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中考复习之二次函数的图象与性质(一)

发布时间:2013-09-25 10:41:03  

第14讲┃二次函数的图象与性质(一)

第14讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 二次函数的概念

定义 二次函数 y=ax2+bx+c 的结构特征

y=ax2+bx+c 一般地,如果______________(a、b、c是 常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数 ①等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x的最高次数是2; ②二次项系数a≠0

第14讲┃ 考点聚焦 考点2 二次函数的图象及画法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是 图象
2 ? b 4ac-b ? ? ? - , ? 2a 以______________为顶点,以直线 4a ? ? ?

用描点法画 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的步骤

b x=- ________为对称轴的抛物线 2a y=a(x-h)2+k (1)用配方法化成____________的形式; (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点 坐标; (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图

第14讲┃ 考点聚焦 考点3
函数 图象 开口 方向 对称轴 顶点坐标 抛物线开口向上, 抛物线开口向下,并向下无 并向上无限延伸 限延伸 b b 直线x=- 直线x=- 2a 2a
2 ? b 4ac-b ? ? ? - , ? 2a 4a ? ? ? 2 ? b 4ac-b ? ? ? - , ? 2a 4a ? ? ?

二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) a>0 a<0

第14讲┃ 考点聚焦

在对称轴的左侧,即当 x< b - 时,y 随 x 的增大而减 2a 小;在对称轴的右侧,即当 增减性 b x>- 时,y 随 x 的增大而 2a 增大,简记左减右增

在对称轴的左侧,即当 b x<- 时,y 随 x 的增 2a 大而增大;在对称轴的 b 右侧,即当 x>- 时, 2a y 随 x 的增大而减小, 简 记左增右减

第14讲┃ 考点聚焦

函数

最值

二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) a>0 a<0 抛物线有最低点,当x=- 抛物线有最高点,当x=- b b 时,y有最小值,y最小值= 时,y有最大值,y最大值= 2a 2a 4ac-b2 4ac-b2 4a 4a
? ? ? ? ? ? a ?的大小决定抛物线的开口大小;?a ?越大,抛物线的开 ? ? ? ? ?

二次项系 数a的 特性 常数项c 的意义

口越小,?a ?越小,抛物线的开口越大 ? ? c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c

第14讲┃ 考点聚焦 考点4
方法

用待定系数法求二次函数的关系式

适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为y= 1.一般式 ax2+bx+c,将已知三个点的坐标代入,求出a、b、c的值 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值 2.顶点式 (或最小值),设所求二次函数为y=a(x-h)2+k,将已知条 件代入,求出待定系数,最后将关系式化为一般形式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0), (x2,0),设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点 3.交点式 (m,n)的坐标(其中m、n为已知数)

或其他已知条件代入, 求出待定系数a,最后将关系式化为一般形式

第14讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 二次函数的定义
命题角度: 二次函数的概念.

若 y=(m+1)xm2-6m-5 是二次函数,则 m=( A ) A.7 B.-1 C.-1 或 7 D.以上都不对
[解析] 让x的次数为2,系数不为0,列出方程与不等式 解答即可. 由题意得:m2-6m-5=2,且m+1≠0. 解得m=7或-1,且m≠-1, ∴m=7,故选A.

第14讲┃ 归类示例

利用二次函数的定义,二次函数中自变量的最高次 数是2,且二次项的系数不为0.

第14讲┃ 归类示例 ? 类型之二 二次函数的图象与性质

命题角度: 1. 二次函数的图象及画法; 2. 二次函数的性质.

第14讲┃ 归类示例

(1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2 +k的形式; (2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象; (3)若A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的 两点,且x1<x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果); (4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象 上表示出来.

第14讲┃ 归类示例

[解析] (1)根据配方法的步骤进行计算. (2)由(1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表,注意抛物线 与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标,不要弄错. (3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大而减小. (4)抛物线y=x2-4x+3与直线y=2的交点的横坐标即为方 程x2-4x+3=2的两根.

第14讲┃ 归类示例

解:(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)+3-4=(x-2)2-1. (2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,- 1),列表: x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 描点作图如下图.

(3)y1>y2, (4)如图,点C、D的横坐标x3、x4即为方程x2-4x+3=2 的根.

第14讲┃ 归类示例

(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①配方
2 ? b 4ac-b ? ? 法,②顶点公式法,顶点坐标为?- , ? ?. 4a ? ? 2a

(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五个方面, 即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交点;⑤与x轴 交点.

