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中考复习之二次函数的图象与性质(二)

发布时间:2013-09-25 10:41:04  

第15讲┃二次函数的图象与性质(二)

第15讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2 +bx+c与x轴 的交点个数 2个 1个 没有

b2-4ac 的符号 >0 =0 <0

方程ax2+bx+c =0有实根 的个数 两个________实根 不相等 相等 两个________实根 没有 ________实根

第15讲┃ 考点聚焦

考点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a、 b、c及判别式b2-4ac的符号之间的关系

项目
字母 a b

字母的符号 a>0 a<0 b=0 ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号)

图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧

第15讲┃ 考点聚焦

c

b2-4ac

特殊 关系

经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点 2 b -4ac=0 (顶点) 与x轴有两个不 b2-4ac>0 同交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 当x=1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=a-b+c 当a+b+c>0,即x=1时,y>0 当a-b+c>0,即x=-1时,y>0 c=0 c>0 c<0

第15讲┃ 考点聚焦 考点3 二次函数图象的平移

将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成y=a(x-h)2+ k(a≠0)的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均可由抛物线y= ax2平移得到,具体平移方法如图15-1:

图15-1

第15讲┃ 考点聚焦

[注意] 确定抛物线平移后的关系式最好利用顶点式, 利用顶点的平移来研究图象的平移.

第15讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 二次函数与一元二次方程

命题角度: 1.二次函数与一元二次方程之间的关系; 2.图象法解一元二次方程; 3.二次函数与不等式(组).
抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为 (1,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 (3,0) ________.

第15讲┃ 归类示例

[解析] 把(1,0)代入 y=x2-4x+m 中,得 m=3,所以, 原方程为 y=x2-4x+3, 令 y=0,解方程 x2-4x+3=0,得 x1=1,x2=3, ∴抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(3,0).

第15讲┃ 归类示例 ? 类型之二 二次函数的图象的平移

命题角度: 1. 二次函数的图象的平移规律; 2. 利用平移求二次函数的图象的关系式.

[2012· 泰安] 将抛物线y=3x2向上平移3个单位, 再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的关系式为( A ) A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(x-2)2-3

第15讲┃ 归类示例

[解析] 由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=3x2向 上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x2+3; 由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x2+3向左 平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3. 故选A.

第15讲┃ 归类示例
1 2 [2012· 广安] 如图15-2,把抛物线y= x 平移得到抛 2 物线m. 抛物线m经过点A(-6,0

)和原点(0,0),它的顶点为 1 2 P,它的对称轴与抛物线y= x 交于点Q,则图中阴影部分的 2 27 面积为________. 2

图15-2

第15讲┃ 归类示例
[解析] 过点P作PM⊥y轴于点M.

∵抛物线平移后经过原点O和点A(-6,0), ∴平移后的抛物线的对称轴为直线x=-3, 1 得出二次函数的解析式为:y= (x+3)2+h, 2

第15讲┃ 归类示例

将(-6,0)代入得: 1 9 2 0= (-6+3) +h,解得:h=- , 2 2 ? 9? ∴点P的坐标是?-3,- ?, 2? ? 根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形 NPMO的面积, ? 9 ? 27 ∴S=3×?- ?= . 2 ? 2?

第15讲┃ 归类示例

[2013· 四川] 已知抛物线:y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点,且与 y 轴交于 A 点,如图 15-3,设它的 顶点为 B. (1)求 m 的值; (2)过 A 作 x 轴的平行线, 交抛物线于点 C, 求证: △ABC 是等腰直角三角形; (3)将此抛物线向下平移 4 个单位后,得到抛物线 C′,且 与 x 轴的左半轴交于 E 点,与 y 轴交于 F 点,求抛物线 C′ 的关系式和直线 EF 的关系式.

