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圆周角与圆心角(1)

发布时间:2014-02-27 19:24:41  

3.3 圆周角和圆心角的 关系(1)

一、旧知回放:

1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角. 2.圆心角的度数和它所对的弧的 O 度数的关系? 答:相等. . 3、圆心角、弧、弦之间有怎样 的关系?
D B C

B

C

B O A O'

B' A'

O A

在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其 余各组量都相等。

学习目标:
1、理解圆周角的概念。 2、掌握圆心角与圆周角的关系,并利用 这种关系解决有关计算或推理的问题。 3、学会用“特殊----一般”的数学方法解 决问题,体会分类的数学思想。

自主学习: 自学课本第108页第二段,回答: 什么是圆周角? 圆周角的特征是什么?

当堂训练:
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。

.

找一找:

A


有没有圆周角? 有没有圆心角? 它们有什么共同点?

O B C



它们都对着同一条弧

当堂训练:2.下列图形中,哪些图形中的
圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D

O B
A O

O

C
A O

B

C

A O
D

B

C

B

C

B

C

议一议:
1、同一条弧所对的圆周角与圆心角 有几种位置关系?画一画 2、同一条弧所对的圆周角与圆心角 的大小有怎样的关系?你是怎样得 到的?

议一议

圆周角和圆心角的关系
? 1.首先考虑一种特殊情况: ? 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 A ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. C 证明:∵∠AOC是△ABO的外角, 老师期望: ∴∠AOC=∠B+∠A. 你可要理 O ∵OA=OB, 解并掌握 ∴∠A=∠B. 这个模型. B ∴∠AOC=2∠B. 1 即 ∠ABC = ∠AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所 2 对的圆心角的一半. 你能写出这个命题吗?


议一议

圆周角和圆心角的关系
A

2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 证明:过点B作直径BD.由1可得:
1 1 ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = 2 ∠COD, 2 1 1 ∴ ∠ABD +∠CBD = ∠AOD + ∠COD, 2 1 2 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
D O C



你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.

B

议一议

圆周角和圆心角的关系
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系.
A C


证明:过点B作直径BD.由1可得:
1 1 ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = 2 ∠COD, B 2 1 1 ∴ ∠ABD -∠CBD = ∠AOD - ∠COD,

O



1 ∠ABC = ∠AOC. 2

2

2

你能写出这个命题吗?

一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.

当堂训练:
1.如图1,求圆中角X的度数
D C O A 120°

70° x

.

O
A C
图2

C A

B

O X

.

B

B

X=35° 图1

X=120°

130° 2.如图2,∠AOB=100°,则∠ACB=___ 。

3、如图3,AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA

到D,使AD=AB,如果∠ADB=350,求∠BOC的 度数。 ⌒ ⌒ 4、如图4,在

⊙O中,BC=2DE, ∠BOC=84°,求∠ A的度数。

图3

图4

当堂检测:
一、判断 1、顶点在圆上的角叫圆周角。 ×

√ 2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
二、计算 1.如图,在⊙O中,∠BAC=25°, 则 ∠BOC = ———— 50° 2.半径为R的圆中,有一弦分圆周 成1:2两部分,则弦所对的圆周角 的度数是 60°或 。 120°
B
O

C

A



O

.

3.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
A
O



B C

D

1 ⌒ ___ 分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB= ∠AOB. 2 1 ___ ⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ∠BOC

习题1.如图:OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC.

证明: ∠ACB= 1∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC 2 ∠AOB=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC A

2

O
C

B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理

小结:
1.圆周角的定义 2.圆周角与圆心角的关系 3”分类讨论“的数学思想及”特殊 ---一般”的数学方法在推理中的应 用

定义:顶点在圆心的角叫圆心角.

O B
A

探索1:当圆心角的顶点发生变化
时,这个角的位置有哪几种情况?

C

圆周角
A
A

. O .
C B

.

.

O C B

.

O

.

B

C

思考:三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置? 角的两边和圆是什么关系?

圆周角定义: 顶点在圆上,并
且两边都和圆相交的角叫圆 周角.

A

O

.

特征: ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.

B

C


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