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27.2相似三角形单元练习题

发布时间:2014-02-27 19:24:32  

27.2 相似三角形6课时

27.2.1 相似三角形的判定

1、 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,截得的对应线段成比例;

预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;

2、如果两个三角形三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;

3、如果两个三角形两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似;

4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;

5、思考:斜边的比对于一条直角边的比的两个直角三角形相似。

27.2.2相似三角形的应用举例

测量方面、仰角

27.2.3相似多边形的周长和面积

相似三角形周长比等于相似比、对应高的比对于相似比、面积比等于相似比的平方;

相似多边形周长比等于相似比、面积也等于相似比的平方。

知识点1:平行线分线段成比例定理 预备定理

1.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形一共有( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

2、如图,AB∥EF,FE∥CD,图中共有 对相似三角形,写出来并说明理由;

3.如图,E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点,连结AE交CD于F,则图中共有 对相似三角形,写出来并说明理由;

4.如图,DE∥BC,

⑴.如果AD=2,DB=3,求DE:BC的值;

⑵.如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC

的长.

.AC=4 ,AB=3,EC=1.求AD和BD.

5.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4cm,BC=5cm,求DE的长.

知识点2:相似三角形的判定

题型1:证明两个三角形相似

1、下列结论中不正确的是 ( )

A 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 B有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 C有一个角为120°的两个等腰三角形相似 D有一个角为60°的两个等腰三角形相似

2.下列条件中,判断△ABC与△A′B′C′是否相似?并说明理由.

⑴∠C=∠C′=90°,∠B=∠B′=50°.( )理由 . ⑵AB=AC,A′B′=A′C′,∠B=∠B′. ( )理由 . ⑶∠B=∠B′,AB?BC. ( )理由 . ''''ABBC

⑷∠A=∠A′,AB?BC. ( )理由 .

''''ABBC

3、如图:已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,FE⊥AB,垂足为D、E。 说明:△AFE∽△CBD

AEDC

4、如图1,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.

(1)求证:△PBE∽△QAB;(2)你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明,若不相似请说明理由.

B

P C

M N

A

图1

5、如图2,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=4.

(1)判断这两个三角形是否相似?并说明为什么?

(2)能否分别过A,D在这两个三角形中各作一条辅助线,使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似?证明你的结论.

图2

C

题型2:证明两个比例式或等积式、角相等

1、已知如图:CD是Rt△ABC斜边上的中线,过D垂直于AB的直线交BC于点F,交AC的延长线于点E,说明:CD2=DE·DF

E

A

C

F

D

B

2.如图,已知△ABC中,点F是BC的中点,DE//BC,则DG和GE有怎样的关系?请你说

明理由。

3、如图,已知AB:AD=BC:DE=AC:AE,请猜想∠ABD与∠ACE的关系,并说明理由.

4、(8分)在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°。

(1)如图①过C作对角线BD的垂线分别交BD、AD于点E、F, 求证:CD?DF?DA

2

A

E

(2)如图②:若过BD上另一点E作BD的垂线分别交BA、BC延长线于F、G,又有什么结论呢?你会证明吗

题型3:求线段的长、证明垂直

1、如图④,AC⊥BC,∠ADC=90°,∠ ACD=∠B,若AC=5,AB=6,则

A

B

DC ④

2.如图,在△ABC中,AB=15,AC=8,在AC上取一点D,使AD=3,则在AB上取点E,使△ADE和△ABC相似,则AE长为 .

B

3.如图所示,在△ABC中,AB?6,AC?4,P是AC的中点,过P点的直线交AB于 点Q,若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似,则AQ的 长为( )

A.3 B.3或

B C

4.将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折,使点A与

C重合.若已知AB=6cm,BC=8cm,求EF的长。 43 C.3或 34 D.4 3

5.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC所在的直线上运动,作∠ADE=45°,如图4,若点D在线段BC上运动,DE交AC于E.①求证:△ABD∽△DCE;②当△ADE

A 是等腰三角形时,求AE

的长.

E ? C B D

题型4:直角三角形的性质 图4

1、如图①:AD⊥BC,∠BAC=90°,那么△ABC,AD2,AB2

ABD①

2.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,且AD=2.5cm,DB=0.9cm,则CD=_______cm,S?ACD:S?CBD?________.

27.2.2相似三角形应用举例

要求:运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些实际问题

1、如图,身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度,当他站在C处时,他头顶端的影 子正好与旗杆顶端的影子重合,并测得AC=2米,BC=8米,则旗杆的高度是( ) A.6.4米 B.7米 C.8米 D.9米

2.兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长 为0.4米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分 落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示, 若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为( )

A.11.5米 B.11.75米 C.11.8米

D.12.25米

3.如图,路灯距地面8米,身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处,沿

OA所在的直线行走14米到点B时,人影的长度( )

A.增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米

减小3.5米

O B N A

4. 如图,王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶

部刚好接触路灯AC的底部,当他向前再步行12 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部 刚好接触到路灯BD的底部,已知王华同学的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m。

(1)求两个路灯之间的距离;

(2)当王华同学走到路灯BD处时,他在路灯AC下的影子长是多少?

5、如图,已知零件的外径a为25cm ,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:OC=OB:OD=3,且量得CD=7cm,求厚度x。

6、小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图,他先测得留在墙上的影高1.2m,又测得地面部分的影长

2.7m,他求得的树高是多少?

27.2.3相似多边形的周长和面积

相似三角形周长比等于相似比、对应高的比对于相似比、面积比等于相似比的平方;

相似多边形周长比等于相似比、面积也等于相似比的平方。

1.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于O点,若S?AOD∶S?OCD=1∶2,

则S?AOD∶S?BOC=( )

A.1116 B. C. D.

6346

A.18 B.27 C.36 D.45

2.如图所示,把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半,若AB?2,则此三角形移动的距离AA'是( )

A.2?1 B.2 C.1 D.1

2

3.如图,在△ABC中,矩形DEFG,G、F在BC上,D、E分别在AB、AC上,AH⊥BC交DE于M,DG∶DE=1∶2,BC=12 cm,AH=8 cm,求矩形的各边长。

DE

BGHFC

变式2图

4.如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,动点E(与点A,C不重合)在AC边上,EF∥AB

交BC于F点。

(1)当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时,求CE的长;

(2)当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时,求CE的长。

EF

AB

5.已知:如图,△ABC中,DE∥BC,

(1)若AE2S

EC?AE

3,① 求AC的值; ② 求?ADE

S的值;

?ABC

③ 若S?ABC?5,求△ADE的面积;

(2)若SAE

?ABC?S,EC?2

3,过点E作EF∥AB交BC于F,求□BFED的面积;

(3)若AE

EC?k, S?ABC?5,过点E作EF∥AB交BC于F,求□BFED的面积.

6、如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为 米.

7、如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,此时有AM/AD=HG/BC. (1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=X,确定y与X的函数关系式

(2)当X为何值时,矩形EFGH的面积S最大?

A

G

E C D F

8如图,正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.

(1)求证:Rt△ABM∽Rt△MCN;

(2)若MN的延长线交正方形外角平分线CP于点P,当点M在BC边上如图位置时,请你在AB边上找到一点H,使得AH=MC,连接HM,进而判断AM与PM的大小关系,并说明理由;

(3)若BM=1,则梯形ABCN的面积为__________;设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN的面积最大,并求出最大面积;

(4)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时BM的值

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