ __;(2)tan4418'__ ___.

0'0'(3) sin3512?cos2635tan2853?cos45180'0'0'00

6.如图,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度AC=20m,∠A=26,

D为底边AC的中点,则中柱BD= m,(精确到0.01 m)

(下列数据供选用:sin620?0.4226,tg26?0.4877)。

三. 解答题

1. 计算

3tan30o+cot45o-2tan45o+2cos60o

2200

2.如图,一梯子AB长25m,顶端A斜靠在墙AC上,梯子底端离墙7m,则梯子的顶端离地面多

少米?如果梯子的底端在水平面上向墙外滑动8m,则梯子的底端下滑多少米?

E

B

3.如图,有一位同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度.他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上,三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他又量得D、B的距离为15米. (l)试求旗杆AB的高度(精确到0.l米); (2)请你设计出一种更简便的估测方法.

4.如图,在高楼前D点测得楼顶的仰角为30?,向高楼前进60米到C点,又测得仰角为45?,则该高楼的高度大约是多少米?(精确到0.01米)

CD

°

E

5.一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?

(参考数据:sin21.3°≈

925,tan21.3°≈25, sin63.5°≈910,tan63.5°≈2)

C东AB

6.某船向正东航行,在A处望见灯塔C在东北方向,前进到B处望见灯塔C在北偏西30,又航行了半小时到D处,望见灯塔C恰在西北方向,若船速为每小时20海里。求A、D两点间的距离。(结果不取近似值)

参考答案

一. 选择题:

1. B 2. C 3. A 4. D 5. D6.A 7.B 8.B 9.C 10.C 11.B 12.B 二. 填空题:

1.

6

2.125sin39° 3. 3

4. 504,利用平移线段,把楼梯的横竖向上向左平

移,构成一个矩形,长宽分别为5.8米,2.6米,则地毯的长度为2.6+5.8=8.4米,地毯的面积为8.4×2=16.8平方米,则买地毯至少需要16.8×30=504元。 5.0.2554, 0.9759 , 1.471, 1.255 6.4.88 三. 解答题: 1.1 2.24,5

3. 解:(1) AB=AE+BE=CEtan30+BE

3

?15??1.3?10.0

3(米)

答:旗杆AB的高度约为10.0米。

CD

°

EB

(2) 用45°角的直角三角板估测,则 AB=AE+BE=AEtan45+BE=DB+BE 4.81.96

5.解:过C作AB的垂线,交直线AB于点D,得到Rt△ACD与Rt△BCD.

设BD=x海里,

在Rt△BCD中,tan∠CBD=∴CD=x ·tan63.5°.

C

CDBD

A

B

D

在Rt△ACD中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tanA=∴CD=( 60+x ) ·tan21.3°. ∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°,即 2x?解得,x=15.

答:轮船继续向东航行15海里,距离小岛C最近 6. 30+103

CDAD

25

?60?x?.

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