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中考复习之实数的运算及实数的大小比较

发布时间:2013-09-25 10:41:02  

第2讲┃ 实数的运算及实数的大小比较

第2讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 实数的运算
内容 运算 法则 运算 性质 运 算 顺 序 在实数范围内,加、减、乘、除(除数不为零)、乘方都可 以进行,但开方运算不一定能进行,正实数和零总能进 行开方运算,而负实数只能开奇次方,不能开偶次方 有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算 先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要 先算括号内的,若没有括号,在同一级运算中,要从左 至右依次进行运算 提醒 (1)零指数、负整数指 数的意义. 防止以下 1 错误:①3- 2=- ;② 9 1 2a- 2= 2;(2)遇到绝 2a 对值一般要先去掉绝对 值符号,再进行计算; (3)无论何种运算,都 要注意先定符号后运算

第2讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的大小比较

大于 正数________零,负数______零,正数 小于 代数比较 ________一切负数;两个正数,绝对值大的 大于 规则 较大;两个负数,绝对值大的反而________ 小
几何比较 在数轴上表示的两个实数,________的数总 右边 左边 规则 是大于________的数

第2讲┃ 考点聚焦 考点3 比较实数大小的常用方法
差值比较法 设a, b是任意两实数,则a-b>0?a>b; a-b<0?a<b;a-b=0?a=b a a 设a, b是两正实数,则 >1?a>b; =1? b b a a=b; <1?a<b b 设a, b是两负实数,则|a|>|b|?a<b;|a|=|b| ?a=b;|a|<|b|?a>b 除此之外,还有平方法、倒数法等方法

商值比较法

绝对值 比较法 其他方法

第2讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 实数的运算

命题角度: 1.实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算; 2.实数的运算在实际生活中的应用.
[2012· 丽水] 计算:2·sin60°+ -3 -
? ? ? ? ? ?

?1 ?-1 12-? ? . ?3 ?

3 解:原式=2× +3-2 3-3 2 = 3+3-2 3-3 =- 3.

第2讲┃ 归类示例

(1)在进行实数的混合运算时,首先要明确与实数有关的概 念、性质、运算法则和运算律,要弄清按怎样的运算顺序进 行.中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一 起考查. (2)要注意零指数幂和负指数幂的意义. 1 -p 负指数的运算:a = p(a≠0,且p是正整数), a 零指数幂的运算:a0=1(a≠0).

第2讲┃ 归类示例 ? 类型之二 实数的大小比较

命题角度: 1.利用实数的比较大小法则比较大小; 2.实数的大小比较常用方法. 1 2 当0<x<1时,x ,x, 的大小顺序是( C ) x 1 1 2 2 A. <x<x B. <x <x x x 1 2 2 1 C.x <x< D.x<x < x x

第2讲┃ 归类示例

1 [解析] 解法一:采用“特殊值法”来解,令x= , 2 1 1 1 2 则x = , =2,∴ >x>x2. 4 x x 解法二:可用“差值比较法”来解,∵当0<x<1 时,1-x>0, x-

1<0, x+1>0, ∴x-x2=x(1-x)>0, x2-1 (x+1)(x-1) 1 2 ∴x>x . 又x- = = <0, x x x 1 1 2 ∴x< , ∴x <x< . x x

第2讲┃ 归类示例

如图2-1,若A是实数a在数轴上对应的 点,则关于a、-a、1的大小关系表示正确的是 ( A ) 图2-1 A.a<1<-a B.a<-a<1 C.1<-a<a D.-a<a<1
[解析] 互为相反数所表示的点关于原点对称,所 以a,-a所表示的点关于原点对称,故a<1<-a.

第2讲┃ 归类示例

两个实数的大小比较方法有: (1)正数大于零,负数小于零; (2)利用数轴; (3)差值比较法; (4)商值比较法; (5)倒数法; (6)取特殊值法; (7)计算器比较法等.

第2讲┃ 归类示例 ? 类型之三 实数与数轴

命题角度: 1.实数与数轴上的点一一对应关系; 2.数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合; 3.数轴与实数大小比较、实数运算结合; 4.利用数轴进行代数式的化简.

第2讲┃ 归类示例

[2012· 聊城] 在如图2-2所示的数轴上,点B与点 C关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是 3 和-1,则 点C所对应的实数是 ( D )

图2-2 A.1+ 3 C.2 3-1 B.2+ 3 D.2 3+1

[解析] 设点C所对应的实数是x. 则有x- 3= 3-(-1),解得x=2 3+1.

