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中考复习之 一元二次方程及其应用

发布时间:2013-09-25 10:41:03  

第7讲┃ 一元二次方程及其应用

第7讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
定义

一元二次方程

一般形式 防错提醒

一 含有________个未知数,并 且未知数最高次数是 2 ________的整式方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ________________ 在一元二次方程的一般形式 中要注意强调ax2+bx+c= 0(a≠0)

第7讲┃ 考点聚焦 考点2 一元二次方程的四种解法

适合于(x+a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx+ d)2形式的方程 基本 把方程化成ab=0的形式,得a=0 因式分解 思想 或b=0 法 方法 常用的方法主要运用提公因式 规律 法、平方差公式、完全平方公式 直接开 平方法

第7讲┃ 考点聚焦

公 式 法

配 方 法

求根公式 一元二次方程ax2+bx+c=0, 且b2-4ac≥0时,则 -b± b2-4ac x1, 2= 2a 公式法解 (1)将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;(2)确 方程的一 定a,b,c的值;(3)若b2-4ac≥0,则代入求根公 般步骤 式,得x1,x2,若b2-4ac<0,则方程无实数根 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程 配方法解 ①化二次项系数为1;②把常数项移到方程的另一 方程的步 边;③在方程两边同时加上一次项系数一半的平 骤 方;④把方程整理成(x+a)2=b的形式;⑤运用直 接开平方解方程

第7讲┃ 考点聚焦 考点3 <选学>一元二次方程的根的判别式
根的 判别 式定 义 判别 式与 根的 关系 防错 提醒 关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac.也把它 记作Δ =b2-4ac

一元 二次 方程 根的 判别 式

两个不相等 (1)b2-4ac>0?方程有________的实数 两个相等 根;(2)b2-4ac=0?方程有________的 实数根;(3)b2-4ac<0?方程________ 没有 实数根 在使用根的判别式解决问题时,如果二 次项系数中含有字母,要加上二次项系 数不为零这个限制条件

第7讲┃ 考点聚焦 考点4 <选学>一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 b c x1,x2,则 x1+x2=- ,x1x2= a a 两根的和等于一次项系数与二次项系 数的比的相反数;两根的积等于常数 项与二次项系数的比 利用一元二次方程根与系数的关系 时,要注意判别式Δ ≥0

关系式 文字 表述 误区 警示

第7讲┃ 考点聚焦 考点5 一元二次方程的应用

应用类 型

等量关系

(1) 增长率=增量÷ 基础量 增长率 (2)设a为原来的量,m为增长率,b为连续 问题 两次增长后的量,则a(1+m)2=b,当m为 平均下降率时,则a(1-m)2=b 利率 (1)本息和=本金+利息 问题 (2)利息=本金×利率×期数 (1) 毛利润=售出价-进货价 销售利 (2) 纯利润=售出价-进货价-其他费用 润问题 (3)利润率=利润÷ 进货价

第7讲┃ 归类示例

归类示例

? 类型之一 一元二次方程的有关概念

命题角度: 1.一元二次方程的概念; 2.一元二次方程的一般式; 3.一元二次方程的解的概念.

已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0), 则a-b的值为 ( A ) A.-1 B.0 C.1 D.2 [解析] 把x=-a代入x2+bx+a=0,得(-a)2+b×(-a) +a=0,∴a2-ab+a=0, 所以a-b+1=0,∴a-b=-1,故选择A.

第7讲┃ 归类示例 ? 类型之二 一元二次方程的解法

命题角度: 1.直接开平方法; 2.配方法; 3.公式法; 4.因式分解法.
解方程:2 x-3??=3x??x-3??.
? ? ? ? ? ?

第7讲┃ 归类示例

解:解法一(因式分解法):(x-3)(2-3x)=0, x-3=0或2-3x=0, 2 所以x1=3,x2= . 3 解法二(公式法): 2x-6=3x2-9x, 3x2-11x+6=0, a=3,b=-11,c=6, b2-4ac=121-72=49, 11± 49 x= , 2×3 2 ∴x1=3,x2= . 3

第7讲┃ 归类示例

利用因式分解法解方程时,当等号两边有相同的含未知数 的因式(如例2)时,不能随便先约去这个因式,因为如果约去则 是默认这个因式不为零,那么如果此因式可以为零,则方程会 失一个根,出现漏根错误.所以应通过移项,提取公因式的方 法求解.

第7讲┃ 归类示例 ? 类型之三 一元二次方程根的判别式

命题角度: 1.判别一元二次方程根的情况; 2.求一元二次方程字母系数的取值范围.

