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不等式及其基本性质(1)

发布时间:2014-02-28 19:43:41  

1 不等关系 不相等 处处可见

在古代,我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理, 并且根据这一原理设计出了一些简单机械, 并把它们用到了生活实践当中.

由此可见,“不相等”处处可见。 从今天起,我们开始学习一类新的数学知识:不等式.

问题1:雷电的温度大约是28000℃,比太阳表面温 度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t℃,那么t应该满足 怎样的关系式? 4.5t<28000 问题2:一种药品每片为0.25g,说明书上写着:“每日用量 0.75~2.25g,分3次服用”。设某人一次服用 片,那么 应满足怎样的关系?

x

x

0.75≤0.25x≤2.25 问题3:用适当的符号表示下列关系:

(1) 2 x 与3的和不大于-6; 2x+3≤6
(2)

x

的5倍与1的差小于

x的3倍;5x-1<3x

(3)a与b的差是负数。

a-b<0

不等式的定义
用不等号(>、≥、<、≤或≠)表示不等关 系的式子叫做不等式
如以上的4.5t<28000,2x+3≤6,a-b<0等都是 不等式。 注:不大于,即小于或等于,用“≤”表示; 不小于,即大于或等于,用“≥”表示。

判断下列式子是不是不等式:
(1)-3<0; (2)4x+3y>0 (3)x=3;(4) X2+xy+y2 (5)x≠5; (6)X+2>y+5;

不等式的性质 2

等式具有那些性质?

不等式是否具有这些类似性质?

等式基本性质1:
等式的两边都加上(或减去)同一个整 式,等式仍旧成立 如果a=b,那么a±c=b±c 等式基本性质2: 等式的两边都乘以(或除以)同一个不 为0的数,等式仍旧成立 a b ? (c≠0), 如果a=b,那么ac=bc或 c c

等式基本性质3(对称性)

如果a=b,那么b=a。

等式基本性质4(传递性)
如果a=b,b=c那么a=c

不等式是否具有类似的性质呢? ?如果 7 > 3 那么 7+5 ____ > 3+ 5 , ?如果-1< 3, 那么-1+2____3+2, <

> -5 7 -5____3 < -4 -1- 4____3

你能总结一下规律吗?

如果 a>b, 那么a±c>b± c

不等式基本性质1:不等式的两 边都加上(或减去)同一数或 _______________ 同一个整式, 不等号的方向不变。

a>b 那么_______. a±c>b±c 即:如果____,

不等式还有什么类似的性质呢? ?已知 7 > 3 那么 7×5 ____ > 3× 5 ,
—————————————————————————————————————————————

7÷5 ____ > 3÷ 5 ,

7 ×(-5)____3 < ×(-5),
?已知-1< 3, 那么-1×2____3 < ×2,

-------------------------------------------------

7 ÷ (-5)____3 < ÷ (-5) -1÷2____3 < ÷2,

——————————————————————————————————

-1×(- 4)____3 > ×( - 4), -1÷ (- 4)____3 > ÷ ( - 4)
-------------------------------------------------

你能再总结一下规律吗?

不等式基本性质2:不等式的两边都 正数,不等号 乘以(或除以)同一个____ 的

方向不变 ____。
a b ? a>b,c>0 那么______________ ac>bc (或 c c ) 如果________,

不等式基本性质3:不等式的两边都 负数,不等 乘以(或除以)同一个____ 号的方向改变 ____。 a b ? ac<bc (或 c c ) 如果________, a>b,c<0 那么______________

已知x>5,那么5<x吗?
思考:不等式具有对称性和传递性吗?
X>5 ? 5<X

由8<x,x<y,可以得到8<y吗?
如:8<10,10<15 ,8 < 15.

不等式的对称性: 如果a>b,那么b<a 不等式的同向传递性: 如果a>b,b>c,那么a>c

今天学的是不等式的五个基本性质:
?不等式的基本性质1:

如果a >b,那么a±c>b±c.就是说,不等式两边都 加上 (或减去)同一个数(或同一整式),不等号方向不 变。
?不等式基本性质2:

a b 如果a >b,c > 0 ,那么 ac>bc(或 c ? c ) 就是说

不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号 的方向不变。

?不等式基本性质3:

如果a>b,c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 改变。 ?不等式的对称性: 如果a>b,那么b<a ?不等式传递性: 如果a>b,b>c,那么a>c

a b ? c c

例1:设a>b,用“<”或“>”填空并口答 是根据哪一条不等式基本性质。

> - 3; 基本性质1 (1) a - 3____b (2)a÷3____b 基本性质2 > ÷3 (3) 0.1a____0.1b; 基本性质2 > (4) -4a____-4b 基本性质3 < (5) 2a+3____2b+3; 基本性质2、1 > 2+1)b (m为常数) (6) (m2+1) a ____ (m >
基本性质2

例2:判断下列各题的推导是否正确?为什么(学生 口答) (1)因为7.5>5.7,所以-7.5<-5.7; (2)因为a+8>4,所以a>-4; (3)因为4a>4b,所以a>b; (4)因为-1>-2,所以-a-1>-a-2; (5)因为3>2,所以3a>2a. 答: (1)正确,根据不等式基本性质3. (2)正确,根据不等式基本性质1. (3)正确,根据不等式基本性质2. (4)正确,根据不等式基本性质1. (5)不对,应分情况逐一讨论. 当a>0时,3a>2a.(不等式基本性质2) 当 a=0时,3a=2a. 当a<0时,3a<2a.(不等式基本性质3)

针对练习
1、若m>n,判断下列不等式是否正确:

(1)m-7<n-7
(2)3m<3n (3)-5m>-5n m n ? (4) 9 9 (5) m+5≥n+5

(
( ( ( (

)
) ) ) )

针对练习

2、填空
(1)如果x-5>4,那么两边都 可得到x>9

加上5 2 < 17

(2)如果在-7<8的两边都加上9可得到

(3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到 a+7 > a (4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 -21>-28 (5)如果在8>0的两边都乘以8可得到
64 > 0

知识拓展:

正 数 (1) ∵ 2a < 3a , ∴a是____
(2) ∵

a a ? , 2 3

正数 ∴a是____

(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , 负 数 ∴a是____

本课小结:
今天学的是不等式的五个基本性质:
?不等式的基本性质1:

如果a >b,那么a±c>b±c.就是说,不等式两边都 加上 (或减去)同一个数(

或式子),不等号方向不变。
?不等式基本性质2: 如果a >b,c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号 的方向不变。
a b ? c c

?不等式基本性质3:

如果a>b,c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 改变。 ?不等式的对称性:4

a b ? c c

如果a>b,那么b<a
?不等式同向传递性:5

如果a>b,b>c,那么a>c

作业布置:
教科书:家庭作业:习题7.1第 2 、 3、 5题

补充作业:

2、已知x < y,下列哪些不等式成立?

(1) x – 3 < y – 3
(3) - 3 x +2 < - 3 y + 2 3、已知a>b,若a<0,则a2

( 2) - 5 x < - 5 y
(4)- 3 x + 2 > - 3y + 2 ab;若a>0,则a2 ab.

4、下列各式分别在什么条件下成立? (1) a > - a (2) a2 > a

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