第2讲┃ 归类示例

(1)互为相反数所表示的点关于原点对称; (2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等; (3)实数与数轴上的点一一对应,故而常将实数及表 示实数的字母在数轴上表示出来,然后结合相反 数、绝对值及数轴上数的符号特征等相关知识来解 决实数的有关问题.

第2讲┃ 归类示例 ? 类型之四 探索实数中的规律
命题角度: 1. 探究实数运算规律; 2. 实数运算中阅读理解问题. [2012· 广东] 观察下列等式:

1 1 ? 1? 第1个等式:a1= = ×?1- ?; 1×3 2 ? 3? 1 1 ?1 1? 第2个等式:a2= = ×? - ?; 3×5 2 ?3 5? 1 1 ?1 1? 第3个等式:a3= = ×? - ?; 5×7 2 ?5 7? 1 1 ?1 1? 第4个等式:a4= = ×? - ?; 7×9 2 ?7 9? ?

第2讲┃ 归类示例

请解答下列问题: (1)按以上规律列出第5个等式:a5=________= ______________; (2)用含n的代数式表示第n个等式:an= ________________=________________(n为正整数); (3)求a1+a2+a3+a4+?+a100的值.

第2讲┃ 归类示例

1 1 ?1 1 ? 解:(1) ×? - ? 9×11 2 ?9 11? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? - (2) ×? (2n-1)×(2n+1) 2 ?2n-1 2n+1? ?

第2讲┃ 归类示例
(3) a1+a2+a3+a4+?+a100 1 ? 1? 1 ?1 1? 1 ?1 1? 1 ?1 1? 1 ?1- ? + × ? - ? + × ? - ? + × ? - ? +?+ = × 2 ? 3? 2 ?3 5? 2 ?5 7? 2 ?7 9? 2 ? 1 1 ? ? ×? - ?199 201? 1 ?? 1? ?1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ?

= ×??1-3?+?3-5 ?+ ?5-7 ?+?7-9 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ?
? 1 1 ?? ?? + ?+? - 199 201? ? ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? = ×?1- + - + - + - +?+ - 2 ? 3 3 5 5 7 7 9 199 201?

1 ? 1 ? 1 200 100 ?= × = ×?1- = . 2 ? 201? 2 201 201

第2讲┃ 归类示例

关于数式规律性问题的一般解题思路:(1)先对给出 的特殊数式进行观察、比较;(2)根据观察、猜想、归纳 出一般规律;(3)用得到的规律去解决其他问题. 对数式进行观察的角度及方法:(1)横向观察:看等 号左右两边什么不变,什么在变,以及变化的数字或式 子间的关系;(2)纵向观察:将连续的几个式子上下对 齐,观察上下对应位置的式子什么不变,什么在变,以 及变化的数字或式子间的关系.

第2讲┃ 回归教材

回归教材
实数的大小比较有窍门

教材母题 华东师大版八上P15T2
将下列各数按从小到大的顺序排列,用“<” 号连接起来: π 2 2, 5,- ,0,-1.6. 2

第2讲┃ 回归教材

[解析] 本题的关键是比较两组数的大小:(1)2 2与 5, π (2)- 与-1.6,只要将它们适当地变形就很容易比较它们的 2 π 2 大小.(1)2 2 = 2 ×2 = 8 ,显然2 2 > 5 ;(2)1.6- = 2 3.2-π 3.2-π π ,因为π<3.2,所以 >0,所以1.6> , 即 - 2 2 2 π π >-1.6,所以所给数的大小关系为:-1.6<- <0< 5 2 2 <2 2. π 解:-1.6<- <0< 5<2 2. 2

第2讲┃ 回归教材

[点析] 实数大小比较的常用方法有:①二次 根式被开方数大小比较法;②求近似值法;③差值 法;④平方法.

第2讲┃ 回归教材

中考变式
1.[2012· 天津] 估计 6+1的值在(

B )

A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
2.[2012· 鄂州] 在实数0,-π , 3 ,-4中,最小的数是 ( D ) A.0 B.-π C. 3 D.-4

第2讲┃ 回归教材

3.[2013· 大理] 写出一个大于 2 且小于 4 的无理数: 答案不唯一,比如 5,π 等 ________________________.

4.比较大小: 7________3.(填写“<”或“>”) <


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