[2012· 绵阳] 已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1) =0. (1)求证:方程恒有两个不相等的实数根; (2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求 出以此两根为边长的直角三角形的周长.

第7讲┃ 归类示例

解:(1)∵b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(2m-1) =m2-4m+8 =(m-2)2+4>0, ∴方程恒有两个不相等的实数根. (2)①把x=1代入方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0中,解得m=2, ∴原方程为x2-4x+3=0,解这个方程得:x1=1,x2=3, ∴方程的另一个根为x=3. ②当1、3为直角边时,斜边为 12+32= 10, ∴周长为1+3+ 10=4+ 10. 当3为斜边时,另一直角边为 32-12=2 2, ∴周长为1+3+2 2=4+2 2.

第7讲┃ 归类示例

(1)判别一元二次方程有无实数根,就是计算判别式 Δ=b2-4ac的值,看它是否大于0.因此,在计算前应先 将方程化为一般式. (2)注意二次项系数不为零这个隐含条件.

第7讲┃ 归类示例 ? 类型之四 一元二次方程的应用

命题角度: 1.用一元二次方程解决变化率问题:a(1± n=b; m) 2.用一元二次方程解决商品销售问题.

第7讲┃ 归类示例

[2013· 广东] 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该 蔬菜滞销.李伟为了加

快销售,减少损失,对价格经过两次下 调后,以每千克 3.2 元的单价对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率; (2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜,因数量多,李伟决 定再给予两种优惠方案以供选择: 方案一:打九折销售; 方案二:不打折,每吨优惠现金 200 元. 试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.

第7讲┃ 归类示例

[解析] (1)设出平均每次下调的百分率,根据从5元下调 到3.2元列出一元二次方程求解即可; (2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得 到结果.

第7讲┃ 归类示例

解:(1)设平均每次下调的百分率为x. 由题意,得5(1-x)2=3.2. 解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8. 因为降价的百分率不可能大于1, 所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求的是x1=0.2=20%. 答:平均每次下调的百分率是20%. (2)小华选择方案一购买更优惠. 理由:方案一所需费用为:3.2×0.9×5000=14400(元), 方案二所需费用为:3.2×5000-200×5=15000(元). ∵ 14400 <15000, ∴小华选择方案一购买更优惠.

第7讲┃ 回归教材

回归教材
根的判别式作用大

教材母题 华东师大版九上P32阅读材料
m取什么值时,关于x 的方程2x2-(m+2)x+2m -2=0有两个相等的实数根?求出这时方程的根.

第7讲┃ 回归教材

2 解:方程有两个相等的实数根,则 -(m+2) ?? - 4×2×(2m-2)=0,整理得m2-12m+20=0,解方程得 m1=10,m2=2,所以当m取10或2时,方程有两个相等的 实数根,这时方程为x2-6x+9=0或x2-2x+1=0,分别 解一元二次方程得x1=x2=3或x1=x2=1.
? ? ? ?

第7讲┃ 回归教材

[点析] 利用根的判别式能快速判断一元二次方程的根 的情况,也能利用它反过来根据一元二次方程根的情况求 待定系数的值,但是要注意前提条件是方程必须是一元二 次方程.

第7讲┃ 回归教材

中考变式

已知关于 x 的方程 x2-2(k-1)x+k2=0 有两个实数 根 x1,x2. (1)求 k 的取值范围; (2)若?x1+x2?=x1x2-1,求 k 的值. ? ?
? ?

第7讲┃ 回归教材
1 解:(1)依题意,[-2(k-1)] -4k ≥0,解得k≤ . 2 (2)解法一:依题意,得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2. 以下分两种情况讨论: ① 当x1+x2≥0时,则有x1+x2=x1x2-1, ② 即2(k-1)=k2-1. 解得k1=k2=1. 1 ∵k≤ , ∴k1=k2=1不合题意,舍去. 2 ②x1+x2<0时,则有x1+x2=-(x1x2-1), 即2(k-1)=-(k2-1),解得k1=1,k2=-3. 1 ∵k≤ ,∴k=-3. 2 综合①、②可知k=-3.
2 2

第7讲┃ 回归教材

解法二:依题意可知x1+x2=2(k-1). 1 由(1)可知k≤ , ∴2(k-1)<0,即x1+x2<0, 2 ∴-2(k-1)=k2-1,解得k1=1,k2=-3. 1 ∵k≤ ,∴k=-3. 2


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