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第4课时P8等腰三角形(三)

发布时间:2014-02-27 19:24:37  

学习目标

?掌握等腰三角 形的判定定理, 了解反证法的概 念。

自主学习
?书本P8-9的内容: ?1、等角对等边的证明。 ?2、如何利用反证法来 证明命题的正确性。

1、有两个角相等的三角 形是等腰三角形吗?
A

已知:在△ABC中,∠B=∠C,

求证:AB=AC.
B C

分析:只要构造两个全等的三角形,使AB 与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线,或 作BC上的高,都可以把△ABC分成两个全等的 三角形.

等腰三角形的判定定理:

几何的三种语言

定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.

(等角对等边.)
A

在△ABC中 ∵∠B=∠C(已知), ∴AB=AC(等角对等边).

B

C

例题2解析:P8

?要求会写解题步骤。

?(证明三角形全等时可 以利用大括号,也可以 直接写因为所以)。

随堂练习
? 练习1 如图,∠A =36°,∠DBC =36°, ∠C =72°,图中一共有几个等腰三角形? 找出其中的一个等腰三角形给予证明.
A

D B C

随堂练习
练习2:

已知:如图,∠CAE是△ABC的外角, E
AD∥BC且∠1=∠2.
A 1 2

求证:AB=AC.

D

B

C

P8想一想
小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这 两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成 立,你能证明它吗?

我们来看一位同学的想法:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此 时AB与AC要么相等,要么不相等. A

假设AB=AC,那么根据“等边对等角” 定理可得∠C=∠B,但已知条件是∠B≠∠C B .“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相 矛盾,因此 AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?

C

再例如,我们要证明△ABC中不可能有两个直角,也可 以采用这位同学的证法.

假设有两个角是直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°,
可得∠A+∠B=180°,但△ABC中∠A+∠B+∠C=180° “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾, 因此△ABC中不可能有两个直角. 上面的证法有什么共同的特点呢? 在上面的证法中,都是先假设命题的结论不成立,然 后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾, 从而证明命题的结论一定成立.我们把它叫做反证法.

例题3解析。

?要求掌握反证法 的证明步骤。

随堂练习1、
1.如图,BD平分∠CBA,CD平分∠ACB,且 MN∥BC,设AB=12,AC=18,求△AMN的周长.
. 分析:要求△AMN的周长, 则需求出AM+MN+AN,而这三条 边都是未知的.由已知AB=12, AC=18,可使我们联想到△AMN 的周长需转化成与AB、AC有关系 的形式.而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形 出现,因此,找到问题的突破口.

A

M B

D

N
C

2.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且
a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等

于1/5.

反证法来证:

证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和
a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和

a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成
立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.

3.用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角 已知:△ABC. 求证:∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.

证明:假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角, 不妨设∠A=∠B=90°,则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°. 这与三角形内角和定理矛盾, 所以∠A=∠B=90°不成立. 所以一个三角形中不能有两个角是直角.

课堂小结
(1)本节课学习了哪些内容? (2)等腰三角形的判定方法有哪几种? (3)结合本节课的学习,谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系. (4)举例谈谈用反证法说理的基本思路

?完成堂堂清作 业

活动与探究
现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发, 将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时 的等腰三角形的顶角的度数?

36° 90° 108°


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