第14讲┃ 归类示例 ? 类型之三 二次函数的关系式的求法

命题角度: 1. 一般式,顶点式,交点式; 2. 用待定系数法求二次函数的关系式.
已知抛物线经过点A(-5,0)、B(1,0),且顶 9 点的纵坐标为 ,求二次函数的关系式. 2

[解析] 根据题目要求,本题可选用多种方法求解析式.

第14讲┃ 归类示例
解:解法一:抛物线与x轴的两个交点为A(-5,0)、B(1,0),由 -5+1 对称性可知,它的对称轴为直线x= =-2, 2 ∴抛物线的顶点为P B(1,0),P
? 9? ?-2, ? 2? ? ? 9? ?-2, ? 2? ?

,已知抛物线上的三点A(-5,0)、

,设

一般式y=ax2+bx+c,把A(-5,0)、B(1,

?a=-1 , a+b+c=0, ? ? 2 ?25a-5b+c=0, ? ? 9? 0)、P?-2, ?代入,得? 解得 ?b=-2, 2? ? ? 5 ?4a-2b+c=9, 2 ? ?c= 2, ?
1 2 5 ∴ 所求抛物线的解析式为y=- x -2x+ . 2 2

第14讲┃ 归类示例
? 9? ?-2, ? 2? ?

解法二 :由解法一知抛物线的顶点为P
2

,可

9 设顶点式y=a(x+2) + ,把x=1,y=0代入得 2 9 2 0=a(1+2) + , 2 1 ∴a=- . 2 1 9 2 ∴y=- (x+2) + , 2 2 1 2 5 即y=- x -2x+ . 2 2

第14讲┃ 归类示例

? 9? 解法三:由解法一知抛物线过点P?-2, ?, 2? ?

∵A(-5,0),B(1,0)是抛物线与x轴的交点,设 交点式y=a(x+5)(x-1), 9 9 把x=-2,y= 代入得a(-2+5)(-2-1)= , 2 2 1 1 1 2 5 ∴a=- .∴y=- (x+5)(x-1),即y=- x -2x+ . 2 2 2 2

第14讲┃ 归类示例

(1)当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时,一般 采用一般式y=ax2+bx+c(a≠0); (2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求 关系式时,一般采用顶点式y=a(x-h)2+k; (3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式 时,一般采用交点式y=a(x-x1)(x-x2).

第14讲┃ 回归教材

回归教材
一题多解提能力

教材母题 华东师大版九下P22T4(2)
求图象满足下列条件的二次函数关系式:抛物线的顶 点为(1,-2),且过点(2,3).

第14讲┃ 回归教材

解法1:设抛物线的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),根 4ac-b2 b 据顶点坐标有:- =1, =-2,又因为图象经过 2a 4a (2,3),所以4a+2b+c=3,于是得方程组 ? b ?-2a=1, ?a=5, ? ? 2 ?4ac-b 解方程组得?b=-10, ? 4a =-2, ?c=3. ? ? ?4a+2b+c=3, 所以二次函数的关系式为y=5x2-10x+3.

第14讲┃ 回归教材

解法2:因为抛物线的顶点坐标为(1,-2), 所以设抛物线的关系式为y=a(x-1)2-2, 将点(2,3)代入得3=a×(2-1)2-2, 解得a=5, 所以二次函数的关系式为y=5(x-1)2-2, 即y=5x2-10x+3.

第14讲┃ 回归教材

中考变式

1.[2013· 苏州] 若抛物线 y=ax2 +bx+c 的顶点是 A(2,1),且经过点 B(1,0),则抛物线的函数关系式为 y =-x2+4x-3 ____________________.

第14讲┃ 回归教材

2.[2012· 宁波改编] 如图14-1,二次函数y=ax2+bx +c的图象交x轴于A(-1,0)、B(2,0),交y轴于C(0,- 2),求二次函数的关系式.

图14-1

第14讲┃ 回归教材

解:解法1:设该二次函数的解析式为:y=a(x+1)(x- 2),将x=0,y=-2代入,得-2=a(0+1)(0-2),解得a= 1,∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-2),即y=x2-x-2; 解法2:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a

≠0), 将A(-1,0)、B(2,0)、C(0,-2)的坐标代入,得 ?a-b+c=0, ?a=1, ? ? ?4a+2b+c=0, 解方程组得?b=-1, ?c=-2, ?c=-2, ? ? ∴二次函数的解析式为y=x2-x-2.


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