图 15-3

第15讲┃ 归类示例

解:(1)抛物线与x轴只有一个交点, 说明b2-4ac=0,∴m=2. (2)∵抛物线的解析式是y=x2-2x+1, ∴A(0,1),B(1,0), ∴△AOB是等腰直角三角形, 又∵AC∥OB, ∴∠BAC=∠OBA=45°,A、C是关于对称轴的对称点, ∴AB=BC,∴△ABC是等腰直角三角形. (3)平移后抛物线的解析式为y=x2-2x-3, 可知E(-1,0),F(0,-3), 设直线EF的解析式为y=kx+b,将(-1,0)、(0,-3)代入,
?k=-3, ? 解得? ?b=-3, ?

∴直线EF的解析式为:y=-3x-3.

第15讲┃ 归类示例 ? 类型之三 二次函数的图象特征与a、b、c之间的关系

命题角度: 1. 二次函数的图象的开口方向,对称轴,顶点坐标,与坐 标轴的交点情况与a、b、c的关系; 2. 图象上的特殊点与a、b、c的关系.

第15讲┃ 归类示例

[2012· 重庆] 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 1 图象如图15-4所示, 对称轴x=- .下列结论中,正确的 2 是 ( D )

A.abc>0 C.2b+c>0

图15-4 B.a+b=0 D.4a+c<2b

第15讲┃ 归类示例

[解析] A项,∵开口向上,∴a>0.∵与y轴交于负半轴,∴c b <0.∵对称轴在y轴左侧,∴- <0,∴b>0,∴abc<0,故本 2a b 1 选项错误;B项,∵对称轴x=- =- ,∴a=b,故本选项错 2a 2 误;C项,当x=1时,a+b+c=2b+c<0,故本选项错误;D 1 项,∵对称轴为直线x=- ,图象与x轴的一个交点的横坐标x1 2 的取值范围为x1>1,∴与x轴的另一个交点的横坐标x2的取值范 围为x2<-2, ∴当x=-2时,4a-2b+c<0,即4a+c<2b,故本选项正 确.故选D.

第15讲┃ 归类示例

二次函

数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交 点,与y轴的交点及对称轴的位置,确定a、b、c及b2-4ac 的符号,有时也可把x的值代入,根据图象确定y的符号.

第15讲┃ 归类示例 ? 类型之四 二次函数的图象与性质的综合运用

命题角度: 二次函数的图象与性质的综合运用.
[2012· 连云港] 如图15-5,抛物线y=-x2+bx+c 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶 点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形, 且OF=2,EF=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)求△ABD的面积;

第15讲┃ 归类示例

(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点 为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.

图15-5

第15讲┃ 归类示例

[解析] (1)在矩形OCEF中,已知OF、EF的长,先表示 出C、E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的关系式. (2)根据(1)的函数关系式求出A、B、D三点的坐标,以 AB为底、D点纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积. (3)首先根据旋转条件求出G点的坐标,然后将点G的坐 标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可.

第15讲┃ 归类示例

解:(1)因为四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3, 所以点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3). 把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c
?c=3, ? 中得? ?3=-4+2b+c, ? ?c=3, ? 解之得? ?b=2. ?

所以抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+2x+3. (2)因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以抛物线的 顶点坐标为(1,4). 所以△ABD中AB边上的高为4. 令y=0,得-x2+2x+3=0,解之得x1=-1,x2= 3 ,所以AB=3-(-1)=4. 1 于是△ABD的面积为 ×4×4=8. 2

第15讲┃ 归类示例

(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直 线上,又由(2)可知,OA=1,所以点A的对应点G的坐标为 (3,2). 当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,所以点G不在该 抛物线上.

第15讲┃ 归类示例

(1)二次函数的图象是抛物线,是轴对称图形,充分利 用抛物线的轴对称性,是研究利用二次函数的性质解决问题 的关键. (2)已知二次函数图象上几个点的坐标,一般用待定系 数法直接列方程(组)求二次函数的关系式. (3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴,便能 确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标.


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