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中考复习之解直角三角形及其应用

发布时间:2013-09-25 10:41:03  

第24讲┃解直角三角形及其应用

第24讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点 解直角三角形的应用常用知识
仰角和 仰角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方 俯角 俯角 的叫仰角,视线在水平线下方的叫俯角 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的 坡度 坡度和 坡度(或坡比),记作 i=____ h∶l 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角, 记作 α.i=tanα , 坡角 坡度越大,α 角越大,坡面_________ 越陡

第24讲┃ 考点聚焦

指北或指南方向线与目标方向线所成的小 定义 于 90°的水平角叫做方向角 方向角 (或方位 角)

图例

第24讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题

命题角度: 1. 计算某些建筑物的高度(或宽度); 2. 将实际问题转化为直角三角形问题.

第24讲┃ 归类示例

[2012· 凉山州] 某校学生去春游, 在风景区看到一棵 汉柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对 话: 小明:我站在此处看树顶仰角为 45°. 小华:我站在此处看树顶仰角为 30°. 小明:我们的身高都是 1.6 m. 小华:我们相距 20 m. 请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高 度.(参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732,结果保留三个有效 数字)

第24讲┃ 归类示例

[解析] 画出如图示意图,延长BC交DA于E.设AE的长 为x米,在Rt△ACE中,求得CE=AE,然后在Rt△ABE中 求得BE,利用BE-CE=BC,解得AE,则AD=AE+DE.

第24讲┃ 归类示例

解:如图所示,延长BC交DA于E.

设AE的长为x米,在Rt△ACE中, ∠ACE=45°,∠AEB=90°, 则∠CAE=45°, ∴AE=CE=x米;

第24讲┃ 归类示例
在Rt△ABE中,∠B=30°,AE=x, AE ∴tanB= , BE x 即tan30°= , BE ∴BE= 3x. ∵BE-CE=BC,BC=20米, ∴ 3x-x=20, 解得x=10 3+10. ∴AD=AE+DE=10+10 3+1.6≈28.9(米). 答:这棵汉柏树的高度约为28.9米.

第24讲┃ 归类示例

在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构 造直角三角形,利用三角函数或相似三角形来解决问题.常见的 构造的基本图形有如下几种: ①不同地点看同一点 ②同一地点看不同点

图24-1 ③利用反射构造相似

图24-2

图24-3

第24讲┃ 归类示例

?

类型之二

利用直角三角形解决航海问题

命题角度: 1. 利用直角三角形解决方位角问题; 2. 将实际问题转化为直角三角形问题.

第24讲┃ 归类示例

[2012· 常德] 如图24-4,一天,我国一渔政船航行到A 处时,发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船,正在以12 海里/小时的速度向西北方向航行. 我渔政船立即沿北偏东60°方 向航行,1.5小时后,在我领海区域的C处截获可疑渔

船.问我渔 政船的航行路程是多少海里?(结果保留根号)

图24-4

第24讲┃ 归类示例

解:作 CD⊥AB 于点 D. 在 Rt△BDC 中, 因为 BC=12×1.5=18(海里),∠CBD=90°-45°=45°, 所以 CD=18· sin45°=9 2(海里). 在 Rt△ADC 中, 因为∠CAD=90°-60°=30°, 所以 AC=2CD=18 2(海里). 答:我渔政船的航行路程是 18 2海里.

第24讲┃ 归类示例 ? 类型之三 利用直角三角形解决坡度问题

命题角度: 1. 利用直角三角形解决坡度问题; 2. 将实际问题转化为直角三角形问题.
[2012· 衡阳] 如图 24-5,一段河坝的横断面为梯形 ABCD,试根据图中的数据,求出坝底宽 AD.(i=CE ∶ED,单 位:m)

图 24-5

第24讲┃ 归类示例

[解析] 作 BF⊥AD 于点 F, 在直角△ABF 中利用勾 股定理即可求得 AF 的长,在直角△CED 中,利用坡比 的定义即可求得 ED 的长度,进而即可求得 AD 的长.

第24讲┃ 归类示例
解:如图所示,过点 B 作 BF⊥AD,可得矩形 BCEF.

∴EF=BC=4;BF=CE=4. 在 Rt△ABF 中,∠AFB=90°,AB=5,BF=4, 由勾股定理可得:AF= 52-42=3. CE 1 又∵Rt△CED 中,i= = , ED 2 ∴ED=2CE=2×4=8. ∴AD=AF+FE+ED=3+4+8=15(m).

第24讲┃ 回归教材

回归教材
航海中的数学问题

教材母题 北师大版九下P23引例

第24讲┃ 回归教材

如图24-6,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗 礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处, 往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮 继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危 险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

图24-6

第24讲┃ 回归教材

解:过A作BC的垂线,交BC于点D,得到Rt△ABD和 Rt△ACD,从而BD=ADtan55°,CD=ADtan25°, 由BD-CD=BC,又BC=20海里,得 ADtan55°-ADtan25°=20, AD(tan55°-tan25°)=20, 20 AD= ≈20.79(海里). tan55°-tan25° 因为AD≈20.79海里>10海里,所以货轮没有触礁的危险.

第24讲┃ 回归教材

[点析] 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的 问题,然后利用解直角三角形的知识来解决,这是解此类 问题的常规思路.

第24讲┃ 回归教材

中考变式
[2013· 南京] 如图 24-7,一艘巡逻艇航行至海面 B 处时, 得知正北方向上距 B 处 20 海里的 C 处有一渔船发生故障, 就立 即指挥港口 A 处的救援艇前往 C 处营救. 已知 C 处位于 A 处的 北偏东 45°的方向上, 港口 A 处位于 B 处的北偏西 30°的方向 上. 求 A、 两处之间的距离. C (结果精确到 0.1 海里. 参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73)

图 24-7

第24讲┃ 回归教材
解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.

由题意可知∠B=30°,∠ACD=∠1=45°

,得△ADC 是等腰直角三角形,∴DC=AD.

第24讲┃ 回归教材

设AD=x,则DC=x. AD 在Rt△ADB中,tanB= , DB AD x ∴DB= = = 3x. tanB tan30° ∵BC=20, 20 ? ? ? 3-1 ?=10 3-10. ∴x+ 3x=20,x= =10? ? 3+1 在Rt△ACD中,AC= 2 AD,∴AC= 2 × 10 3-10?? ≈ 10.3. 答:A、C间的距离约为10.3 海里.
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